第10講二次根式的加減模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．理解同類(lèi)二次根式的定義；2．掌握合并化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式的方法；3．掌握二次根式的加減法則，會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算；4.能應(yīng)用運(yùn)算律及乘法公式熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)一：同類(lèi)二次根式同類(lèi)二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類(lèi)二次根式。合并同類(lèi)二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）考點(diǎn)一：同類(lèi)二次根式的判斷例1．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）下列二次根式中與是同類(lèi)二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·重慶永川·期中）下列二次根式中，不能與合并的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類(lèi)二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·湖北孝感·階段練習(xí)）在二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)二：求同類(lèi)二次根式中的參數(shù)例2.（23-24八年級(jí)下·河北廊坊·期中）已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則a的值為（

）A．1 B． C．0 D．不確定【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·陜西渭南·期中）若二次根式與最簡(jiǎn)二次根式能合并，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．3【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期中）如果二次根式化簡(jiǎn)后能與合并，那么a的值可以是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．9考點(diǎn)三：二次根式加減運(yùn)算例3.（23-24九年級(jí)下·遼寧鞍山·期中）計(jì)算：(1)(2)【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·天津?yàn)I海新·期中）計(jì)算：(1)(2)【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）計(jì)算：(1)(2)；【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算．(1)．(2)．(3)．(4)．考點(diǎn)四：二次根式的混合運(yùn)算例4.（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·河南駐馬店·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）計(jì)算(1)；(2)．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·山東威海·期中）計(jì)算：(1)(2)；考點(diǎn)五：分母有理化例5.（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）閱讀材料并解決問(wèn)題：，像上述解題過(guò)程中，與相乘的積不含二次根式，我們可以將這兩個(gè)式子稱(chēng)為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱(chēng)為分母有理化．請(qǐng)仿照上面的方法，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：，；若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想．(2)計(jì)算：；【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，小明遇到一道題：已知，求的值．小明是這樣解答的：∵，．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決下列問(wèn)題：(1)填空：_______，_______；(2)化簡(jiǎn)：．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，的式子，對(duì)于這類(lèi)式子我們可以進(jìn)一步將其化簡(jiǎn)，使其分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這一過(guò)程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化簡(jiǎn)；(2)．【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·福建莆田·期中）在解決問(wèn)題“已知求的值”，小明是這樣分析與解答的:請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題(1)化簡(jiǎn)：(2)若，求的值．考點(diǎn)六：已知字母的值，化簡(jiǎn)求值例6.（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【變式6-1】（23-24八年級(jí)下·新疆阿克蘇·期中）已知，求下列各式的值(1)；(2)．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【變式6-3】（23-24八年級(jí)下·甘肅武威·期中）（1）已知：，求代數(shù)式的值．（2）已知：，求代數(shù)式的值．考點(diǎn)七：已知條件式，化簡(jiǎn)求值例7.（23-24八年級(jí)下·甘肅武威·期中）已知，，求的值．【變式7-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知，求的值．【變式7-2】（22-23八年級(jí)下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知：，求的值．【變式7-3】（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知a、b滿足，求的值．考點(diǎn)八：二次根式的新定義運(yùn)算例8.（2024八年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，則．【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期中）對(duì)于任意的正數(shù)，定義運(yùn)算“*”為計(jì)算計(jì)算的結(jié)果為．【變式8-2】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)，定義一種運(yùn)算※如下：，如．那么．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算如下：，如，那么的運(yùn)算結(jié)果為．考點(diǎn)九：比較二次根式的大小例9.（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）[材料一]兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：，，我們稱(chēng)和互為有理化因式，和互為有理化因式．（1）的有理化因式是______（寫(xiě)出一個(gè)即可），的有理化因式是_______（寫(xiě)出一個(gè)即可）；[材料二]如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)：．[材料三]與分母有理化類(lèi)似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：（3）試?yán)梅肿佑欣砘容^和的大小．【變式9-1】（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：______，______；(2)利用上面的規(guī)律，比較______（填“”或“”或“”）．【變式9-2】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·階段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目的主要是把分母中的無(wú)理數(shù)化為有理數(shù)，如，，這樣的化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化，我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化簡(jiǎn)：；(3)比較，的大小，說(shuō)明理由．【變式9-3】（23-24八年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）材料閱讀：二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如的計(jì)算，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”；．類(lèi)似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱(chēng)為“分子有理化”；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)；(2)比較與的大小，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)十：二次根式的應(yīng)用例10.（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）某小區(qū)有一塊長(zhǎng)方形綠地，長(zhǎng)為米，寬為米，現(xiàn)在要在長(zhǎng)方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的小長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)小長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為米，寬為米．(1)求長(zhǎng)方形綠地的周長(zhǎng)；(2)除花壇外，其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價(jià)為55元/平方米的地磚，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要多少錢(qián)？【變式10-1】（23-24八年級(jí)下·江西宜春·階段練習(xí)）有一塊長(zhǎng)方形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出面積分別為和的兩塊正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木板的邊長(zhǎng)分別為_(kāi)_____，______；(2)求剩余木板的面積；(3)如果木工師傅想從剩余的木板中截出長(zhǎng)為1.5、寬為1.2的長(zhǎng)方形木條，最多能截出______個(gè)這樣的木條．（參考數(shù)據(jù)：）【變式10-2】（23-24八年級(jí)下·甘肅慶陽(yáng)·期中）高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋出的物體下落的時(shí)間t（單位：）和高度h（單位：）近似滿足（不考慮風(fēng)速的影響）．(1)從高處拋下的物體落地所需的時(shí)間；從高處拋下的物體落地所需的時(shí)間(2)是的多少倍？(3)若從高空拋下的物體經(jīng)過(guò)落地，則該物體下落的高度是多少？【變式10-3】（23-24八年級(jí)下·江西贛州·期中）秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名數(shù)學(xué)家．與李冶、楊輝、朱世杰并稱(chēng)宋元數(shù)學(xué)四大家，他精研星象、音律、算術(shù)、詩(shī)詞、弓劍、營(yíng)造之學(xué)，他于1247年完成的著作《數(shù)學(xué)九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘幾何學(xué)家海倫的成果并稱(chēng)“海倫?秦九韶公式”，它的主要內(nèi)容是，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，記，S為三角形的面積，那么．(1)如圖在中，，，，請(qǐng)用上面的公式計(jì)算的面積；(2)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，，求的值，一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）下列二次根式中與是同類(lèi)二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2024·云南昆明·三模）估算式子的值最接近的整數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）若，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．24．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，在大正方形紙片中放置兩個(gè)小正方形，已知兩個(gè)小正方形的面積分別為，，重疊部分是一個(gè)小正方形，其面積為2，則空白部分的面積為（

）A．6 B．8 C． D．二、填空題6．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算的結(jié)果是．7．（23-24八年級(jí)下·河北滄州·期末）二次根式與最簡(jiǎn)二次根式可以加減合并，則．8．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）比較大小：①

②9．（2024·青海西寧·二模）已知，，則．10．（22-23八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）對(duì)于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運(yùn)算“*”：，則計(jì)算的結(jié)果為．三、解答題11．（2024·浙江杭州·一模）以下是小濱計(jì)算的解答過(guò)程：解：原式．小濱的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．12．（23-24八年級(jí)下·河北滄州·期末）計(jì)算下列各小題．(1)；(2)．13．（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．14．（23-24八年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算“”如下：．如：．(1)______，______；(2)已知，求的值．15．（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）【問(wèn)題背景】已知，求的值．【問(wèn)題解決】（1