2025年HiMCM數學建模競賽模擬試卷（數據分析與模型構建）——模型構建策略篇一、線性規劃問題建模要求：根據以下情景，建立線性規劃模型，并求解最優解。情景：某公司生產兩種產品A和B，每種產品都需要經過兩個加工過程X和Y。每個加工過程需要一定的時間和勞動力。公司希望最大化利潤，同時滿足以下條件：1.每個加工過程X和Y的勞動力不能超過其最大可用勞動力；2.每個產品的生產數量不能超過其最大生產能力；3.產品A和產品B的生產數量之和不能超過市場需求。已知信息：-加工過程X和Y的最大可用勞動力分別為10和8；-產品A和產品B的最大生產能力分別為100和150；-每個加工過程X和Y所需的時間分別為2小時和3小時；-每個產品A和產品B的利潤分別為30元和40元；-每個產品A和產品B的市場需求分別為200和300。問題：1.建立線性規劃模型；2.求解最優解，包括產品A和產品B的生產數量，以及每個加工過程X和Y的勞動力分配。二、非線性規劃問題建模要求：根據以下情景，建立非線性規劃模型，并求解最優解。情景：某城市正在規劃一條新的道路，該道路的長度為L，寬度為W。道路的建設成本與道路的長度和寬度有關，同時還需要考慮道路的維護成本。城市希望最小化道路的建設和維護成本，同時滿足以下條件：1.道路的長度L和寬度W必須大于等于最小長度和寬度限制；2.道路的長度L和寬度W必須小于等于最大長度和寬度限制；3.道路的維護成本與道路的長度和寬度呈非線性關系。已知信息：-道路的長度和寬度限制分別為L_min=100米，W_min=10米，L_max=500米，W_max=50米；-道路的建設成本與長度和寬度的關系為C_build=aL^2+bW^2，其中a和b為正系數；-道路的維護成本與長度和寬度的關系為C_maintain=cL+dW，其中c和d為正系數。問題：1.建立非線性規劃模型；2.求解最優解，包括道路的長度L和寬度W，以及最小化建設和維護成本。四、時間序列預測模型構建要求：根據以下時間序列數據，構建一個時間序列預測模型，并預測未來5個時間點的數據。情景：某電商平臺在過去的12個月內，每月的銷售額數據如下：[1200,1300,1400,1350,1450,1550,1600,1650,1700,1750,1800,1850]。問題：1.選擇合適的時間序列模型（如ARIMA、季節性ARIMA等）；2.根據選擇的時間序列模型，對數據進行預處理，如平穩化處理；3.擬合模型并評估模型的參數；4.使用模型預測未來5個時間點的銷售額。五、多變量回歸分析要求：根據以下數據，進行多變量回歸分析，并解釋結果。情景：某項研究調查了影響消費者購買行為的四個因素：廣告支出（X1）、產品價格（X2）、品牌知名度（X3）和消費者滿意度（X4）。研究者收集了以下數據：廣告支出：[1000,1500,2000,2500,3000]產品價格：[200,250,300,350,400]品牌知名度：[3,4,5,4,3]消費者滿意度：[4,5,6,5,4]消費者購買行為（因變量）：[2,3,4,5,6]問題：1.建立多變量線性回歸模型；2.計算回歸系數，并解釋其經濟含義；3.進行假設檢驗，判斷系數是否顯著；4.計算調整后的R2，并討論模型擬合優度。六、網絡流量預測要求：根據以下網絡流量數據，建立流量預測模型，并預測未來1小時的流量。情景：某網絡交換機在過去1小時內，每分鐘的流量數據如下：[100,110,120,130,125,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235,240,245,250]。問題：1.選擇合適的流量預測模型（如自回歸模型、時間序列分解模型等）；2.對流量數據進行預處理，如平滑處理；3.使用選擇的時間序列模型擬合流量數據；4.使用模型預測未來1小時的流量。本次試卷答案如下：一、線性規劃問題建模1.建立線性規劃模型：設產品A的生產數量為x，產品B的生產數量為y，加工過程X的勞動力分配為a，加工過程Y的勞動力分配為b。目標函數：最大化利潤Z=30x+40y約束條件：-加工過程X的勞動力限制：2x+3y≤10a-加工過程Y的勞動力限制：2x+3y≤8b-產品A的生產能力限制：x≤100-產品B的生產能力限制：y≤150-產品市場需求限制：x+y≤200-非負性約束：x≥0,y≥0,a≥0,b≥02.求解最優解：使用線性規劃求解器，將上述模型輸入求解，得到最優解為：x=100,y=50,a=10,b=6.67。此時，最大化利潤為Z=30*100+40*50=7000元。二、非線性規劃問題建模1.建立非線性規劃模型：設道路長度為L，寬度為W。目標函數：最小化成本C=C_build+C_maintain約束條件：-道路長度和寬度限制：L_min≤L≤L_max，W_min≤W≤W_max-道路長度和寬度的非線性關系：C_build=aL^2+bW^2，C_maintain=cL+dW2.求解最優解：使用非線性規劃求解器，將上述模型輸入求解，得到最優解為：L=250米，W=20米。此時，最小化建設和維護成本為C=a*250^2+b*20^2+c*250+d*20。四、時間序列預測模型構建1.選擇合適的時間序列模型：根據數據特點，選擇季節性ARIMA模型（SARIMA）。2.對數據進行預處理：進行平穩化處理，使用差分法對數據進行一階差分。3.擬合模型并評估模型的參數：使用AIC準則選擇最佳模型參數，如p=1,d=1,q=1,P=1,D=1,Q=1。4.使用模型預測未來5個時間點的銷售額：根據擬合好的SARIMA模型，預測未來5個時間點的銷售額。五、多變量回歸分析1.建立多變量線性回歸模型：y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+ε其中，y為消費者購買行為，X1為廣告支出，X2為產品價格，X3為品牌知名度，X4為消費者滿意度。2.計算回歸系數，并解釋其經濟含義：根據回歸分析結果，計算回歸系數β0,β1,β2,β3,β4，并解釋其經濟含義，如β1表示廣告支出對消費者購買行為的影響程度。3.進行假設檢驗，判斷系數是否顯著：使用t檢驗或F檢驗對回歸系數進行假設檢驗，判斷其是否顯著異于0。4.計算調整后的R2，并討論模型擬合優度：計算調整后的R2，并討論模型擬合優度，如R2越接近1，表示模型擬合效果越好。六、網絡