百師助學培優課程之《一線三等角模型》教材分析“一線三等角”是指三個相等角的頂點在同一直線上，其中兩個角的一邊與該直線重合，第三個角的兩邊均不與直線重合，這樣會形成一組全等或相似三角形.根據等角的度數，此模型可分為銳角一線三等角、直角一線三等角和鈍角一線三等角.“一線三等角”模型本質上是一個重要的基本幾何模型，數學模型是對客觀事物的空間形式和數量關系的表現形式，初中階段的“一線三等角”模型是利用方程或函數等來表示數量之間的關系或變化規律.它一般不單獨出現，通常與其他特殊圖形結合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標系結合等，從而考查這些圖形的性質.因此“一線三等角”模型可以出現在選擇題、填空題的最后一題，也可以出現在解答題的幾何證明、綜合題中，是一個使用頻率高、綜合性較強的模型.平時的訓練中，需要提升自己的模型思想，提煉問題的基本圖形，利用基本圖形的性質特點來突破考題，在具體分析過程中，也要結合數形結合思想，如根據題干信息提煉圖形的結構特點，然后結合圖形，采用代數運算的方式探求深層信息，促進信息的融合、轉化.核心素養分析2022年版義務教育數學課程標準希望學生在初中階段形成模型觀念、數據觀念；數學學科核心素養也提到數學抽象和直觀想象，邏輯推理和運算能力，數學模型和數據分析.因此在數學學習中，我們有必要及時歸納一些數學模型.“一線三等角”問題的核心思想就是模型思想，關鍵的解題途徑是能從復雜圖形中分離出此模型，把握基本圖形并建立方程或函數，幫助我們塑造模型觀念，增強數學能力，提高解題技巧，提升數學核心素養.學情分析本次教學設計的授課對象為九年級學生，學生已有與本課時內容相關的知識基礎如下：①全等三角形的性質與判定；②相似三角形的性質與相似；③三角函數；④二元一次方程（組）.本課程適用于對中考幾何題有一定解決能力并有待提升綜合能力的學生，彌補和改善學生漏聽或未聽懂這部分知識的不足，旨在促進學生深入理解方法和思想，從復雜圖形中分離出基本數學模型，對解決問題有化繁為簡的效果.四、教學任務分析1.課堂教學目標（1）知識與技能：探索“一線三等角”的基本特征，并且能夠在不同背景中認識和把握基本圖形，能利用“一線三等角”模型解決相關計算和證明問題；能夠構造“一線三等角”模型，解決較為復雜的幾何問題.（2）過程與方法：通過觀察分析，大膽猜想，探索“一線三等角”基本圖形，培養學生合作交流、邏輯推理的能力；讓學生在解決相關問題時感受幾何基本模型對幾何學習的重要性.（3）情感態度與價值觀：在學習活動中積累對數學的興趣，培養與同學的交往、合作意識，在動手動腦的過程中發展想象力，體會模型思想、轉化思想、分類討論思想和數形結合思想；提高解題技巧，提升數學核心素養.教學重點和難點（1）教學重點①識別“一線三等角”模型的基本特征，并應用“一線三等角”模型解決相關問題；②構造“一線三等角”模型，解決復雜的幾何問題.（2）教學難點構造“一線三等角”模型，并解決較為復雜的幾何問題.五、具體教學過程設計1、概述：引導學生回顧一線三等角模型的基本分類：1）全等篇:條件：∠1=∠CPD=∠2,結論：△ACP△BPD1）全等篇:條件：∠1=∠CPD=∠2,結論：△ACP△BPD121221同側121221銳角直角鈍角121212異側1212122）相似篇：條件：∠1=∠CPD=∠2,結論：△ACP∽△BPD221211同側221211銳角直角鈍角212121異側2121213）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，當∠1=∠2=∠3，且D是BC中點時.結論：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.模塊一三角齊見，模型自現——圖形中已經存在“一線三等角”，直接應用模型解題.（一）典例精講如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG＝6，則BE的長為________．例1圖例2圖解析：由題意可得：∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°∵?FGD∽?GEB，∴DG=2，代入得,設計意圖：本題題目中已有“一線三等角”模型，直接運用模型導出相似，解決問題，需要學生利用已知條件發現模型，并運用模型.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是．（把你認為正確結論的序號都填上）【答案】①②④【分析】①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據相似三角形對應邊成比例即可求得．設計意圖：本題題目中也已存在“一線三等角”模型，同時考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質，銳角三角函數等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的模型是解題的關鍵.．（二）跟進練習——暫停視頻課后鞏固練習如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且點E為邊BC的中點．將∠DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，連結PQ．（1）如圖1，當點Q在線段CA上時，①求證：△BPE∽△CEQ；②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數量關系？請說明理由；（2）當△APQ為等腰三角形時，求的值．3、模塊二模型隱藏，及時添補——模型隱藏，及時添補，圖形中存在“一線二等角”，補上“一等角”構造模型解題；圖形中只有直線上一個角，補上“二等角”構造模型解題.（一）知識鋪墊找角、定線、構相似如果直線上只有1個角，該角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考慮構造同側型一線三等角，當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角與線段的關系，過C、D兩點作直線l的垂線是必不可少的.兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。tan∠2=tan∠3=tan∠α，則∠1=∠2=∠3=α，在NM的延長線上截取，在MN的延長線上截取，（二）典例精講如圖所示，一次函數與坐標軸分別交于A、B兩點，點P是線段AB上一個動點（不包括A、B兩端點），C是線段OB上一點，∠OPC=45°，若△OPC是等腰三角形，求點P的坐標_______________________.【解答】①當CP=CO時，∠COP=∠OPC=45°，∠OCP=90°，即PC⊥y軸.又∵一次函數與坐標軸分別交于A、B兩點，∴中，令x=0，則y=4；令y=0，則x=4，∴AO=BO=4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴∠COP=∠CBP∴OP=BP,∴C是BO中點，∴CO=CP==2∴P（2，2）②當PC=PO時，過P作PD⊥y軸，由①知，∴AO=BO=4，△AOB是等腰直角三角形，∵∠ABO=∠BAO=∠OPC=45°，∴△OAB△PBC（利用“一線三等角”模型所得，若大題，三角形全等需完整證明過程）∴BP=AO=4∴在Rt△BDP中，∴OD=OB-BD=∴P綜上，P（2，2）或設計意圖：已知兩個相等的45°角，補上一個45°角，構造一線三等角模型的案例，并借助模型，證明得到全等，綜合利用等腰三角形的性質，計算解決問題.例2.如圖，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，則BD=_________.2+3a243aa2+3a243aa【答案】分別延長BC、CB至F、E點，連接ED、AF，使得∠E=∠F=∠ACD，∴∴設BD=a，則BE=3a，ED=∵AD=2，BC=4∴BF=3（2+a），AF=，CF=BF-BC=2+3a又∵∠E=∠F=∠ACD∴△CDE∽△ACF(利用“一線三等角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）∴∴，整理可得a2+2a-8=0，解得a=2或-4（舍）經檢驗：a＝2是原方程的根∴BD=2設計意圖：已知一線一等角，補全剩余兩個角構成“一線三等角”模型的案例，本題使用模型可以充分利用直角三角形的性質和三角函數，體現了“一線三等角”模型的優勢.例3.如圖，四邊形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，BC=______.【答案】分別延長BC、CB至點E，H，連接AH，DE，使得∠H=∠E=45°，∵∠H=∠E=45°，AB=3∴HB=3，AH=設BC=x，過D作DF⊥BC交BC于F，∵AD=5，∴FC=x-5，AC=∵DF=AB=3，FC=x-5∴DE=，CE=3-（x-5）=8-x∵∠H=∠E=∠ACD=45°∴△AHC∽△CED(利用“一線三等角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）∴∴整理可得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍）經檢驗：x＝6是原方程的根，綜上，BC=6設計意圖：已知一線一等角，補全剩余兩個角構成“一線三等角”模型的又一案例，但本題的構造方式有多種，學生可以從多個維度去構造模型，都能解決問題，避免學生產生無法入手的焦慮.本題還可作其他輔助線構造“一線三等角”模型：（三）跟進練習——暫停視頻課后鞏固練習如圖，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長；小胖經過思考后，在CD上取點F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進而得到∠EFD＝45°，試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續分析，又意外發現△CEF∽△CDE．（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程．（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．4、模塊三有直角，“K”型現——有直角，“K”型現，圖形中出現直角或45°，構造一線三直角（K型模型）（一）知識鋪墊圖1圖1圖2性質：性質：普通”K型圖”（圖1）可得左右兩個△相似，即△1∽△3【當AC=BC時，△1≌△3】中點型”K型圖”亦可得三個△兩兩相似，即當DC=CE時，△1∽△2∽△3“K型圖”常見構造方法（圖2）：過直角頂點分別作水平或豎直的直線，再過直角兩邊頂點分別作直線的垂線。其他特殊角，構造“一線三直角”45o角構等腰直角三角形造“一線三直角”全等，如下圖；2.30o角構直角三角形造“一線三直角”相似，如下圖；tanα=k→構直角三角形→造“一線三直角”相似，如下圖；（二）典例精講如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是AB上的動點，連接DE，將△AED沿著DE折疊，A點落在F處，若EF∥AC，則AE的長度是．【分析】過點F作FM⊥AB，垂足為M，并延長MF交CD于點N，設AE＝x，根據矩形的性質可得AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DAE＝∠B＝90°，從而可得MN⊥CD，AC＝10，再利用折疊的性質可得AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，然后根據已知易證△FND∽△EMF，利用三角函數的性質可得MF＝，EM＝，從而表示出FN的長，最后根據相似比，列出關于x的方程進行計算即可解答．設計意圖：本題是利用已知直角，作垂線構造“一線三垂直”模型的案例，并結合模型利用相似、三角函數解決問題.例2.如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0，4），點B在x軸上，點C在反比例函數的圖像上，則點B的坐標為________________.【解答】如圖，作CD⊥AB于D，CG⊥x軸于G，過D點作EF∥OB，交y軸于E，交CG于F，設設點C的坐標為，點B的坐標為（a，0），AB的中點D的坐標為利用△AED∽△DFC（“一線三直角”模型），有相似比，得到，從而解決問題.設計意圖：本題中沒有出現已知直角，但是出現了等邊三角形，利用等邊三角形“三線合一”的性質，先構造了直角，再作垂線構造“一線三垂直”模型的案例，并且是比較常見的反比例函數的結合，所以要對反比例函數的性質，三角函數熟練，這道題也對計算的要求較高，給計算能力強的學生提供了思考的方向.（三）跟進練習——暫停視頻課后鞏固練習如圖，平面直角坐標系中，已知直線y＝x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點A，且BD＝3AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交