2018理科試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，在定義域內單調遞增的是（）A.\(y=-x\)B.\(y=x^{2}\)C.\(y=3^{x}\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.拋物線\(y=4x^{2}\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((\frac{1}{16},0)\)D.\((0,\frac{1}{16})\)4.\(\sin15^{\circ}\cos75^{\circ}+\cos15^{\circ}\sin75^{\circ}\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)5.若復數\(z\)滿足\(z(1-i)=2+i\)，則\(z\)的共軛復數\(\overline{z}\)為（）A.\(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)B.\(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i\)C.\(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\)D.\(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)6.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{3}=9\)，則\(a_{5}\)的值為（）A.\(7\)B.\(9\)C.\(11\)D.\(13\)7.函數\(y=\sqrt{x(2-x)}\)的定義域為（）A.\([0,2]\)B.\((0,2)\)C.\((-\infty,0]\cup[2,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)8.已知直線\(l_{1}\)：\(ax+2y+6=0\)與\(l_{2}\)：\(x+(a-1)y+a^{2}-1=0\)平行，則\(a\)的值為（）A.\(-1\)或\(2\)B.\(-1\)C.\(2\)D.\(0\)9.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)10.已知函數\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，若\(f(1)=f(2)=f(3)=0\)，則\(f(0)\)的值為（）A.\(6\)B.\(-6\)C.\(12\)D.\(-12\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列說法正確的是（）A.命題“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}\geqslant0\)”的否定是“\(\existsx\inR\)，\(x^{2}\lt0\)”B.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)C.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangleABC\)的三邊，若\(a^{2}+b^{2}\ltc^{2}\)，則\(\triangleABC\)是鈍角三角形D.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數列，則\(b^{2}=ac\)2.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，\(\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2}\)，若\(f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{2\pi}{3})\)，則\(\varphi\)的值可能為（）A.\(-\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{6}\)C.\(\frac{\pi}{3}\)D.\(-\frac{\pi}{3}\)3.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=\cosx\)B.\(y=x^{3}\)C.\(y=\ln\vertx\vert\)D.\(y=e^{x}+e^{-x}\)4.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，其漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，下列說法正確的是（）A.當\(a=b\)時，雙曲線為等軸雙曲線B.雙曲線的離心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)C.若漸近線互相垂直，則\(a=b\)D.焦點到漸近線的距離為\(b\)5.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結論正確的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)6.已知函數\(f(x)=2\sinx\cosx+2\sqrt{3}\cos^{2}x-\sqrt{3}\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上單調遞增D.\(f(x)\)的最大值為\(2\)7.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)，且傾斜角為\(\alpha\)，圓\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-4x=0\)，則下列說法正確的是（）A.當\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)時，直線\(l\)與圓\(C\)相交B.當\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)時，直線\(l\)與圓\(C\)相切C.直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長的最小值為\(2\sqrt{2}\)D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長為\(2\sqrt{3}\)時，\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)8.已知\(\{a_{n}\}\)是等比數列，公比為\(q\)，\(S_{n}\)是其前\(n\)項和，則下列說法正確的是（）A.若\(q=1\)，則\(S_{n}=na_{1}\)B.若\(q\neq1\)，則\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)C.若\(a_{1}\gt0\)，\(q\gt1\)，則\(\{a_{n}\}\)是遞增數列D.若\(a_{1}\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_{n}\}\)是遞增數列9.已知函數\(y=f(x)\)的圖象在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線方程為\(y=g(x)\)，下列說法正確的是（）A.\(f(x_{0})=g(x_{0})\)B.\(f^{\prime}(x_{0})=g^{\prime}(x_{0})\)C.當\(x\)接近\(x_{0}\)時，\(f(x)\)與\(g(x)\)的函數值接近D.函數\(y=f(x)\)在點\((x_{0},f(x_{0}))\)處的切線只有一條10.已知集合\(A=\{x\midx^{2}-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midax-2=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-2\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）2.函數\(y=\tanx\)的定義域為\(\{x\midx\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）4.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)。（）5.若\(f(x)\)是奇函數，則\(f(0)=0\)。（）6.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）7.數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{n+1}-a_{n}=d\)（\(d\)為常數），則\(\{a_{n}\}\)是等差數列。（）8.函數\(y=a^{x}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點\((0,1)\)。（）9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)。（）10.若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線與另一個平面平行。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=\sin^{2}x+\cosx+1\)，\(x\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\)的值域。答案：\(y=1-\cos^{2}x+\cosx+1=-\cos^{2}x+\cosx+2\)。令\(t=\cosx\)，\(x\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\)，則\(t\in[-\frac{1}{2},1]\)。\(y=-t^{2}+t+2=-(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}\)，當\(t=\frac{1}{2}\)時，\(y_{max}=\frac{9}{4}\)；當\(t=-\frac{1}{2}\)時，\(y_{min}=\frac{5}{4}\)，值域為\([\frac{5}{4},\frac{9}{4}]\)。2.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，\(a_{3}=7\)，\(S_{4}=24\)，求\(a_{n}\)的通項公式。答案：設等差數列\(\{a_{n}\}\)的公差為\(d\)。由\(a_{3}=7\)得\(a_{1}+2d=7\)；由\(S_{4}=24\)得\(4a_{1}+\frac{4\times3}{2}d=24\)，即\(4a_{1}+6d=24\)。聯立解得\(a_{1}=3\)，\(d=2\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1\)。3.求過點\(P(2,3)\)且與圓\(x^{2}+y^{2}=4\)相切的直線方程。答案：當直線斜率不存在時，直線方程為\(x=2\)，滿足與圓相切。當斜率存在時，設直線方程為\(y-3=k(x-2)\)，即\(kx-y+3-2k=0\)。由圓心到直線距離等于半徑\(2\)，\(\frac{\vert3-2k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=2\)，解得\(k=\frac{5}{12}\)，直線方程為\(5x-12y+26=0\)。綜上，切線方程為\(x=2\)或\(5x-12y+26=0\)。4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)內角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(\sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，可得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)。將\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(\sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}\)代入得\(\sinB=\frac{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{1}{2}\)。因為\(a\gtb\)，所以\(A\gtB\)，且\(0\ltB\lt\pi\)，所以\(B=\frac{\pi}{6}\)。五、討