全國卷3數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{4\}\)2.已知\(i\)是虛數單位，若\(z=1+i\)，則\(z\cdot\overline{z}\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)3.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(4\)D.\(2\)6.過點\((1,2)\)且斜率為\(1\)的直線方程是（）A.\(y-2=x-1\)B.\(y-2=-(x-1)\)C.\(y+2=x+1\)D.\(y+2=-(x+1)\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=\)（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)8.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)9.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)10.若\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\sin\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列屬于基本初等函數的有（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數3.直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)與\(l_2:y=k_2x+b_2\)平行的條件是（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1\neqb_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(k_1\neqk_2\)4.已知數列\(\{a_n\}\)是等比數列，公比為\(q\)，則以下正確的是（）A.\(a_{n+1}=a_nq\)B.\(a_n=a_1q^{n-1}\)C.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)D.\(S_n=na_1(q=1)\)5.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)C.\(|x|+\frac{1}{|x|}\geq2\)D.\(x^2-2x+3\lt0\)6.空間中，下列說法正確的是（）A.平行于同一條直線的兩條直線平行B.垂直于同一條直線的兩條直線平行C.平行于同一個平面的兩條直線平行D.垂直于同一個平面的兩條直線平行7.已知圓的方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，則（）A.圓心坐標為\((a,b)\)B.半徑為\(r\)C.當\(r=0\)時，表示一個點D.與\(x\)軸相切時，\(|b|=r\)8.對于函數\(y=\tanx\)，以下說法正確的是（）A.定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.周期是\(\pi\)C.是奇函數D.在區間\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調遞增9.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a+c\gtb+c\)B.\(ac\gtbc(c\gt0)\)C.\(a^2\gtb^2\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}(a,b同號)\)10.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)B.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)C.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)D.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=2^x\)是減函數。（）3.兩條異面直線沒有公共點。（）4.若\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)。（）5.等差數列的通項公式一定是關于\(n\)的一次函數。（）6.函數\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)是奇函數。（）7.圓的標準方程中，圓心到圓上任意一點的距離都等于半徑。（）8.若\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）9.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）10.若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A\)，則\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域。答案：要使函數有意義，則分母不為\(0\)，即\(x-1\neq0\)，解得\(x\neq1\)，所以定義域為\(\{x|x\neq1\}\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\cos\alpha\)的值。答案：根據\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。3.求過點\((2,3)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，可得\(y-3=2(x-2)\)，整理得\(2x-y-1=0\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求其前\(5\)項和\(S_5\)。答案：先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。由等差數列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_5=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=25\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^2-2x+3\)的單調性。答案：對函數\(y=x^2-2x+3\)求導得\(y^\prime=2x-2\)。令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x-2\gt0\)，解得\(x\gt1\)，此時函數單調遞增；令\(y^\prime\lt0\)，即\(2x-2\lt0\)，解得\(x\lt1\)，此時函數單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，將直線與圓方程聯立得方程組，根據方程組解的個數判斷，無解相離，一組解相切，兩組解相交。3.討論等比數列與等差數列在性質上的異同。答案：相同點：都有通項公式描述項與項數關系。不同點：等差數列任意相鄰兩項差值