一元二次方程測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.$x+2y=1$B.$x^2-5=0$C.$x^2+\frac{1}{x}=1$D.$3x+8=6x+2$2.一元二次方程$2x^2-3x-4=0$的二次項系數是（）A.2B.-3C.-4D.33.方程$x^2=4$的解是（）A.$x=2$B.$x=-2$C.$x=\pm2$D.$x=4$4.用配方法解方程$x^2+4x-1=0$，配方后正確的是（）A.$(x+2)^2=5$B.$(x+2)^2=3$C.$(x-2)^2=5$D.$(x-2)^2=3$5.一元二次方程$x^2-2x+1=0$的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根D.無法確定6.方程$(x-1)(x+2)=0$的根為（）A.$x=1$B.$x=-2$C.$x_1=1,x_2=-2$D.$x_1=-1,x_2=2$7.若關于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的兩根為$x_1=1,x_2=2$，則$b+c$的值為（）A.-1B.1C.-2D.28.一元二次方程$x^2-5x+6=0$的兩根分別為$x_1$，$x_2$，則$x_1+x_2$的值為（）A.5B.-5C.6D.-69.若方程$mx^2+3x-4=0$是關于$x$的一元二次方程，則$m$的取值范圍是（）A.$m\neq0$B.$m=0$C.$m\gt0$D.$m\lt0$10.用公式法解方程$2x^2-3x-1=0$，其中$b^2-4ac$的值為（）A.1B.17C.-1D.-17二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于一元二次方程一般形式的是（）A.$ax^2+bx+c=0$B.$2x^2-3x+1=0$C.$x^2=4$D.$3x^2-5x=0$2.用因式分解法解一元二次方程時，可分解為兩個一次因式乘積的方程有（）A.$x^2-3x+2=0$B.$x^2-9=0$C.$x^2-2x+1=0$D.$x^2+4x+4=0$3.下列方程中，有實數根的是（）A.$x^2-2x+3=0$B.$x^2+2x-3=0$C.$x^2-4x+4=0$D.$x^2+1=0$4.關于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），下列說法正確的是（）A.當$b^2-4ac\gt0$時，方程有兩個不相等的實數根B.當$b^2-4ac=0$時，方程有兩個相等的實數根C.當$b^2-4ac\lt0$時，方程沒有實數根D.當$b=0$時，方程一定有兩個實數根5.方程$x^2-5x+6=0$的解可以通過以下哪些方法得到（）A.因式分解法B.配方法C.公式法D.直接開平方法6.若一元二次方程$x^2+mx+n=0$的兩根為$x_1=3,x_2=-2$，則（）A.$m=-1$B.$m=1$C.$n=-6$D.$n=6$7.下列方程中，二次項系數、一次項系數、常數項分別為1，-2，-3的是（）A.$x^2-2x-3=0$B.$-x^2+2x+3=0$C.$2x^2-4x-6=0$D.$3x^2-6x-9=0$8.用配方法解方程$x^2-6x+4=0$，正確的步驟有（）A.$x^2-6x=-4$B.$x^2-6x+9=-4+9$C.$(x-3)^2=5$D.$x-3=\pm\sqrt{5}$9.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的求根公式為（）A.$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$b^2-4ac\geq0$）B.$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$（$b^2+4ac\geq0$）C.當$b^2-4ac\lt0$時，方程無實數根D.當$b^2-4ac\gt0$時，$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$10.下列方程變形正確的是（）A.由$x^2-4x=5$得$x^2-4x+4=5+4$B.由$2x^2-3x=6$得$x^2-\frac{3}{2}x=3$C.由$x^2+2x-1=0$得$(x+1)^2=2$D.由$x^2-5x+1=0$得$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$三、判斷題（每題2分，共20分）1.方程$x^2+3x=x(x+3)$是一元二次方程。（）2.方程$x^2=0$有兩個相等的實數根。（）3.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），當$b^2-4ac\lt0$時，方程有兩個虛數根。（）4.用配方法解方程$x^2+4x-1=0$時，配方結果是$(x+2)^2=5$。（）5.若方程$x^2+bx+c=0$的兩根為$x_1$，$x_2$，則$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。（）6.方程$x^2-5x+7=0$有兩個不相等的實數根。（）7.一元二次方程的一般形式中，二次項系數不能為0。（）8.方程$(x-1)^2=4$的解為$x=3$。（）9.若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的常數項$c=0$，則方程必有一根為0。（）10.用因式分解法解方程$x^2-3x+2=0$時，可分解為$(x-1)(x-2)=0$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.用因式分解法解方程$x^2-5x+6=0$。答案：分解因式得$(x-2)(x-3)=0$，則$x-2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。2.用配方法解方程$x^2+6x+4=0$。答案：移項得$x^2+6x=-4$，配方得$x^2+6x+9=-4+9$，即$(x+3)^2=5$，開方得$x+3=\pm\sqrt{5}$，解得$x=-3\pm\sqrt{5}$。3.已知一元二次方程$2x^2-3x-1=0$，求根的判別式的值。答案：對于方程$2x^2-3x-1=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，根的判別式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17$。4.寫出一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的求根公式及使用條件。答案：求根公式為$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，使用條件是$b^2-4ac\geq0$。當$b^2-4ac\lt0$時，方程無實數根。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論一元二次方程$x^2-2x+k=0$的根的情況與$k$的取值關系。答案：$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4k=4-4k$。當$\Delta\gt0$，即$4-4k\gt0$，$k\lt1$時，方程有兩個不相等實數根；當$\Delta=0$，即$k=1$時，有兩個相等實數根；當$\Delta\lt0$，即$k\gt1$時，無實數根。2.在實際問題中，如何根據一元二次方程的解來確定實際問題的答案？答案：先求解一元二次方程得到解，再根據實際問題的背景和條件進行檢驗。如解為負數不符合實際數量要求時舍去，若解為小數不符合實際情況需取整等，確保答案符合實際意義。3.比較一元二次方程的幾種解法（因式分解法、配方法、公式法）的優缺點。答案：因式分解法優點是簡單快捷，若能分解則計算量小；缺點是不是所有方程都能因式分解。配方法通用，但過程較繁瑣。公式法也通用，只需代入公式計算，但計算判別式和代入公式可能較復雜。4.若關于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+1=0$有兩個不相等的實數根，求$m$的取值范圍。答案：因為是一元二次方程，所以$m-1\neq0$，即$m\neq1$。又因為有兩個不相等實數根，$\Delta=2^2-4(m-1)×1\gt0$，$4-4m+4\gt0$，$8-4m\gt0$，解得$m\lt2$。綜上，$m\lt2$且$m\neq