全國卷1數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)2.已知\(i\)為虛數單位，\((1+i)^2=\)（）A.\(2i\)B.\(-2i\)C.\(2\)D.\(-2\)3.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)7.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec{b}=\)（）A.\((0,3)\)B.\((2,1)\)C.\((0,1)\)D.\((2,3)\)8.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)9.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)這\(4\)個數中任取\(2\)個數，則取出的\(2\)個數之和為偶數的概率是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)10.函數\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數2.下列不等式成立的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）C.\(a^2+1\gt2a\)D.\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\)（\(a,b\)同號）3.已知直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，則\(l_1\parallell_2\)的條件可能是（）A.\(k_1=k_2\)且\(b_1\neqb_2\)B.\(k_1k_2=-1\)C.\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)D.兩直線斜率都不存在4.以下關于數列的說法正確的是（）A.常數列一定是等差數列B.常數列一定是等比數列C.等差數列的通項公式是關于\(n\)的一次函數D.等比數列的通項公式是\(a_n=a_1q^{n-1}\)5.對于函數\(y=\sinx\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是奇函數D.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增6.下列幾何體中，是旋轉體的有（）A.圓柱B.圓錐C.棱柱D.球7.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)，則以下說法正確的是（）A.圓心坐標為\((1,-2)\)B.半徑為\(2\)C.圓心到\(x\)軸距離為\(2\)D.圓心到\(y\)軸距離為\(1\)8.若\(a\gtb\)，則下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(a-c\gtb-c\)C.\(ac^2\gtbc^2\)（\(c\neq0\)）D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)9.關于向量的運算，下列正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)C.\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)（\(\lambda\)為實數）D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)10.已知函數\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上連續，且\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則（）A.函數\(f(x)\)在\((a,b)\)內至少有一個零點B.函數\(f(x)\)在\((a,b)\)內一定有奇數個零點C.函數\(f(x)\)在\((a,b)\)內一定有偶數個零點D.函數\(f(x)\)在\((a,b)\)內可能有零點三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=x^2\)是奇函數。（）3.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等比數列的公比可以為\(0\)。（）6.函數\(y=\cosx\)的圖象關于\(y\)軸對稱。（）7.兩個平面垂直，一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）8.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）9.對數函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）10.數列\(1,2,4,8,\cdots\)是等差數列。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x-1\)在\(x=2\)處的函數值。答案：把\(x=2\)代入\(y=3x-1\)，得\(y=3×2-1=5\)。2.已知\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec{b}=(1,3)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。答案：根據向量數量積坐標運算，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2×1+(-1)×3=2-3=-1\)。3.求圓\(x^2+y^2=25\)的圓心坐標和半徑。答案：圓的標準方程為\((x-0)^2+(y-0)^2=5^2\)，圓心坐標為\((0,0)\)，半徑\(r=5\)。4.解不等式\(2x-3\gt5\)。答案：移項得\(2x\gt5+3\)，即\(2x\gt8\)，兩邊同時除以\(2\)，解得\(x\gt4\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^2-2x+3\)的單調性。答案：對函數\(y=x^2-2x+3\)變形為\(y=(x-1)^2+2\)。其圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上單調遞減，在\((1,+\infty)\)上單調遞增。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關系。答案：圓\(x^2+y^2=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當\(d=1\)即\(k=0\)時相切；當\(d\lt1\)即\(k\neq0\)時相交。3.討論等差數列與等比數列在通項公式和性質上的異同。答案：相同點：都是數列的重要類型。不同點：通項公式上，等差數列\(a_n=