高等幾何試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪個是仿射不變量（）A.長度B.角度C.單比D.面積2.射影平面上一條直線的齊次坐標(biāo)有（）組A.1B.2C.無窮多D.33.點列之間的射影對應(yīng)是由（）對對應(yīng)點唯一確定A.2B.3C.4D.54.若兩個線束成透視對應(yīng)，則對應(yīng)直線的交點（）A.共線B.共點C.不一定D.以上都不對5.二次曲線的極點與極線的關(guān)系是（）A.一一對應(yīng)B.多對一C.一對多D.無對應(yīng)關(guān)系6.仿射變換把平行四邊形變成（）A.平行四邊形B.梯形C.任意四邊形D.矩形7.射影對應(yīng)保持（）不變A.距離B.角度C.交比D.面積8.平面上無窮遠(yuǎn)點的齊次坐標(biāo)形式為（）A.\((x_1,x_2,0)\)B.\((x_1,0,x_3)\)C.\((0,x_2,x_3)\)D.\((x_1,x_2,x_3)\)9.一條直線與二次曲線的交點個數(shù)可能是（）A.0個B.1個C.2個D.以上都有可能10.仿射變換的矩陣是（）矩陣A.可逆B.不可逆C.對稱D.反對稱二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于射影不變量的有（）A.交比B.調(diào)和比C.單比D.距離2.下列哪些是仿射變換的性質(zhì)（）A.保持平行性B.保持共線三點的單比不變C.保持角度不變D.保持面積不變3.二次曲線\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)的類型可能是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線對4.射影平面上的元素有（）A.普通點B.無窮遠(yuǎn)點C.普通直線D.無窮遠(yuǎn)直線5.點列與線束之間可以通過（）建立對應(yīng)A.中心投影B.平行投影C.透視對應(yīng)D.射影對應(yīng)6.仿射變換把三角形變成（）A.三角形B.四邊形C.相似三角形D.任意多邊形7.以下關(guān)于極點與極線正確的有（）A.一點的極線唯一B.一條直線的極點唯一C.極點在極線上D.自共軛點的極線過自身8.射影對應(yīng)可以由（）確定A.三對對應(yīng)點B.四對對應(yīng)元素C.兩對對應(yīng)點和一對對應(yīng)直線D.三對對應(yīng)直線9.仿射不變圖形有（）A.平行直線B.中點C.梯形D.矩形10.二次曲線的切線具有的性質(zhì)（）A.與二次曲線有且僅有一個交點B.滿足一定的方程關(guān)系C.過切點的直線D.與二次曲線的交點個數(shù)不定三、判斷題（每題2分，共10題）1.仿射變換保持距離不變。（）2.射影平面上任意三點都共線。（）3.兩個點列之間的射影對應(yīng)一定是透視對應(yīng)。（）4.二次曲線的中心一定在曲線上。（）5.無窮遠(yuǎn)直線的齊次坐標(biāo)為\((0,0,1)\)。（）6.仿射變換把圓變成橢圓。（）7.射影對應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變。（）8.極點與極線的關(guān)系是相互的。（）9.一條直線與二次曲線最多有兩個交點。（）10.仿射變換的逆變換也是仿射變換。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述仿射變換與射影變換的關(guān)系。-仿射變換是射影變換的特例。射影變換是在射影平面上的一一對應(yīng)變換，而仿射變換是保持無窮遠(yuǎn)直線不變的射影變換。仿射變換有其特殊的性質(zhì)，如保持平行性等，射影變換則更具一般性。2.什么是交比？它有什么性質(zhì)？-交比是射影幾何中的重要不變量，對于共線四點\(A,B,C,D\)，其交比\((AB,CD)=\frac{(A-C)(B-D)}{(A-D)(B-C)}\)。性質(zhì)：在射影對應(yīng)下交比不變，不同的交比對應(yīng)不同的射影位置關(guān)系。3.簡述極點與極線的求法。-對于二次曲線\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)及點\(P(x_0,y_0)\)，其極線方程為\(ax_0x+h(x_0y+y_0x)+by_0y+g(x+x_0)+f(y+y_0)+c=0\)。已知直線求極點則通過解相關(guān)方程組。4.說明仿射不變量和射影不變量的區(qū)別。-仿射不變量是在仿射變換下保持不變的量，如單比、平行性等；射影不變量是在射影變換下保持不變的量，如交比、調(diào)和比等。射影不變量更具一般性，仿射不變量是射影不變量在仿射這種特殊射影變換下的體現(xiàn)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論仿射變換在實際生活中的應(yīng)用。-在計算機圖形學(xué)中用于圖形的縮放、平移、旋轉(zhuǎn)等操作；在建筑設(shè)計中對建筑圖紙進行變換；在攝影圖像處理里校正圖像的傾斜、變形等。利用仿射變換保持平行性等性質(zhì)實現(xiàn)各種實際需求。2.談?wù)劧吻€的分類在高等幾何中的意義。-二次曲線分類有助于深入理解曲線的幾何性質(zhì)。不同類型（橢圓、雙曲線、拋物線等）有不同的幾何特征和代數(shù)表示，通過分類可以研究它們在射影、仿射變換下的不變性，為相關(guān)領(lǐng)域如光學(xué)、力學(xué)等提供理論基礎(chǔ)。3.如何理解射影平面上無窮遠(yuǎn)點和無窮遠(yuǎn)直線的概念及作用？-無窮遠(yuǎn)點是為使中心投影成為一一對應(yīng)而引入的概念，無窮遠(yuǎn)直線是所有無窮遠(yuǎn)點的集合。它們使射影平面成為封閉的平面，完善了點線的結(jié)合關(guān)系，簡化了許多幾何命題，統(tǒng)一了不同情況下的幾何結(jié)論。4.探討射影對應(yīng)與透視對應(yīng)的聯(lián)系與區(qū)別。-聯(lián)系：透視對應(yīng)是射影對應(yīng)的特殊情況。區(qū)別：射影對應(yīng)是兩個同類基本形之間的一一對應(yīng)，由三對對應(yīng)元素唯一確定，對應(yīng)元素的位置關(guān)系較為靈活；透視對應(yīng)則是通過中心投影建立的，對應(yīng)元素有特定的共線或共點關(guān)系。答案一、單項選擇題1.C2.C3.B4.A5.A6.A7.C8.A9.D10.A二、多項選擇題1.