大學(xué)高數(shù)重修試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.$\infty$D.不存在3.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime=$（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x$D.24.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^3+C$D.$2x^3+C$5.已知函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$f^\prime(x_0)=2$，則$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=$（）A.0B.1C.2D.46.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$7.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$8.定積分$\int_{0}^{1}xdx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.09.函數(shù)$y=\cosx$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime=$（）A.$\sinx$B.$-\sinx$C.$\cosx$D.$-\cosx$10.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=$（）A.2$\int_{0}^{a}f(x)dx$B.0C.$\int_{0}^{a}f(x)dx$D.1多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是基本初等函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\log_2x$2.以下極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}\cosx$3.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充要條件是（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分計算正確的有（）A.$\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$5.函數(shù)$y=x^3-3x$的極值點(diǎn)有（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$6.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$7.定積分的性質(zhì)包括（）A.$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$C.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$D.$\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$（$a\ltc\ltb$）8.函數(shù)$y=f(x)$的導(dǎo)數(shù)$y^\prime$的幾何意義是（）A.函數(shù)曲線的切線斜率B.函數(shù)的變化率C.函數(shù)的平均變化率D.函數(shù)曲線的法線斜率9.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=x$B.$y=e^x$C.$y=\lnx$D.$y=-x$10.計算不定積分$\intf(x)dx$的方法有（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.待定系數(shù)法判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=3x^2$。（）4.定積分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的值與積分變量的選取無關(guān)。（）5.函數(shù)$y=\sinx$是周期函數(shù)，最小正周期是$2\pi$。（）6.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）7.函數(shù)$y=\ln(x^2)$與$y=2\lnx$是同一個函數(shù)。（）8.曲線$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為2。（）9.不定積分$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）10.函數(shù)$y=x^2+1$有最小值1。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-2x^2+1$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對函數(shù)求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-4x$。2.計算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。答案：先求原函數(shù)，$\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C$，再代入上下限計算，$(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}$。3.簡述函數(shù)極限的定義。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時的極限。4.求函數(shù)$y=\frac{1}{x-2}$的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。答案：當(dāng)$x=2$時，函數(shù)無定義，所以$x=2$是間斷點(diǎn)。因為$\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty$，$\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty$，所以是無窮間斷點(diǎn)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^2-4x+3$的單調(diào)性與極值。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=2x-4$，令$y^\prime=0$，得$x=2$。當(dāng)$x\lt2$時，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x\gt2$時，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增。所以在$x=2$處取得極小值，$y(2)=4-8+3=-1$。2.討論定積分在實際生活中的應(yīng)用。答案：定積分在實際中應(yīng)用廣泛，如計算平面圖形面積，通過積分可求出不規(guī)則圖形面積；在物理上，可計算變速直線運(yùn)動的路程，將路程問題轉(zhuǎn)化為速度函數(shù)的定積分；還能計算變力做功等，把復(fù)雜的實際問題量化求解。3.討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系。答案：可導(dǎo)一定連續(xù)，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)必連續(xù)。但連續(xù)不一定可導(dǎo)，例如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但其左右導(dǎo)數(shù)不相等，在該點(diǎn)不可導(dǎo)。4.討論如何運(yùn)用換元積分法計算不定積分。答案：換元積分法分第一類和第二類。第一類是湊微分，把被積函數(shù)湊成$f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx$形式，令$u=\varphi(x)$求解；第二類是令$x=\varphi(t)$，將原積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于$t$的積分，再回代$t$為$x$的函數(shù)，關(guān)鍵是選好合適的換元函數(shù)。答案單項選