三次方程式面試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.一元三次方程的一般形式是（）A.$ax+b=0$B.$ax^2+bx+c=0$C.$ax^3+bx^2+cx+d=0$答案：C2.方程$x^3-8=0$的一個根是（）A.2B.-2C.4答案：A3.三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$有（）個實根A.1B.2C.3答案：A4.三次函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$y'=3x^2$B.$y'=x^2$C.$y'=3x$答案：A5.若三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三個不同實根，其圖象與x軸（）A.無交點B.有一個交點C.有三個交點答案：C6.方程$x^3+1=0$的根為（）A.-1B.1C.0答案：A7.三次方程$x^3-4x=0$的根不包括（）A.0B.2C.-4答案：C8.三次函數(shù)$y=-x^3$的單調(diào)性是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有增有減答案：B9.方程$x^3-27=0$的根是（）A.3B.-3C.9答案：A10.三次方程$2x^3-6x^2+6x-2=0$可化簡為（）A.$(x-1)^3=0$B.$(x+1)^3=0$C.$(2x-1)^3=0$答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于三次方程的有（）A.$x^3-2x=0$B.$x^2+3x+1=0$C.$2x^3+4x^2-1=0$答案：AC2.三次方程$x^3-3x^2+2x=0$的根有（）A.0B.1C.2答案：ABC3.三次函數(shù)$y=x^3-3x$的極值點為（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=0$答案：AB4.三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a\neq0$），可能有（）A.一個實根B.兩個實根C.三個實根答案：ABC5.以下哪些方法可用于求解三次方程（）A.因式分解法B.求根公式法C.試根法答案：ABC6.三次函數(shù)$y=2x^3$的性質(zhì)有（）A.奇函數(shù)B.單調(diào)遞增C.圖象過原點答案：ABC7.方程$x^3-1=0$的根是（）A.1B.$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$C.$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$答案：ABC8.三次方程$x^3+3x^2+3x+1=0$可化為（）A.$(x+1)^3=0$B.$x^3=-1$C.$x^3+1=-3x(x+1)$答案：AB9.三次函數(shù)$y=-x^3+3x^2-3x+1$的特點有（）A.圖象關(guān)于點$(1,0)$對稱B.在R上單調(diào)遞減C.有極大值答案：AB10.對于三次方程$x^3-5x^2+6x=0$，說法正確的是（）A.可因式分解為$x(x-2)(x-3)=0$B.有三個正根C.根的和為5答案：AC三、判斷題（每題2分，共10題）1.所有三次方程都有三個實根。（×）2.三次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)。（×）3.方程$x^3=0$只有一個根0。（√）4.三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a\neq0$）的根的和為$-\frac{b}{a}$。（√）5.三次函數(shù)$y=x^3$的圖象關(guān)于y軸對稱。（×）6.用試根法可以求解所有三次方程。（×）7.方程$x^3+1=0$只有一個實根-1。（√）8.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)。（√）9.三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$的根為1（三重根）。（√）10.三次函數(shù)$y=-x^3$在R上單調(diào)遞減。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求解三次方程$x^3-4x^2+5x-2=0$的思路。答案：先嘗試用試根法，看是否有簡單整數(shù)根。經(jīng)嘗試$x=1$是根，然后用多項式除法將原方程降次為二次方程，再求解二次方程得到所有根。2.三次函數(shù)$y=x^3-3x^2+2$的極值點怎么求？答案：先對函數(shù)求導(dǎo)得$y'=3x^2-6x$，令$y'=0$，即$3x^2-6x=0$，因式分解得$3x(x-2)=0$，解得$x=0$和$x=2$，這兩個點就是極值點。3.三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a\neq0$）根與系數(shù)有什么關(guān)系？答案：設(shè)三根為$x_1$，$x_2$，$x_3$，則$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac5obqefk{a}$。4.如何判斷三次函數(shù)$y=ax^3+bx^2+cx+d$（$a\neq0$）的單調(diào)性？答案：先求導(dǎo)得$y'=3ax^2+2bx+c$，根據(jù)二次函數(shù)$y'$的判別式及開口方向，確定$y'$的正負區(qū)間，$y'>0$時函數(shù)單調(diào)遞增，$y'<0$時函數(shù)單調(diào)遞減。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論三次方程在實際生活中的應(yīng)用場景。答案：在工程設(shè)計中，如計算物體體積、材料用量等問題可能會用到三次方程；在物理中，一些運動學(xué)、動力學(xué)問題建模后也可能出現(xiàn)三次方程，幫助分析物體運動軌跡、受力等情況。2.探討三次函數(shù)與二次函數(shù)在圖象和性質(zhì)上的區(qū)別。答案：圖象上，三次函數(shù)圖象更復(fù)雜，可能有兩個極值點形成的“峰”和“谷”，而二次函數(shù)是拋物線。性質(zhì)上，三次函數(shù)單調(diào)性可能有多種情況，二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，且二次函數(shù)有最值，三次函數(shù)不一定有最值。3.說一說當(dāng)三次方程的系數(shù)變化時，對其根和函數(shù)圖象的影響。答案：系數(shù)變化影響很大。如$a$決定函數(shù)圖象的大致走勢，$a>0$時，函數(shù)從左到右上升趨勢為主；$a<0$則相反。$b$、$c$、