數學二的考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處（）A.連續B.可導C.有定義D.極限存在2.設\(y=\sin^2x\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(2\sinx\)B.\(2\cosx\)C.\(\sin2x\)D.\(\cos2x\)3.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(F(x)+C\)4.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.\((2,2)\)5.設\(A\)是\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)6.向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)7.函數\(z=x^2+y^2\)在點\((1,1)\)處沿向量\(\vec{l}=(1,1)\)的方向導數為（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(2\)D.\(4\)8.已知\(y_1=e^x\)，\(y_2=e^{-x}\)是二階常系數齊次線性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)的兩個解，則\(p,q\)的值為（）A.\(p=0,q=-1\)B.\(p=0,q=1\)C.\(p=1,q=0\)D.\(p=-1,q=0\)9.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，且\(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\)，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)B.至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使\(f(\xi)=0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上非正D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上非負10.設\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則\((A^)^{-1}\)等于（）A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^\)D.\(\vertA\vertA^\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在\(x=0\)處連續的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}e^x,x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}\ln(1+x),x\gt0\\0,x=0\end{cases}\)2.以下哪些是不定積分的性質（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數）C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)3.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)4.對于二階常系數非齊次線性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=P_n(x)e^{\lambdax}\)，其特解\(y^\)的形式可能為（）A.\(Q_n(x)e^{\lambdax}\)B.\(xQ_n(x)e^{\lambdax}\)C.\(x^2Q_n(x)e^{\lambdax}\)D.\(e^{\lambdax}\)5.設函數\(f(x)\)在\([a,b]\)上可導，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續B.\(f(x)\)在\((a,b)\)內必有最值C.\(f^\prime(x)\)在\((a,b)\)內連續D.至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)6.下列向量組中，線性相關的有（）A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)C.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(2,3,4)\)D.\(\alpha_1=(1,0,1)\)，\(\alpha_2=(0,1,-1)\)，\(\alpha_3=(1,1,0)\)7.曲線\(y=f(x)\)的漸近線可能有（）A.水平漸近線B.垂直漸近線C.斜漸近線D.拋物線漸近線8.設\(A,B\)為\(n\)階矩陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(r(A)+r(B)\leqn\)B.\(A=0\)或\(B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(A\)的列向量組線性相關或\(B\)的行向量組線性相關9.對于多元函數\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的是（）A.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則在該點處偏導數存在B.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導數存在，則在該點處可微C.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續，則在該點處偏導數存在D.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則在該點處連續10.設\(f(x)\)是周期為\(T\)的周期函數，且\(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx\)存在，則（）A.\(\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx\)（\(n\)為整數）C.\(\int_{0}^{T}f(x)dx=0\)D.\(\int_{-T}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續。（）2.函數\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上是凹函數。（）3.若\(\int_{a}^{b}f(x)dx\gt0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于\(0\)。（）4.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。（）5.向量組中向量個數大于向量的維數時，向量組一定線性相關。（）6.二元函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的兩個偏導數都存在，則\(z=f(x,y)\)在該點處一定連續。（）7.若\(y_1,y_2\)是二階常系數齊次線性微分方程的兩個解，則\(C_1y_1+C_2y_2\)（\(C_1,C_2\)為任意常數）一定是該方程的通解。（）8.曲線\(y=\frac{1}{x}\)有水平漸近線\(y=0\)和垂直漸近線\(x=0\)。（）9.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征值。（）10.定積分的值只與被積函數和積分區間有關，而與積分變量的記號無關。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^4-2x^2+3\)的極值。答案：先求導\(y^\prime=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1,0,1\)。再求二階導\(y^{\prime\prime}=12x^2-4\)，將\(x\)值代入，\(y^{\prime\prime}(-1)=8\gt0\)，\(y^{\prime\prime}(0)=-4\lt0\)，\(y^{\prime\prime}(1)=8\gt0\)，所以極大值\(y(0)=3\)，極小值\(y(\pm1)=2\)。2.計算\(\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx\)。答案：先將分母變形\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\)，令\(u=x+1\)，\(du=dx\)，則原式\(=\int\frac{1}{u^2+1}du\)，根據積分公式\(\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C\)，所以結果為\(\arctan(x+1)+C\)。3.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)，當\(t\)為何值時，向量組線性相關？答案：構造矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)，對其進行初等行變換得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\)，再變換得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}\)，當\(t=5\)時，\(r(A)\lt3\)，向量組線性相關。4.求微分方程\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0\)的通解。答案：特征方程為\(r^2-2r+1=0\)，即\((r-1)^2=0\)，解得\(r=1\)（二重根）。所以通解為\(y=(C_1+C_2x)e^x\)，\(C_1,C_2\)為任意常數。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處的可導性與連續性。答案：連續性：\(\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}=0=f(0)\)，所以連續。可導性：\(f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0\)，所以在\(x=0\)處可導。2.討論矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1