考研高數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.無間斷點2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若$f^\prime(x_0)=0$，則$x_0$是$f(x)$的（）A.極大值點B.極小值點C.駐點D.拐點5.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^3+C$C.$x^3+C$D.$3x^3+C$6.設(shè)函數(shù)$z=x+y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.0B.1C.$x$D.$y$7.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂8.微分方程$y^\prime=y$的通解是（）A.$y=C$B.$y=e^x+C$C.$y=Ce^x$D.$y=x+C$9.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則在$(a,b)$內(nèi)（）A.一定有最大值B.一定有最小值C.一定有極值D.至少存在一點$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$10.設(shè)$A$為$n$階方陣，且$|A|=0$，則（）A.$A$的列向量組線性無關(guān)B.$A$的行向量組線性無關(guān)C.方程組$Ax=0$有非零解D.方程組$Ax=b$有唯一解二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在$x=0$處連續(xù)的有（）A.$f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}$B.$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},x\neq0\\1,x=0\end{cases}$C.$f(x)=\begin{cases}e^x,x\neq0\\0,x=0\end{cases}$D.$f(x)=\begin{cases}x+1,x\neq0\\1,x=0\end{cases}$2.下列導(dǎo)數(shù)公式正確的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.下列積分計算正確的是（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$B.$\int_{-1}^{1}x^3dx=0$C.$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2$D.$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1$4.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$存在B.偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$連續(xù)C.$\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})$D.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}$6.微分方程$y^{\prime\prime}+y=0$的解有（）A.$y=\sinx$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=e^{-x}$7.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件，則存在$\xi\in(a,b)$使得（）A.$f^\prime(\xi)=0$B.$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$C.函數(shù)$f(x)$在$\xi$處取得極值D.函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上可導(dǎo)8.設(shè)矩陣$A$，$B$為同階方陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$|AB|=|A|\times|B|$D.若$AB=O$，則$A=O$或$B=O$9.向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于向量組中向量的個數(shù)D.向量組中任意兩個向量線性相關(guān)10.下列說法正確的是（）A.若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x_0$處連續(xù)B.若$f(x)$在$x_0$處連續(xù)，則$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)C.若$f(x)$在區(qū)間$I$上可導(dǎo)且$f^\prime(x)\gt0$，則$f(x)$在$I$上單調(diào)遞增D.若$f(x)$在區(qū)間$I$上二階可導(dǎo)且$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，則$f(x)$在$I$上是凹函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的定義域是$x\gt0$。（）2.若$f(x)$在$x_0$處極限存在，則$f(x)$在$x_0$處連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是$y^\prime=3x^2$。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）5.若函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點可微。（）6.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）7.微分方程的通解包含了該方程的所有解。（）8.若矩陣$A$可逆，則$|A|\neq0$。（）9.向量組中若有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）10.函數(shù)$f(x)$在某點處的切線斜率等于該點處的導(dǎo)數(shù)值。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值點與極值。答：$f^\prime(x)=3x^2-6x$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$，$f^{\prime\prime}(0)\lt0$，$x=0$為極大值點，極大值$f(0)=1$；$f^{\prime\prime}(2)\gt0$，$x=2$為極小值點，極小值$f(2)=-3$。2.計算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。答：根據(jù)定積分運(yùn)算規(guī)則，$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}$。3.求函數(shù)$z=\ln(x+y)$的一階偏導(dǎo)數(shù)。答：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x+y}$，$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{1}{x+y}$。4.簡述判斷級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂的比值判別法。答：設(shè)$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，當(dāng)$\rho\lt1$時，級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$絕對收斂；當(dāng)$\rho\gt1$時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)$\rho=1$時，判別法失效。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的間斷點類型。答：$f(x)$的間斷點為$x=\pm1$。當(dāng)$x\to1$或$x\to-1$時，$\lim\limits_{x\to\pm1}\frac{1}{x^2-1}=\infty$，所以$x=\pm1$都是無窮間斷點。2.討論函數(shù)$y=x^4-2x^2+3$的單調(diào)性與凹凸性。答：$y^\prime=4x^3-4x$，令$y^\prime=0$得$x=-1,0,1$。$y^{\prime\prime}=12x^2-4$，令$y^{\prime\prime}=0$得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷，$(-\infty,-1)$和$(0,1)$單調(diào)減，$(-1,0)$和$(1,\infty)$單調(diào)增；$(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})$和$(\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)$凹，$(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$凸。3.討論線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\2x_1+3x_2+(a+1)x_3=3\end{cases}$解的情況。答：對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，系數(shù)矩陣行列式為$0$。當(dāng)$a=1$時，有無窮多解；當(dāng)$a\neq1$時，無解。4.討論如何根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息繪制函數(shù)圖像。答：先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)確定駐點、不可導(dǎo)點。根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性與極值點，二階導(dǎo)數(shù)判斷凹凸性與拐點。結(jié)合漸近