根式方程考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.方程$\sqrt{x+1}=2$的解是（）A.$x=3$B.$x=4$C.$x=5$D.$x=1$2.若$\sqrt{x-3}$有意義，則$x$的取值范圍是（）A.$x\gt3$B.$x\geq3$C.$x\lt3$D.$x\leq3$3.方程$\sqrt{2x-1}=-1$的解的情況是（）A.$x=0$B.$x=1$C.無解D.無數(shù)解4.化簡$\sqrt{(-5)^2}$的結(jié)果是（）A.$-5$B.$5$C.$\pm5$D.$25$5.把方程$\sqrt{x+2}=x$兩邊平方得（）A.$x+2=x^2$B.$x+2=x$C.$x^2+2=x$D.$x-2=x^2$6.方程$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}=0$的解是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.無解7.若$\sqrt{x^2}=-x$，則$x$的取值范圍是（）A.$x\gt0$B.$x\geq0$C.$x\lt0$D.$x\leq0$8.方程$\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}$有意義，則$x$的取值范圍是（）A.$x\geq3$B.$x\leq5$C.$3\leqx\leq5$D.無解9.化簡$\sqrt{12}$的結(jié)果是（）A.$2\sqrt{3}$B.$3\sqrt{2}$C.$4\sqrt{3}$D.$6\sqrt{2}$10.方程$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=2$的解是（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列根式方程中，有實(shí)數(shù)解的是（）A.$\sqrt{x+1}+1=0$B.$\sqrt{x-2}=\sqrt{3-x}$C.$\sqrt{x^2+1}=0$D.$\sqrt{2x-1}=1$2.對于根式方程$\sqrt{x+a}=b$（$b\geq0$），以下說法正確的是（）A.當(dāng)$a\geq0$時一定有解B.當(dāng)$a\lt0$時可能有解C.解為$x=b^2-a$D.若$b=0$，則$x=-a$3.方程$\sqrt{2x-3}+\sqrt{3-2x}=0$，則（）A.$x=\frac{3}{2}$B.此方程有意義C.根式內(nèi)的值為0D.方程無解4.以下根式化簡正確的是（）A.$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$B.$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$C.$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$D.$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$5.若方程$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$成立，則$x$的取值范圍是（）A.$x\geq1$B.$x\leq-1$C.$x\gt1$D.$x\gt-1$6.關(guān)于根式方程$\sqrt{x+5}=x+1$，下列說法正確的是（）A.兩邊平方后得$x+5=x^2+2x+1$B.解這個方程可能會產(chǎn)生增根C.經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解是$x=2$D.原方程無解7.下列哪些是根式方程（）A.$\frac{1}{\sqrt{x}}+x=1$B.$\sqrt{x+1}-x=0$C.$x^2+\sqrt{3}x=0$D.$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+2}=5$8.方程$\sqrt{3x-2}=\sqrt{x}$，兩邊平方后得到的方程是（）A.$3x-2=x$B.$3x-2=x^2$C.移項(xiàng)后為$x^2-3x+2=0$D.因式分解后為$(x-1)(x-2)=0$9.若$\sqrt{(x-2)^2}=2-x$，則$x$可能的值是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$0$10.方程$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$，以下變形正確的是（）A.$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$B.兩邊平方得$x+1=1+2\sqrt{x-1}+x-1$C.進(jìn)一步化簡得$1=2\sqrt{x-1}$D.再平方得$1=4(x-1)$三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程$\sqrt{x+2}=-2$有解。（）2.若$\sqrt{a^2}=a$，則$a\geq0$。（）3.方程$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+2}=\sqrt{(x-1)(x+2)}$，$x$的取值范圍是$x\geq1$。（）4.化簡$\sqrt{27}$的結(jié)果是$3\sqrt{3}$。（）5.方程$\sqrt{3x-5}=\sqrt{5-3x}$的解是$x=\frac{5}{3}$。（）6.根式方程兩邊平方后得到的方程的解一定是原方程的解。（）7.若$\sqrt{x^2-9}=0$，則$x=\pm3$。（）8.把方程$\sqrt{x-3}=2$兩邊平方得$x-3=4$。（）9.方程$\sqrt{2x+1}+1=0$無解。（）10.化簡$\sqrt{50}$得$5\sqrt{2}$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述解根式方程的一般步驟。答案：先確定使根式有意義的取值范圍；然后將方程兩邊平方去掉根號化為整式方程；接著求解整式方程；最后把整式方程的解代入原根式方程檢驗(yàn)，舍去增根。2.為什么解根式方程可能會產(chǎn)生增根？答案：在將根式方程兩邊平方的過程中，方程的定義域可能會擴(kuò)大。原本不滿足原方程的數(shù)，在平方后的整式方程中可能成為解，這些解代入原方程時會使根式無意義，即產(chǎn)生增根。3.如何檢驗(yàn)根式方程的解是否為增根？答案：把求得的解代入原根式方程，看方程左右兩邊是否相等，同時要檢查根號下的數(shù)是否滿足非負(fù)條件。若不滿足上述情況，該解就是增根。4.當(dāng)$a$滿足什么條件時，方程$\sqrt{x+a}=x$有實(shí)數(shù)解？答案：兩邊平方得$x^2-x-a=0$，此一元二次方程判別式$\Delta=1+4a\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{4}$，且$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}\geq0$，綜合得$a\geq-\frac{1}{4}$時方程有實(shí)數(shù)解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在根式方程$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=y$中，$y$的取值范圍。答案：要使根式有意義，則$1\leqx\leq3$。令$x=2+\cos^2\theta$（$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$），原方程化為$\sqrt{1+\cos^2\theta}+\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1+\cos^2\theta}+\sin\theta$。當(dāng)$x=1$或$x=3$時，$y=\sqrt{2}$；當(dāng)$x=2$時，$y=2$，所以$\sqrt{2}\leqy\leq2$。2.對于根式方程$\sqrt{x+m}=\sqrt{x}+1$，討論$m$取不同值時方程解的情況。答案：兩邊平方得$x+m=x+2\sqrt{x}+1$，即$m-1=2\sqrt{x}$。當(dāng)$m\lt1$時，方程無解；當(dāng)$m=1$時，$x=0$是解；當(dāng)$m\gt1$時，$x=(\frac{m-1}{2})^2$，代入原方程檢驗(yàn)，$m\gt1$時方程有解$x=(\frac{m-1}{2})^2$。3.討論如何通過圖像法判斷根式方程$\sqrt{x+2}=x+b$解的個數(shù)。答案：分別畫出$y=\sqrt{x+2}$與$y=x+b$的圖像。$y=\sqrt{x+2}$是將$y=\sqrt{x}$向左平移2個單位得到，$y=x+b$是斜率為1的直線。通過直線上下移動，觀察兩圖像交點(diǎn)個數(shù)，有0個、1個或2個交點(diǎn)，對應(yīng)方程解的個數(shù)為0個、1個或2個。4.已知根式方程$\sqrt{ax+b}=\sqrt{cx+d}$（$a$、$b$、$c$、$d$為常數(shù)），討論其解的情況與$a$、$b$、$c$、$d$的關(guān)系。答案：兩邊平方得$ax+b=cx+d$，移項(xiàng)得$(a-c)x=d-b$。當(dāng)$a=c$且$b=d$時，有無數(shù)解；當(dāng)$a=c$且$b\neqd$時，無解；當(dāng)$a\neqc$時，$x=\frac{d-b}{a-c}$，還需代入原方程檢驗(yàn)，保證$ax+b\geq0$且$cx+d\geq0$。