高等數學下試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\gt0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x+y\lt0\)D.\(x+y\leq0\)2.偏導數\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示（）A.\(z\)對\(x\)的全導數B.\(z\)關于\(x\)的變化率C.\(z\)關于\(y\)的變化率D.\(z\)對\(x\)的方向導數3.二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)（\(D\)為\(x^2+y^2\leq1\)）在極坐標下可表示為（）A.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)B.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)C.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)D.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)4.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)當（）時收斂。A.\(p\gt0\)B.\(p\gt1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\leq1\)5.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與\(\vec{b}=(2,4,6)\)的關系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面6.曲線\(y=x^2\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉曲面方程是（）A.\(y^2+z^2=x^4\)B.\(y^2-z^2=x^4\)C.\(y^2+z^2=x^2\)D.\(y^2-z^2=x^2\)7.函數\(z=x^2+y^2\)在點\((1,1)\)處的全微分\(dz\)為（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(2dx+dy\)D.\(dx+2dy\)8.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂半徑\(R\)的求法是（）A.\(R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}\)B.\(R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)C.\(R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)D.\(R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert\)9.設\(L\)是從\((0,0)\)到\((1,1)\)的直線段，則\(\int_Lxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(2\)10.散度\(\text{div}\vec{F}\)對于向量場\(\vec{F}=(P,Q,R)\)的計算公式是（）A.\(\text{div}\vec{F}=\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}+\frac{\partialR}{\partialz}\)B.\(\text{div}\vec{F}=\frac{\partialP}{\partialy}+\frac{\partialQ}{\partialz}+\frac{\partialR}{\partialx}\)C.\(\text{div}\vec{F}=\frac{\partialP}{\partialz}+\frac{\partialQ}{\partialx}+\frac{\partialR}{\partialy}\)D.\(\text{div}\vec{F}=\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialz}+\frac{\partialR}{\partialy}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪些是多元函數的概念（）A.偏導數B.全微分C.方向導數D.梯度2.下列哪些積分區域是有界的（）A.\(x^2+y^2\leq1\)B.\(x\geq0,y\geq0\)C.\(0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\)D.\(x^2+y^2\geq1\)3.關于級數收斂的性質，正確的有（）A.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)B.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)與\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)\)收斂C.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，\(k\)為常數，則\(\sum_{n=1}^{\infty}ku_n\)收斂D.若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則去掉有限項后所得級數仍收斂4.向量的運算包括（）A.加法B.數乘C.點積D.叉積5.以下哪些是常見的二次曲面（）A.橢球面B.拋物面C.雙曲面D.錐面6.函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)可微的充分條件有（）A.\(f_x(x,y)\)與\(f_y(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)連續B.\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）C.\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的偏導數存在D.\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的偏導數連續7.對于二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)（\(D\)為平面區域），可化為二次積分計算，下列說法正確的是（）A.若\(D\)是\(X-\)型區域\(a\leqx\leqb,\varphi_1(x)\leqy\leq\varphi_2(x)\)，則\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\)B.若\(D\)是\(Y-\)型區域\(c\leqy\leqd,\psi_1(y)\leqx\leq\psi_2(y)\)，則\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\)C.可先對\(x\)積分，也可先對\(y\)積分，結果相同D.二次積分的積分限由積分區域\(D\)確定8.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)在其收斂區間內具有的性質有（）A.絕對收斂B.一致收斂C.可以逐項求導D.可以逐項積分9.曲線積分與路徑無關的條件有（）A.在單連通區域內\(\frac{\partialQ}{\partialx}=\frac{\partialP}{\partialy}\)B.存在函數\(u(x,y)\)使得\(du=Pdx+Qdy\)C.對于該區域內任意閉曲線\(C\)，\(\oint_CPdx+Qdy=0\)D.向量場\(\vec{F}=(P,Q)\)是保守場10.高斯公式\(\iiint_{\varOmega}(\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}+\frac{\partialR}{\partialz})dV=\iint_{\varSigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\)中的\(\varOmega\)和\(\varSigma\)滿足（）A.\(\varOmega\)是空間閉區域B.\(\varSigma\)是\(\varOmega\)的邊界曲面C.\(\varSigma\)取外側D.\(\varOmega\)是單連通區域三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的偏導數存在，則函數在該點一定連續。（）2.二重積分的值與積分區域\(D\)的劃分方式無關。（）3.若級數\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的部分和數列\(\{S_n\}\)有界，則該級數收斂。（）4.向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的點積\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，其中\(\theta\)為\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角。（）5.方程\(x^2+y^2-z^2=0\)表示的是圓錐面。（）6.函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的全微分\(dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy\)。（）7.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂區間一定是關于\(x=x_0\)對稱的。（）8.曲線積分\(\int_LPdx+Qdy\)與路徑無關，則\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)在整個平面上都成立。（）9.散度\(\text{div}\vec{F}\)為向量場\(\vec{F}\)在某點處的“通量密度”。（）10.斯托克斯公式建立了空間曲線積分與曲面積分之間的聯系。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述多元函數可微、偏導數存在、連續之間的關系。答案：可微能推出偏導數存在且函數連續；偏導數存在不一定連續，也不一定可微；函數連續推不出偏導數存在，也推不出可微。2.如何求冪級數的收斂域？答案：先求收斂半徑\(R\)，用公式\(R=\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)（\(a_n\)為冪級數系數）。再判斷\(x=R\)與\(x=-R\)處級數的斂散性，從而確定收斂域。3.簡述格林公式及其應用條件。答案：格林公式\(\oint_CPdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy\)。應用條件：\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)在閉區域\(D\)上具有一階連續偏導數，\(C\)為\(D\)的正向邊界曲線。4.什么是方向導數，如何計算？答案：方向導數是函數在某點沿某一方向的變化率。設函數\(z=f(x,y)\)，在點\((x_0,y_0)\)沿方向\(\vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)\)的方向導數為\(\frac{\partialf}{\partiall}\vert_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論多元函數極值與最值的區別與聯系。答案：區別：極值是局部概念，是函數在某點鄰域內的最大或最小值；最值是整體概念，是函數在整個定義域或指定區域上的最大或最小值。聯系：最值可能在極值點、邊界點或不可導點處取得，所以求最值時需先找極值點。2.探討在實際問題中如何運用二重積分求解