高數(shù)第九章試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪項是多元函數(shù)的定義范疇？（）A.只含一個自變量的函數(shù)B.含兩個及以上自變量的函數(shù)C.常數(shù)函數(shù)答案：B2.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導數(shù)存在是函數(shù)在該點可微的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件答案：B3.設\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)答案：A4.已知\(z=e^{xy}\)，那么\(z_y\)（\(y\)的偏導數(shù)）為（）A.\(xe^{xy}\)B.\(ye^{xy}\)C.\(e^{xy}\)答案：A5.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)的駐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)答案：A6.函數(shù)\(z=3x^2+3y^2\)在區(qū)域\(x^2+y^2\leqslant1\)上的最大值是（）A.0B.3C.6答案：B7.設\(z=\sin(xy)\)，則\(dz\)=（）A.\(y\cos(xy)dx+x\cos(xy)dy\)B.\(\cos(xy)dx+\cos(xy)dy\)C.\(-y\cos(xy)dx-x\cos(xy)dy\)答案：A8.已知\(z=\ln(x+y)\)，則\(z_{xy}\)（先對\(x\)后對\(y\)求偏導）=（）A.\(\frac{1}{(x+y)^2}\)B.\(-\frac{1}{(x+y)^2}\)C.\(\frac{1}{x+y}\)答案：A9.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則函數(shù)在該點（）A.不連續(xù)B.連續(xù)C.不一定連續(xù)答案：B10.設\(z=x^y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialy}\)=（）A.\(x^y\lnx\)B.\(yx^{y-1}\)C.\(x^y\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些屬于多元函數(shù)的概念（）A.二元函數(shù)B.三元函數(shù)C.\(n\)元函數(shù)答案：ABC2.關于多元函數(shù)偏導數(shù)的說法正確的是（）A.反映函數(shù)沿坐標軸方向的變化率B.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定連續(xù)C.求偏導數(shù)時把其他變量看作常數(shù)答案：ABC3.下列函數(shù)中，哪些是可微函數(shù)（）A.\(z=x+y\)B.\(z=x^2+y^2\)C.\(z=|x|+|y|\)答案：AB4.求多元復合函數(shù)偏導數(shù)時用到的法則有（）A.鏈式法則B.加法法則C.乘法法則答案：A5.多元函數(shù)的極值點可能是（）A.駐點B.偏導數(shù)不存在的點C.邊界點答案：AB6.設\(z=f(x,y)\)，則\(dz\)與\(\Deltaz\)的關系是（）A.\(dz\)是\(\Deltaz\)的線性主部B.\(\Deltaz-dz\)是比\(\rho=\sqrt{\Deltax^2+\Deltay^2}\)高階的無窮小C.\(dz=\Deltaz\)答案：AB7.以下哪些是求多元函數(shù)最值的步驟（）A.求駐點B.求偏導數(shù)不存在的點C.比較駐點、偏導數(shù)不存在的點以及邊界點處的函數(shù)值答案：ABC8.已知\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)B.\(f_1'\varphi_x'+f_2'\psi_x'\)C.\(\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialv}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialu}{\partialx}\)答案：AB9.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的是（）A.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2>0\)且\(z_{xx}>0\)，則有極小值B.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2>0\)且\(z_{xx}<0\)，則有極大值C.若\(z_{xx}z_{yy}-(z_{xy})^2<0\)，則無極值答案：ABC10.多元函數(shù)連續(xù)、可偏導、可微之間的關系是（）A.可微必連續(xù)且可偏導B.連續(xù)不一定可偏導C.可偏導不一定可微答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.多元函數(shù)在某點連續(xù)，則在該點偏導數(shù)一定存在。（）答案：錯2.函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導數(shù)\(z_x\)，\(z_y\)在點\((x_0,y_0)\)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微。（）答案：對3.駐點一定是極值點。（）答案：錯4.多元函數(shù)的偏導數(shù)就是函數(shù)沿坐標軸方向的變化率。（）答案：對5.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)可微，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)連續(xù)。（）答案：對6.函數(shù)\(z=x^2y+1\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=2x\)。（）答案：對7.多元復合函數(shù)求導時，復合關系不同求導公式也不同。（）答案：對8.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)的最大值一定大于最小值。（）答案：錯9.二元函數(shù)\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)處偏導數(shù)不存在。（）答案：對10.若\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz=Adx+Bdy\)，則\(A=z_x\)，\(B=z_y\)。（）答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述多元函數(shù)可微的定義。答案：設函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的某鄰域內(nèi)有定義，若\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{\Deltax^2+\Deltay^2}\)），則稱函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)可微，\(dz=A\Deltax+B\Deltay\)。2.求多元函數(shù)極值的一般步驟是什么？答案：首先求函數(shù)的駐點，即解方程組\(f_x=0\)，\(f_y=0\)。再求偏導數(shù)不存在的點。然后用判別式\(A=f_{xx}\)，\(B=f_{xy}\)，\(C=f_{yy}\)，根據(jù)\(AC-B^2\)的正負及\(A\)的正負判斷駐點是否為極值點。3.簡述多元復合函數(shù)求導的鏈式法則。答案：若\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialz}{\partialu}\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialz}{\partialv}\frac{\partialv}{\partialy}\)。4.說明二元函數(shù)連續(xù)、可偏導、可微之間的關系。答案：可微能推出連續(xù)且可偏導；連續(xù)不一定可偏導；可偏導不一定可微；偏導數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)偏導數(shù)與方向?qū)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：偏導數(shù)是方向?qū)?shù)在坐標軸方向的特殊情況。區(qū)別：偏導數(shù)只考慮沿坐標軸方向的變化率，方向?qū)?shù)可考慮沿任意方向的變化率。偏導數(shù)用極限定義，方向?qū)?shù)是函數(shù)沿某一方向的變化率，通過特定極限公式計算。2.在實際問題中，如何運用多元函數(shù)極值的知識來求解最值？答案：先根據(jù)實際問題建立多元函數(shù)模型，確定自變量和因變量。再求函數(shù)的駐點和偏導數(shù)不存在的點。結合實際問題的定義域，判斷駐點等是否為最值點，有時還需考慮邊界情況，比較各點函數(shù)值大小得出最值。3.討論多元函數(shù)全微分在近似計算中的應用原理。答案：當\(\Deltax\)，\(\Deltay\)很小時，\(\Deltaz\approxdz\)。已知\(z=f(x,y)\)，\(dz=f_x\Deltax