福建省上杭一中09-10學年高二上學期期末考試（數學文）一、選擇題1.已知函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，則$f(x)$的圖像與下列哪個函數的圖像相同？（1）$y=x^2-3x+2$（2）$y=x^2-3x+2$（除去點$(1,0)$）（3）$y=x^2-3x+2$（除去點$(0,2)$）（4）$y=x^2-3x+2$（除去點$(1,2)$）2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，則第10項$a_{10}$的值為：（1）25（2）28（3）31（4）343.已知直線$l$的方程為$y=2x+1$，點$A(1,2)$關于直線$l$的對稱點為$B$，則$B$的坐標為：（1）$(0,1)$（2）$(-1,0)$（3）$(-1,2)$（4）$(0,3)$4.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的零點為：（1）$1,2,3$（2）$1,2,-1$（3）$1,-2,3$（4）$1,-2,-1$5.已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$P(1,1)$到圓$O$的距離為：（1）$\sqrt{2}$（2）$2$（3）$\sqrt{3}$（4）$3$二、填空題6.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(3)$的值為______。7.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為1，公差為2，則第5項$a_5$的值為______。8.已知直線$l$的方程為$y=3x-2$，點$A(1,2)$關于直線$l$的對稱點為$B$，則$AB$的長度為______。9.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(-1)$的值為______。10.已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$P(1,1)$到圓$O$的距離為______。三、解答題11.（1）已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$的圖像的頂點坐標。（2）已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$在區間$[1,3]$上的最大值和最小值。12.（1）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，求第10項$a_{10}$。（2）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，求前10項的和$S_{10}$。13.（1）已知直線$l$的方程為$y=2x+1$，點$A(1,2)$關于直線$l$的對稱點為$B$，求$B$的坐標。（2）已知直線$l$的方程為$y=2x+1$，點$A(1,2)$關于直線$l$的對稱點為$B$，求$AB$的長度。14.（1）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的零點。（2）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$在區間$[-1,2]$上的最大值和最小值。15.（1）已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$P(1,1)$到圓$O$的距離為$d$，求$d$的值。（2）已知圓$O$的方程為$x^2+y^2=4$，點$P(1,1)$到圓$O$的距離為$d$，求以點$P$為圓心，$d$為半徑的圓的方程。四、解答題16.（1）已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$，求$f(x)$的圖像的對稱軸。（2）已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$，求$f(x)$在區間$[1,3]$上的單調性。五、解答題17.（1）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為3，公比為2，求第6項$a_6$。（2）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為3，公比為2，求前6項的和$S_6$。六、解答題18.（1）已知直線$l$的方程為$y=-\frac{1}{2}x+3$，點$A(2,1)$關于直線$l$的對稱點為$B$，求$B$的坐標。（2）已知直線$l$的方程為$y=-\frac{1}{2}x+3$，點$A(2,1)$關于直線$l$的對稱點為$B$，求$AB$的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（2）解析：函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$可以簡化為$f(x)=x+2$（除去點$(1,0)$），因此與$y=x+2$（除去點$(1,0)$）的圖像相同。2.答案：（2）解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首項$a_1=2$和公差$d=3$，得$a_{10}=2+(10-1)\times3=2+27=29$。3.答案：（3）解析：點$A(1,2)$關于直線$y=2x+1$的對稱點$B$，其坐標可以通過求解直線與點$A$的垂線來找到。垂線的斜率為直線斜率的負倒數，即$-\frac{1}{2}$。垂線通過點$A$，所以方程為$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$，解得垂線與直線$l$的交點為$(-1,0)$，$A$和$(-1,0)$的中點即為$B$的坐標，所以$B$的坐標為$(-1,2)$。4.答案：（4）解析：通過代入$x=1,2,3$，我們可以發現$f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=3$，所以$f(x)$在$x=1$時從負變正，有一個零點；在$x=2$時從正變負，有一個零點；在$x=3$時從負變正，有一個零點。因此零點為$1,-2,-1$。5.答案：（1）解析：點$P(1,1)$到圓$O$的距離即為點$P$到圓心$O(0,0)$的距離，使用距離公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得$d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$。二、填空題6.答案：2解析：將$x=3$代入$f(x)=x^2-2x+1$，得$f(3)=3^2-2\times3+1=9-6+1=4$。7.答案：11解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首項$a_1=1$和公差$d=2$，得$a_5=1+(5-1)\times2=1+8=11$。8.答案：$\sqrt{5}$解析：點$A(1,2)$關于直線$y=3x-2$的對稱點$B$，其坐標可以通過求解直線與點$A$的垂線來找到。垂線的斜率為直線斜率的負倒數，即$-\frac{1}{3}$。垂線通過點$A$，所以方程為$y-2=-\frac{1}{3}(x-1)$，解得垂線與直線$l$的交點為$\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$，$A$和$\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$的中點即為$B$的坐標，所以$B$的坐標為$\left(\frac{8}{3},\frac{10}{3}\right)$，$AB$的長度為$\sqrt{\left(1-\frac{8}{3}\right)^2+\left(2-\frac{10}{3}\right)^2}=\sqrt{5}$。9.答案：-2解析：將$x=-1$代入$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)-1=-1-3-4-1=-9$。10.答案：$\sqrt{2}$解析：點$P(1,1)$到圓$O$的距離即為點$P$到圓心$O(0,0)$的距離，使用距離公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得$d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$。三、解答題11.（1）答案：$(2,1)$解析：函數$f(x)=x^2-4x+3$可以重寫為$f(x)=(x-2)^2-1$，所以頂點坐標為$(2,-1)$。12.（1）答案：29解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入首項$a_1=2$和公差$d=3$，得$a_{10}=2+(10-1)\times3=2+27=29$。13.（1）答案：$(-1,2)$解析：點$A(1,2)$關于直線$y=2x+1$的對稱點$B$，其坐標可以通過求解直線與點$A$的垂線來找到。垂線的斜率為直線斜率的負倒數，即$-\frac{1}{2}$。垂線通過點$A$，所以方程為$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$，解得垂線與直線$l$的交點為$(-1,0)$，$A$和$(-1,0)$的中點即為$B$的坐標，所以$B$的坐標為$(-1,2)$。14.（1）答案：$1,-2,-1$解析：通過代入$x=1,2,3$，我們可以發現$f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=3$，所以$f(x)$在$x=1$時從負變正，有一個零點；在$x=2$時從正變負，有一個零點；在$x=3$時從負變正，有一個零點。因此零點為$1,-2,-1$。15.（1）答案：$\sqrt{2}$解析：點$P(1,1)$到圓$O$的距離即為點$P$到圓心$O(0,0)$的距離，使用距離公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入得$d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$。四、解答題16.（1）答案：$x=1$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$可以重寫為$f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，所以對稱軸為$x=1$。17.（1）答案：63解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1r^{(n-1)}$，代入首項$a_1=3$和公比$r=2$，得$a_6=3\times2^{(6-1)}=3\times2^5=3\times32=96$。18.（1）答案：$(\frac{11}{5},\frac{4}{5})$解析：點$A(2,1)$關于直線$y=-\frac{1