成人高考數學（文）全真模擬試卷（含概率題專項突破，2025年）一、選擇題1.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，若$a$為方程$f(x)=0$的根，則$f(a)$的值為：A.0B.1C.-1D.22.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_4=8$，則該數列的公差$d$為：A.1B.2C.3D.43.在下列各式中，正確的是：A.$2^3\times3^2=6^5$B.$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$C.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2+2ab$D.$a^2+b^2=(a+b)^2$4.若$a$，$b$，$c$為等差數列，且$a+b+c=12$，則$b$的值為：A.4B.6C.8D.105.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于$x$軸的對稱點坐標為：A.$(-2,-3)$B.$(2,-3)$C.$(-2,3)$D.$(2,3)$二、填空題6.若等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=1$，$a_3=8$，則$q=$__________。7.已知三角形的三邊長分別為3，4，5，則該三角形的面積是__________。8.若$a$，$b$，$c$為等差數列，且$a+b+c=12$，則$3a=$__________。9.在直角坐標系中，點$B(-2,3)$關于原點的對稱點坐標為__________。10.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_4=10$，則$a_7=$__________。三、解答題11.已知函數$f(x)=x^2-4x+3$，求：（1）函數的對稱軸；（2）函數的頂點坐標；（3）函數與$x$軸的交點坐標。四、解答題12.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求：（1）數列的前$n$項和$S_n$；（2）數列的第$n$項$a_n$。五、解答題13.已知三角形的三邊長分別為$x$，$x+2$，$x+4$，且三角形的面積為$S$，求：（1）$S$關于$x$的函數表達式；（2）當$x$取何值時，三角形的面積$S$最大。六、解答題14.已知函數$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，求：（1）函數的定義域；（2）函數的對稱軸；（3）函數的增減性質；（4）函數的極值點及極值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：函數$f(x)=x^3-3x+1$的根為$a$，即$f(a)=a^3-3a+1=0$，因此$f(a)$的值為-1。2.答案：B解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=2$，$a_4=8$，代入公式得$8=2+(4-1)d$，解得$d=2$。3.答案：B解析：$2^3\times3^2=8\times9=72$，不等于$6^5$；$(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$，正確；$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，不包含$2ab$；$a^2+b^2$不等于$(a+b)^2$，因為$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。4.答案：B解析：等差數列中，$a+b+c=3a+3d=12$，解得$a+d=4$，因為$a$，$b$，$c$為等差數列，所以$b=a+d=4$。5.答案：B解析：點$A(2,3)$關于$x$軸的對稱點坐標為$(2,-3)$，因為對稱點的$x$坐標不變，$y$坐標取相反數。二、填空題6.答案：2解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1=1$，$a_3=8$，代入公式得$8=1\timesq^2$，解得$q=2$。7.答案：6解析：三角形面積公式為$S=\frac{1}{2}ab\sinC$，其中$a=3$，$b=4$，$c=5$，且$C=90^\circ$，代入公式得$S=\frac{1}{2}\times3\times4=6$。8.答案：12解析：等差數列中，$a+b+c=3a+3d=12$，解得$a+d=4$，所以$3a=3(a+d)=3\times4=12$。9.答案：$(2,-3)$解析：點$B(-2,3)$關于原點的對稱點坐標為$(2,-3)$，因為對稱點的$x$坐標和$y$坐標都取相反數。10.答案：18解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=2$，$a_4=10$，代入公式得$10=2+(4-1)d$，解得$d=2$，所以$a_7=2+(7-1)2=18$。三、解答題11.答案：（1）對稱軸：$x=2$（2）頂點坐標：$(2,-1)$（3）與$x$軸的交點坐標：$(1,0)$和$(3,0)$解析：（1）函數$f(x)=x^2-4x+3$是一個二次函數，其對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$。（2）頂點坐標可以通過完成平方得到：$f(x)=(x-2)^2-1$，所以頂點坐標為$(2,-1)$。（3）令$f(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$，所以函數與$x$軸的交點坐標為$(1,0)$和$(3,0)$。四、解答題12.答案：（1）$S_n=3^n-2^n$（2）$a_n=3^n-2^n$解析：（1）數列的前$n$項和$S_n$可以通過將通項公式求和得到：$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n=3^1-2^1+3^2-2^2+\ldots+3^n-2^n$。這是一個等比數列的求和，其中公比$q=\frac{3}{2}$，首項$a_1=1$，項數為$n$，所以$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1-(\frac{3}{2})^n}{1-\frac{3}{2}}=3^n-2^n$。（2）根據通項公式，第$n$項$a_n=3^n-2^n$。五、解答題13.答案：（1）$S(x)=\frac{1}{2}(x(x+2))(x+4)$（2）當$x=1$時，三角形的面積$S$最大解析：（1）三角形面積公式為$S=\frac{1}{2}ab\sinC$，其中$a=x$，$b=x+2$，$c=x+4$，且$C$為$90^\circ$，代入公式得$S=\frac{1}{2}(x(x+2))(x+4)$。（2）由于三角形的面積與邊長成正比，當$x$取最小值時，面積$S$也取最小值。當$x=1$時，$x$取得最小值，因此三角形的面積$S$最大。六、解答題14.答案：（1）定義域：$(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$（2）對稱軸：$x=-1$（3）增減性質：當$x<-1$時，函數遞減；當$x>-1$時，函數遞增。（4）極值點及極值：極小值點為$x=-1$，極小值為$f(-1)=-1$解析：（1）函數$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$的定義域為$x+1\neq0$，即$x\neq-1$，所以定義域為$(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$。（2）函數的對稱軸可以通過將函數寫為$f(x)=\frac{(x+1)^2-2(x+1)+1}{x+1}$，化簡得$f(x)=x+1-\frac{1}{x+1}$，所以對稱軸為$x=-1$。（3）當$x<-1$時，$x+1<0$，$\frac{1}{x+1}<0$，