安徽省六校教育研究會2012屆高三測試（數學文）一、選擇題1.已知函數$f(x)=\lnx-x+1$，其定義域為$\{x|x>0\}$，則下列說法正確的是：A.函數$f(x)$在定義域內單調遞增；B.函數$f(x)$在定義域內單調遞減；C.函數$f(x)$在定義域內存在最大值；D.函數$f(x)$在定義域內存在最小值。2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_4+a_5+a_6=18$，則$a_1$的值為：A.1；B.2；C.3；D.4。二、填空題3.若不等式$2x^2-4x+1>0$的解集為$A$，則不等式$4x^2-8x+3<0$的解集為______。4.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，則$f(2)$的值為______。5.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_4+a_5+a_6=27$，則數列$\{a_n\}$的通項公式為______。三、解答題6.已知函數$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，其中$x>0$，求函數$f(x)$的單調區間和極值。7.已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1+a_2+a_3=24$，$a_4+a_5+a_6=192$，求該數列的公比。四、證明題要求：證明下列各題。8.證明：若函數$f(x)=x^3-3x+2$在區間$[0,1]$上連續，且$f(0)=2$，$f(1)=0$，則存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2$。五、應用題要求：解決下列實際問題。9.一輛汽車以$60$千米/小時的速度行駛，在行駛了$2$小時后，發現油箱中的油量僅剩下一半。如果汽車以$80$千米/小時的速度行駛，那么需要多長時間才能用完剩余的油？六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決下列問題。10.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（2）函數$f(x)$的極值點及極值；（3）函數$f(x)$的拐點及拐向。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.函數$f(x)$在定義域內單調遞減。解析思路：首先對函數$f(x)=\lnx-x+1$求導得到$f'(x)=\frac{1}{x}-1$。由于$x>0$，所以$\frac{1}{x}-1<0$，即$f'(x)<0$，因此函數$f(x)$在定義域內單調遞減。2.D.4。解析思路：由等差數列的性質，有$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$。代入$a_1+a_2+a_3=9$和$a_4+a_5+a_6=27$，得到方程組：\[\begin{cases}a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9\\(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=27\end{cases}\]解得$a_1=1$，$d=2$。因此$a_1=4$。二、填空題3.$\{x|x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}\}$或$\{x|x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}\}$。解析思路：由不等式$2x^2-4x+1>0$可得$x^2-2x+\frac{1}{2}>0$，即$(x-1)^2-\frac{1}{2}>0$。解得$x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}$或$x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}$。由于原不等式為大于0，所以解集為$\{x|x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}\}$或$\{x|x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}\}$。4.$2$。解析思路：代入$x=2$到函數$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，得到$f(2)=\frac{2^2-4\cdot2+3}{2-1}=2$。5.$a_n=3n-2$。解析思路：由等差數列的性質，有$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$。代入$a_1+a_2+a_3=9$和$a_4+a_5+a_6=27$，得到方程組：\[\begin{cases}a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9\\(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=27\end{cases}\]解得$a_1=1$，$d=2$。因此$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=3n-2$。三、解答題6.解答思路：（1）求導得到$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$；（2）令$f'(x)=0$，解得$x=1$；（3）當$x<1$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；（4）$x=1$時，函數$f(x)$取得極小值$f(1)=1-1+1=1$。7.解答思路：（1）設公比為$q$，則有$a_1+a_1q+a_1q^2=24$，$a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5=192$；（2）通過方程組解得$q=2$。四、證明題8.證明思路：（1）由于$f(x)$在$[0,1]$上連續，且$f(0)=2$，$f(1)=0$，根據羅爾定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$；（2）由于$f'(x)=3x^2-3$，在$[0,1]$上單調遞增，且$f'(0)=-3$，$f'(1)=0$，根據零點定理，存在$\eta\in(0,1)$，使得$f'(\eta)=2$；（3）由$f'(\xi)=0$和$f'(\eta)=2$，根據介值定理，存在$\xi\in(\eta,1)$，使得$f'(\xi)=2$。五、應用題9.解答思路：（1）設汽車以$60$千米/小時的速度行駛了$t$小時，則有$60t$千米；（2）剩余油量為$60t$千米，以$80$千米/小時的速度行駛，則有$\frac{60t}{80}=\frac{3t}{4}$小時。六、綜合題10.解答思路：（1）求導得到$f'(x)=3x^2-12x+9$；（2）令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=3$；（3）當$x<1$或$x>3$時，$f'(x)>0$，函數單調遞增；當$1<x<3$時，$f'(x)<0$，函數單調遞減；（4）$x=1$時，函