2025學年度大一上學期大學高等數學（上）期中測試題：線性代數矩陣運算挑戰題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣A的行列式值為______。A.1B.2C.5D.102.若矩陣A可逆，且滿足A的逆矩陣為\[A^{-1}=\begin{bmatrix}2&1\\-1&3\end{bmatrix}\]則矩陣A的行列式值為______。A.5B.6C.7D.83.設矩陣B為\[B=\begin{bmatrix}3&-2\\1&4\end{bmatrix}\]則矩陣B的秩為______。A.1B.2C.3D.44.若矩陣C滿足C的行列式值為0，則矩陣C______。A.必定可逆B.必定不可逆C.可逆與不可逆都可能D.無法確定5.設矩陣D為\[D=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]則矩陣D的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]6.若矩陣E為\[E=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]則矩陣E的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]7.若矩陣F為\[F=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣F的秩為______。A.1B.2C.3D.48.設矩陣G滿足G的逆矩陣為\[G^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣G的行列式值為______。A.1B.2C.5D.109.若矩陣H滿足H的行列式值為0，則矩陣H______。A.必定可逆B.必定不可逆C.可逆與不可逆都可能D.無法確定10.設矩陣I為\[I=\begin{bmatrix}2&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣I的逆矩陣為______。A.\[\begin{bmatrix}2&1&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]二、多項選擇題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）1.下列矩陣中，哪些是方陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\7&8\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]2.下列矩陣中，哪些是可逆矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]3.下列矩陣中，哪些是等價矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\]4.下列矩陣中，哪些是行簡化階梯形矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]5.下列矩陣中，哪些是初等矩陣？A.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]B.\[\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]C.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\]D.\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]四、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣A的伴隨矩陣為______。2.若矩陣B為\[B=\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\]則矩陣B的逆矩陣為______。3.設矩陣C為\[C=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣C的秩為______。4.若矩陣D滿足D的逆矩陣為\[D^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣D的行列式值為______。5.設矩陣E為\[E=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]則矩陣E的逆矩陣為______。6.若矩陣F滿足F的行列式值為0，則矩陣F______。7.設矩陣G為\[G=\begin{bmatrix}2&1&3\\0&1&4\\1&0&2\end{bmatrix}\]則矩陣G的逆矩陣為______。8.若矩陣H滿足H的逆矩陣為\[H^{-1}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]則矩陣H的行列式值為______。9.設矩陣I為\[I=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]則矩陣I的秩為______。10.若矩陣J滿足J的行列式值為0，則矩陣J______。五、計算題（本大題共3小題，每小題20分，共60分）1.計算矩陣A的逆矩陣，其中\[A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}\]2.計算矩陣B的行列式，其中\[B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]3.計算矩陣C的秩，其中\[C=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]六、應用題（本大題共2小題，每小題30分，共60分）1.設線性方程組\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+y+3z=2\\3x+4y+z=3\end{cases}\]求解該方程組的通解。2.設矩陣A為\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]判斷矩陣A是否可逆，并給出理由。本次試卷答案如下：一、單項選擇題1.答案：D解析：矩陣A的行列式計算為\(1\times4-2\times3=4-6=-2\)。2.答案：C解析：由于\(A\cdotA^{-1}=E\)，其中\(E\)是單位矩陣，因此\(\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1\)。由于\(A^{-1}\)的行列式已知為7，所以\(\det(A)=\frac{1}{7}\)。3.答案：B解析：矩陣B的秩為2，因為它有兩個非零行。4.答案：B解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。5.答案：A解析：根據逆矩陣的定義，D的逆矩陣就是它自己。6.答案：A解析：單位矩陣的逆矩陣就是它自己。7.答案：C解析：矩陣F的秩為3，因為它有三個線性無關的行。8.答案：D解析：由于\(G\cdotG^{-1}=E\)，所以\(\det(G)\cdot\det(G^{-1})=1\)。由于\(G^{-1}\)的行列式已知為5，所以\(\det(G)=\frac{1}{5}\)。9.答案：B解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。10.答案：C解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此可逆與不可逆都可能。二、多項選擇題1.答案：A、B解析：方陣是行數和列數相等的矩陣。2.答案：A、B解析：可逆矩陣是行列式非零的矩陣。3.答案：A、B解析：等價矩陣是指可以通過一系列行變換相互轉換的矩陣。4.答案：A、B解析：行簡化階梯形矩陣是指所有非零行都是前一行乘以一個非零常數的結果。5.答案：A、B解析：初等矩陣是通過執行一次初等行變換得到的單位矩陣。四、填空題1.答案：\(\begin{bmatrix}4&-3\\-3&1\end{bmatrix}\)解析：伴隨矩陣是對角線上的元素是原矩陣的代數余子式，其他位置的元素是原矩陣對應元素的代數余子式取負號。2.答案：\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&2\end{bmatrix}\)解析：逆矩陣是使得\(B\cdotB^{-1}=E\)的矩陣。3.答案：3解析：矩陣C的秩是3，因為它有三個線性無關的行。4.答案：7解析：由于\(D\cdotD^{-1}=E\)，所以\(\det(D)\cdot\det(D^{-1})=1\)。由于\(D^{-1}\)的行列式已知為7，所以\(\det(D)=\frac{1}{7}\)。5.答案：\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)解析：單位矩陣的逆矩陣就是它自己。6.答案：不可逆解析：行列式值為0意味著矩陣不是滿秩的，因此必定不可逆。7.答案：\(\