甘肅省天水市一中2020-2021學年高二下學期第一階段考試試題文(數學)一、選擇題要求：請從下列各題給出的四個選項中，選擇一個最符合題目要求的答案。1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4$，若$f(x)$的圖像關于點$(1,2)$對稱，則$f(2)=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$2.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，則$a_6=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$3.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，則$x$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$B.$(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$C.$[1,2]\cup[3,+\infty)$D.$(-\infty,1]\cup[2,3]$4.已知等比數列$\{a_n\}$的前三項為$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2=8$，$a_2+a_3=12$，則$\frac{a_2}{a_3}=$（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{5}$5.已知函數$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像與直線$y=kx+b$有三個不同的交點，則$k$和$b$的取值范圍是（）A.$k\neq0$，$b\neq0$B.$k\neq0$，$b=0$C.$k=0$，$b\neq0$D.$k=0$，$b=0$二、填空題要求：請將正確答案填寫在橫線上。6.已知函數$f(x)=\frac{x^2-2x-15}{x-3}$的定義域為$D$，則$D=$____________。7.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$2$，公差為$3$，則$a_{10}=$____________。8.若$\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，則$x$的取值范圍是$x\in$____________。9.已知等比數列$\{a_n\}$的前三項為$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_2^2=a_1\cdota_3$，則$a_2=$____________。10.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，則$x$的取值范圍是$x\in$____________。三、解答題要求：請將解答過程寫清楚，步驟完整。11.已知函數$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求$f(x)$的定義域，并化簡$f(x)$。12.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，求$\{a_n\}$的通項公式。四、證明題要求：證明下列各題中的等式成立。13.證明：對于任意實數$a$和$b$，有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。14.證明：對于任意實數$x$，有$x^2-4x+4\geq0$。五、應用題要求：根據題目要求，列出方程或方程組，并求解。15.已知某工廠生產兩種產品，第一種產品每件利潤為$50$元，第二種產品每件利潤為$30$元。該工廠每天可以生產$100$件產品，但每天生產第一種產品的數量不能超過$50$件。為了最大化利潤，工廠應該如何安排生產？16.某市計劃在道路兩旁種植樹木，每側道路長$200$米，每棵樹之間的距離為$5$米。為了使道路兩旁的樹木數量最多，每側應種植多少棵樹？六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決實際問題。17.已知函數$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求函數$f(x)$的極值點和拐點，并畫出函數的大致圖像。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B。因為函數$f(x)$的圖像關于點$(1,2)$對稱，所以$f(2)=f(0)$，代入$f(x)$得到$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4=8-12+4=0$。2.C。由等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，得到$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，解得$a_6=4$。3.A。根據絕對值的性質，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的最小值為$2$，當$x\leq1$或$x\geq3$時，所以$x$的取值范圍是$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$。4.B。由等比數列的性質$a_2^2=a_1\cdota_3$，得到$a_2^2=a_1\cdot(a_1+d)$，代入$a_1+a_2=8$和$a_2+a_3=12$，解得$a_2=4$。5.B。因為函數$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像與直線$y=kx+b$有三個不同的交點，所以$k\neq0$且$b=0$。二、填空題6.$D=\{x|x\neq3\}$。因為當$x=3$時，分母為零，所以$x\neq3$。7.$a_{10}=2+3\cdot(10-1)=2+3\cdot9=2+27=29$。8.$x\in(1,2)$。因為$\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，所以$x+3>0$且$4-x>0$，解得$1<x<2$。9.$a_2=6$。由等比數列的性質$a_2^2=a_1\cdota_3$和$a_1+a_2+a_3=6$，解得$a_2=6$。10.$x\in(-\infty,1]\cup[2,3]$。根據絕對值的性質，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的取值范圍為$[2,6]$，所以$x$的取值范圍是$(-\infty,1]\cup[2,3]$。三、解答題11.解答：$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$（$x\neq1$）。定義域為$D=\{x|x\neq1\}$。12.解答：由$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，得到$a_6=4$。由$S_8=\frac{8(2+a_8)}{2}=30$，得到$a_8=5$。所以公差$d=a_8-a_6=1$。因此通項公式為$a_n=2+(n-1)\cdot1=n+1$。四、證明題13.解答：左邊$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。右邊$a^2+2ab+b^2$。左右兩邊相等，所以等式成立。14.解答：$x^2-4x+4=(x-2)^2$。因為平方總是非負的，所以$(x-2)^2\geq0$。所以$x^2-4x+4\geq0$。五、應用題15.解答：設生產第一種產品$x$件，則生產第二種產品$100-x$件。利潤$P=50x+30(100-x)=5000-20x$。為了最大化利潤，求$P$的最大值，即求$-20x$的最小值。由于$x$的取值范圍是$0\leqx\leq50$，所以$-20x$的最大值為$-20\cdot0=0$。所以當$x=0$時，利潤最大，即生產第一種產品$0$件，第二種產品$100$件。16.解答：每側道路可以種植的樹木數量為$\frac{200}{5}-1=39$。因為每側種植的樹木數量必須為整數，所以每側應種植$39$棵樹。六、綜合題17.解答：求導$f'(x)=3x^2-12x+11$，