西南大學(xué)附中高屆高三下全真模擬考試數(shù)學(xué)試題（滿分：分；考試時(shí)間：分鐘）注意事項(xiàng)：答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.答選擇題時(shí)，必須使用鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自行保管，以備評(píng)講）.一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式以及一元二次不等式的解法，可得集合的元素，利用交集，可得答案.【詳解】由，，則.故選：B.2.已知向量，若，則的值為（）A.4B.5C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算以及垂直向量的坐標(biāo)表示，求得參數(shù)值，利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由，且，則，解得，第1頁(yè)/共21頁(yè)即，可得，所以.故選：B.3.已知，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由賦值法可得.【詳解】設(shè)，則，，因此，.故選：C.4.已知，則（）A.B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】利用整體法求得，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)椋裕?頁(yè)/共21頁(yè)所以.故選：A.5.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于（）A.0B.1012C.D.2025【答案】B【解析】【分析】根據(jù)計(jì)算得，再應(yīng)用前n項(xiàng)和計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)，兩式作差得，所以，所以，又因?yàn)椋驗(yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，所以，所以.故選：B.6.已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式，可得答案.【詳解】由題意可得過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，則可設(shè)為，聯(lián)立可得，消去可得，，解得，即，第3頁(yè)/共21頁(yè)將代入，解得，則或，易知，所以，故選：C7.已知，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及余弦函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值，故選：C.8.對(duì)于復(fù)數(shù)，則稱為的反演.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部等于1，為的反演，則的最小值為（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，利用判別式法可求的最小值.【詳解】設(shè)，則，所以，故，故，故，第4頁(yè)/共21頁(yè)設(shè)，則，其中，若，則；若，則即，故，故，故，故，故選：C.36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正四棱臺(tái)上底面的邊長(zhǎng)為確的有（）A.該四棱臺(tái)的體積為B.該四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成角的正切值為C.若為的中點(diǎn)，則平面D.該四棱臺(tái)的外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】利用臺(tái)體體積公式可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理可判斷C選項(xiàng)；設(shè)出球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到點(diǎn)、的距離相等，可求出球心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由臺(tái)體體積公式可知，該正四棱臺(tái)的體積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)該正四棱臺(tái)的上底面和下底面的中心分別為、，則底面，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，第5頁(yè)/共21頁(yè)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)該正四棱臺(tái)的側(cè)面和底面所成角為，則為銳角，且，所以，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，易知為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫势矫妫珻對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，易知該正四棱臺(tái)外接球球心直線上，設(shè)球的半徑為，設(shè)點(diǎn)，由可得，解得，故，因此，該四棱臺(tái)的外接球表面積為，D對(duì).故選：ACD.10.現(xiàn)將、、、為“從左至右第個(gè)數(shù)恰好是的有（）第6頁(yè)/共21頁(yè)A.B.事件與相互獨(dú)立C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用排列計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并事件的概率公式可判斷C選項(xiàng)；利用容斥原理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可得，，所以，事件與不獨(dú)立，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，且，如下韋恩圖所示：因?yàn)椋驗(yàn)椋?頁(yè)/共21頁(yè)故，D對(duì).故選：ACD.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有1個(gè)極值點(diǎn)D函數(shù)最多有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用對(duì)稱性定義，通過(guò)代數(shù)變形得出；選項(xiàng)，在時(shí)，導(dǎo)數(shù)為CD：函數(shù)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn).【詳解】選項(xiàng)A，若關(guān)于對(duì)稱，則對(duì)任意，有，代入函數(shù)表達(dá)式：，要使，需，即對(duì)任意成立，故，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)且時(shí)，，故，求導(dǎo)得：因?yàn)闀r(shí)，，而，故，函數(shù)在單調(diào)遞減，故B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立；②當(dāng)時(shí)，，，顯然在單調(diào)遞減，第8頁(yè)/共21頁(yè)令，得，因，故，但該解不在區(qū)間內(nèi)，所以在恒成立；綜上，在上恒成立，故在上無(wú)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，函數(shù)等價(jià)于，即，令，，的圖象如圖所示，的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，如圖所示，與最多只有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)最多有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.某工廠生產(chǎn)的一批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，規(guī)定零件的尺寸與的誤差不超過(guò)即為合格，現(xiàn)從這批零件中抽取件，估計(jì)合格零件的個(gè)數(shù)為_(kāi)______個(gè).【答案】【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求出，乘以即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，則，因此，從這批零件中抽取件，估計(jì)合格零件的個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則_______.【答案】2026【解析】第9頁(yè)/共21頁(yè)【分析】法一：由題意利用列舉法寫(xiě)出函數(shù)值，整理等式可得遞推公式，根據(jù)累加法，可得答案；法二：由題意利用列舉法寫(xiě)出函數(shù)值，設(shè)出函數(shù)解析式，利用等式檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】法一：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；則，由.法二：由函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，由，令，則；由，令，則；設(shè)，則，，即，符合題意，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)恰有2個(gè)在橢圓的取值范圍是_______.【答案】【解析】代入中，得出關(guān)于的不等式，因存在兩個(gè)最值點(diǎn)，故不等式第10頁(yè)/共21頁(yè)存在兩個(gè)相鄰的，最后利用兩端點(diǎn)距離范圍為可求解.【詳解】令，則，因存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象上最低點(diǎn)或最高點(diǎn)恰有2個(gè)在橢圓則存在兩個(gè)相鄰的，使得成立，即，則，則，則，得，故的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求.【答案】（1）（2）【解析】第11頁(yè)/共21頁(yè)1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗捎嘞叶ɡ淼茫忠驗(yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕矗獾?16.如圖，在四棱錐中，，，，，且分別是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析第12頁(yè)/共21頁(yè)（2）【解析】1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，利用，，可證平面，進(jìn)而可證結(jié)論；（2所在的直線分別為的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，連接，因?yàn)椋裕驗(yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫?小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫嫠云矫妫詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第13頁(yè)/共21頁(yè)因?yàn)椋裕忠驗(yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，平面的一個(gè)法向量為，，所以二面角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求切點(diǎn)，代入切線方程后可得參數(shù)的值；第14頁(yè)/共21頁(yè)（2求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，設(shè)函數(shù)與直線相切切點(diǎn)為，因?yàn)橹本€的斜率為1，所以，解得或（舍）,故切點(diǎn)為，代入切線方程，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，令，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以.則.令，則，因?yàn)椋裕丛跒闇p函數(shù)，而，所以當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以，所以，所以的取值范圍為.18.已知橢圓的焦距為4，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且第15頁(yè)/共21頁(yè)為橢圓上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（均不與重合）.（1）求橢圓的方程；（2）若為的垂心，求直線的方程；（3）若是的角平分線，問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由；【答案】（1）（2）（3）過(guò)定點(diǎn)，【解析】1）由已知可得，進(jìn)而可求得，可求橢圓方程；（2）由，可求得，設(shè)直線方程為：，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得的值；（3）設(shè)，直線，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)在直線也在直線的直線方程，進(jìn)而可求定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題：，故又，故，從而因此橢圓方程為：【小問(wèn)2詳解】由（1）知：由題：為的垂心，所以且，則必有，設(shè)直線方程為：第16頁(yè)/共21頁(yè)聯(lián)立直線與橢圓：得：令，解得：，由韋達(dá)定理：則，故，即：整理得：，將代入化簡(jiǎn)得：，解得或當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去當(dāng)時(shí)，滿足，符合題意.故直線方程為：【小問(wèn)3詳解】設(shè)則因?yàn)橹本€的斜率必存在，所以直線，即：設(shè)到直線與的距離均是，從而平方得：，又由于，故，整理得：即點(diǎn)在直線第17頁(yè)/共21頁(yè)同理：點(diǎn)也在直線上故直線的方程為將其按照參數(shù)進(jìn)行整理：令，解得，從而定點(diǎn)坐標(biāo)為.19.已知有窮數(shù)列共有2025.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的最小值；（2）對(duì)，證明：；（3）設(shè)滿足的所有構(gòu)成集合為，現(xiàn)從中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)列，若該數(shù)列滿足，則試驗(yàn)成功，否則試驗(yàn)失敗.記為該試驗(yàn)成功的概率，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）列舉法計(jì)算得出最小值；（2）根據(jù)已知條件累加計(jì)算求出即可證明；（3）結(jié)合（2）分類結(jié)合組合數(shù)公式計(jì)算證明.【小問(wèn)1詳解】直接枚舉得：012360120第18頁(yè)/共21頁(yè)011001001000故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】由題：，平方得：，故,則對(duì)有，以上個(gè)式子累加得：，故，故.經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)命題也成立，從而對(duì)于,【小問(wèn)3詳解】由（2）得：，解得或，顯然不為空集，以下便是一個(gè)滿足要求的：只需證明：滿足的的個(gè)數(shù)多于滿足的的個(gè)數(shù)，引理：若共有項(xiàng)，且，且）則這樣的數(shù)列有個(gè).引理證明：令，則滿足，且或，我們先證明與一一對(duì)應(yīng)：第19頁(yè)/共21頁(yè)一方面，對(duì)于每個(gè)，顯然有唯一的一個(gè)絕對(duì)值數(shù)列與之對(duì)應(yīng)；另一方面，對(duì)于每個(gè)，則有確定，只需證明每個(gè)的符號(hào)此時(shí)也唯一確定，若，則必有，若，則必有，這樣可確定到的符號(hào)，又因?yàn)榻o定，從而此時(shí)有唯一的與之對(duì)應(yīng).從而與一一對(duì)應(yīng).從而只需計(jì)算的個(gè)數(shù).注意到，且或先忽略限制條件.設(shè)此時(shí)的有個(gè).則由：此時(shí)相當(dāng)于在個(gè)位置中放入，設(shè)有個(gè)1，則有個(gè)，從而有，故