第2課時與方位角、坡度有關的解直角三角形的應用教師備課素材示例●情景導入如圖，一架外國敵機(以下簡稱敵機)沿ED方向入侵我國領空，我空軍無人機沿AC方向與其平行飛行進行跟蹤．我機在A處與敵機在B處的距離為800m，∠CAB＝30°，這時敵機突然轉向，以北偏西45°方向飛行，我機繼續沿AC方向以400m/s的速度飛行，敵機在C處故意撞擊我機，則敵機由B到C的速度是多少？【教學與建議】教學：用學生比較熟悉的軍事問題吸引他們的注意力，激發學生對新知識的渴求．建議：引導學生理解方向角的含義，建立方位坐標，選擇合適的邊角關系.●置疑導入為了提前做好防洪準備工作，某市在長江邊修建一防洪大壩，其橫斷面為梯形ABCD，如圖，你能求出DC的長嗎？問題：(1)在Rt△ADE中，已知∠D＝60°，AE＝10m，則DE＝__eq\f(10\r(3),3)__m.(2)在Rt△BCF中，已知∠C＝45°，BF＝10m，則FC＝__10__m.(3)DC由線段__DE__，__EF__，__FC__組成，所以DC＝__22＋eq\f(10\r(3),3)__m.【教學與建議】教學：通過解直角三角形可以求出DE和FC的長，從而求出DC的長．建議：教師在新課引入時可以借助多媒體展示河堤的相關圖片，最后落回到探究坡度、坡角等問題上．*命題角度1與方向角有關的實際問題此類問題一般與航海有關，關鍵是理解方向角，確定角的大小，再作垂線構造直角三角形，轉化為解直角三角形問題．【例1】上午9時，一條船從A處出發，以40nmile/h的速度向正東方向航行，9時30分到達B處，如圖，從A，B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為(B)A．20nmileB．20eq\r(2)nmileC．15eq\r(3)nmileD．20eq\r(3)nmile【例2】在某次海上搜救工作時，A船發現在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同時在A船正東10km處的B船發現該漂浮物在它的南偏西60°方向，此時B船到該漂浮物的距離是__10eq\r(3)__km.*命題角度2與傾斜角、坡角、坡度有關的實際問題此類問題一般與堤壩、斜坡、滑梯、電梯等有關，關鍵是理解傾斜角、坡角或坡度，構造直角三角形，利用銳角三角函數、勾股定理等知識求解．【例3】如圖是河堤橫斷面，堤高BC＝6m，迎水坡AB的坡比為1∶eq\r(3)，則AB的長為(A)A．12mB．4eq\r(3)mC．5eq\r(3)mD．6eq\r(3)m【例4】如圖，防洪大堤的橫截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡度β＝45°.若原坡長AB＝20m，求改造后的坡長AE.(結果保留根號)解：過點A作AF⊥BC于點F.∵在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m).∵在Rt△AEF中，∠E＝∠β＝45°，∴AE＝eq\f(AF,sinE)＝eq\f(10\r(3),\f(\r(2),2))＝10eq\r(6)(m).答：改造后的坡長AE為10eq\r(6)m．高效課堂教學設計1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特點，準確熟練解決有關方位角問題．2．鞏固用解直角三角形有關知識解決實際問題的方法．▲重點運用解直角三角形解決航行、斜坡問題．▲難點靈活運用解直角三角形的方法解決生活中的實際問題．◆活動1新課導入如圖，在電線桿的C處拉引線CE，CF固定電線桿．拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6m的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°.已知測角儀AB的高為1.5m，拉線CE的長是__(4＋eq\r(3))__m.(結果保留根號)◆活動2探究新知1．教材P76例5.學生完成并交流展示．2．如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6m，壩高20m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角為30°.求壩底AD的長度．(精確到0.1m，參考數據：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋20eq\r(3)＝90.64(m).答：壩底AD的長度為90.64m．學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．坡度、坡角概念．如圖，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC與坡面AB形成的角∠ABC稱為坡角α，坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i＝eq\f(h,l)＝tanα.2．利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：(1)將實際問題抽象為__數學__問題(畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題)；(2)根據問題中的條件，適當選用銳角三角函數等解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案．◆活動4例題與練習例1如圖，海中一小島A，該島四周10nmile內有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20nmile后到達該島的南偏西25°的C處之后，貨輪繼續向東航行，你認為貨輪向東航行的途中會有觸礁的危險嗎？解：過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D.由題意，得∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，BC＝20nmile.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79(nmile)>10(nmile).答：輪船繼續向東行駛，不會有觸礁危險.例2如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，壩底寬AD和斜坡AB的長．(精確到0.1m)解：過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AE2＋BE2)≈72.7(m).答：斜坡AB的坡角α約為18.43°，壩底寬AD為132.5m，斜坡AB的長約為72.7m．練習1．教材P77練習第1，2題．2．如圖，某辦公大樓正前方有一根高度是15m的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20m，梯坎坡長BC是12m，梯坎坡度i＝1∶eq\r(3)，則大樓AB的高度約為(精確到0.1m，參考數據：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)(D)A．30.6mB．32.1mC．37.9mD．39.4m3．如圖，海上有座燈塔P，在它周圍3nmile有暗礁，一艘客輪以每小時9nmile的速度由西向東航行，行至A處測得燈塔P在它的北偏東60°，繼續航行10min后到達B處，又測得燈塔P在它的東北方向．若客輪不改變方向，有無觸礁危險？解：過點P作PD⊥AB于點D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故設PD＝x，則BD＝PD＝x，AD＝eq\r(3)x.又∵AB＝9×eq\f(10,60)