專題3.6整式的乘除全章五類必考壓軸題

【浙教版】

必考點1N巧用幕的逆向運算

1.已知，那么小y,z滿足的等量關系是（）

2x+y=5孫=3z2x+y=322.

A.o.V.U.

［分析］根據題意得出2幼=①2y=則21s=2〃x2》=21與即可求解.

修..4”=a,2'="小=al

【詳解】解：?

2"=a,2,=方

=2"x2丁=2nb

.3z=2x+y

??

故選：C.

2,已知由=2?！浮?。*50則。+心力勺值是（

)

A.0B.2C.3D.

【分析】利用同底數累乘法、哥的乘方等法則進行計算，即可得出答案.

【詳解】解：JO伊=2。I。。八5。

.（施廣（103）6=20x50

??，

.l^lO^slOOC

吁?勖=1/

,2a+3b=3

.3.1

C+-0=:

Z4

?zz

故選:A.

RM-3d…陽43*=2021.47^=2021V

3.若x,y均為實數，，M則ll7

431y.47"=2021-

【分析】根據同底數事的乘法和暴的乘方法則得出，再根據積的乘方法則得出

小W=（43x47產=2。2產得出盯=f,從而求出答案.

【詳解】解：產"02L”=2021

.4尹?47”=-(43r戶?(47療=202Px20211r=2021%

?.4/?47空=(43x47產=2021c

.2021^=2021^

.xy=x+y

??，

計y

.~*y

4.我們知道下面的結論，若"30,且用），則,〃=〃，利用這個結論解決下列問題：設"=3,2"=6

V=24,現給出加，〃，p三者之間的三個關系式：①m+P=2n+l,^p+n=Zm+4

③而其中正確的是

-mp+3n=0,.（填編號）

【分析】由2?=6=2x3=2x￡=2f得出，=m+l,由嚴=24=Rx3-x2公””得出

P=m+3,進而得出"n+2,進一步對m+P,P+I由？-mp+3r代入計算，即可得出答案.

【詳解】解「2=6=2X3=2X2E=2E

An=m+1

729=24-2sx3=23x2m=r*1

Ap=m+3

1?p=n+2

Am=m+n4-2=n+n+l=2n+l

9

’①符合胭意；

7p+n=m+3+m+l-2m+4

9

'②符合題意：

m:-mpt+3n(n-1J2-(n-+2)+3n=4n-1

二③不符合題意，

故答案為：①②.

5.比較下列各題中事的大?。?/p>

41

(1)已知0=8"5=27"=96：比較｛1、M(:的大小關系；

(2)比較2"‘3"'5"，622這4個數的大小關系；

P=%.Q=M

(3)已知*「，比較P、Q的大小關系；

(-2丹4510c

(4)<7(填或J").

【分析】(1)根據暴的乘方公式，化為底數是3的形式進行比較；(2)根據哥的乘方公式，化為指數是11

的形式進行比較；(3)用求商法比較大??；(4)由(-2產=(27)”〉125?*5=5現易得結果

【詳解】⑴因為”附=3必b=(于)“=3津,=呻，=3g所以a>”c

^2?=(2S)U=32"3"=(3，)“=8"5?=(S,)U=125u612=(61)11=36n

(2)因為,，??

32u<3611<81u<125n_255<621<S44<S13

,所以hl?

⑶因為。尸9"尸Wk'①，所以P=Q.

(4)因為(-2嚴=(27嚴x8>125?x5=5g所以(-2嚴>5必

6.由號的運算法則逆向思維可以得到尸"=°”叱L=(a?),aW=(的，在解題過程中，根據

算式的結構特征，逆向運用箱的運算法則，常可化繁為簡，化難為易，使問題巧妙獲解，收到事半功倍的

效果.請解決以下問題:

52(E0x(￡)201fl

⑴計算：

…3x9mx27"=311+.他

(2)若，求機的值;

g78，h—441/A?*

⑶比較大小：,,,,請確定a，b,c,d的大小關系.

【分析】（1）根據積的乘方公式，進行逆運算，即可解答;

（2）轉化為同底數幕進行計算，即可解答;

（3）轉化為指數相同，再比較底數的大小，即可解答.

I詳解］⑴解：啕明何十"3

故答案為：25：

...3x9X7-=3口

\Z.)?

.3x0干X0T=3.

.3x3*x33m=3n3x+2-+3m=3U

l+2m+3m=ll.m=2

,解n得zn

(3)由題可得：。"外土5)”—*6=/=04)11=81：《=533=(53/=12511

d=6"=版>1=36二

..32<36<81<125

,32H<36u<81n<125n

即"d<I

7.閱讀以下材料：對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier,1550年-1617年），納皮爾發明對數

是在指數概念建立之前，直到18世紀瑞士數學家歐拉（Euler,1707年-1783年）才發現指數與對數之間的

聯系.對數的定義：一般地，若a'=Ma>0?*U,則叫做以°為底%對數，記作比如指數

式“="可以轉化為4=—巴對數式2=-25可以轉化為5?=25我們根據對數的定義可得到對數

的一個性質J0g（*'^=10g理由如下：設1附乂=加，1唯'=n.

所以M=",N=°：所以MN=a'、°E,由對數的定義得於+〃=1%（乂十佻又因為

*"1哈"+1”，所以*M用啦M+砥N解決以下問題:

*—1”

（1）將指數轉化為對數式：

1喉==10gsM?1唯,川(。>0?工LM>0,iV>0]

（2）仿照上面的材料，試證明:Jv

（3）拓展運用：計算10g32+1唯1&1叫4=

【分析】（1）根據題意可以把指數式53=125寫成對數式:

M

（2）先設logaM=x,logaN=y，根據對數的定義可表示為指數式為:M=a\N=@丫，計算”的結果，同理由所

給材料的證明過程可得結論；

I喉==I唯M4唯N

（3）根據公式：loga（M?N）=logaM+logaN和'的逆用，將所求式子表示為：log3（2x18:4）,

計算可得結論.

【詳解】（1）???一般地，若a'=N（a>0,ari）,那么x叫做以a為底N的對數，記作：記作：x=logaN.

/.3=logs125.

故答案為:3=log5125；

（2）證明：設

,M=a，N=a，

??，，

由對數的定義得

乂..—),二10gdM-log”，

bgcloggAf-10gdN(a>0.cL.M>0,A>0)

⑶喝2+1唯1&10網4=叱（2x18:4）=晦9=2.

故答案為：2.

必考點2N整式乘法中的不含某項問題

1,關于X的三次三項式4=5必一6/+10=a（x_lp+Hx_l）?+c（x_D+d（其中〃，6c,d均為

常數），關于X的二次三項式⑶=/+"+/3,/均為非零常數），下列說法中正確的個數有（）

①當彳+6為關于x的三次三項式時，則『=T°；

②當多項式A與B的乘積中不含.一項時，則'=6；

*+b+c=9

③；

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據整式的加減混合運算即可判斷①，根據整式的乘法運算即可判斷②，將"=1和”=2代入即可

判斷③.

【詳解】解：?./=5必-6d10,8=必+〃”

.A+B=4必—6必+10+x*4-ex+f=?5x^-Sx*ex+/+10

J±C

為關于X的二次二項式，且e為非零常數,

J+10=8

??，

解得：，=一1°,說法①正確;

A?B=(5"-7X2+10)(x2+”+Q=6xs-FSex5+5f?-3?-6eY-6fx2+10^+10^+10/

sSx5+(2e-6JX4+(3/-6?)必4(10—3f)x2+lOex+10/

???多項式人與8的乘積中不含.一項,

,5-3=0

解得”L7,說法②錯誤；

A=5/-6r+10=a(x-I)34-b(xI)2+c(x-1)-Fa

當"=%,d=5-5+10=9

9

=2...a+b+c+d=4x2?-4x2,+10=26

3?rj,,

則a+b+c=17,說法③錯誤

故選：B.

2.已知(廣一8+匕”+2)(2廠—3”+5)的展開式中不含三次項和四次項，則展開式中二次項和一次項的

系數之和為.

【分析】利用多項式乘多項式法則將原式展開，根據題意展開式中不含三次項和四次項，可得2-20=0,

-3+3a+2b=O,求解即可得。，%|勺值，然后代入求值可確定展開式中二次項和一次項的系數，求和即可

得答案.

【詳解】解：b-s+bx+2)(lr-3x+5】

=2/-3,x3+SN-2at*+3ax'-Sax*十2bxi-3bx2+5bx+4爐-6x+10

=(2-2d)14+(-3+3a+2b)?+(5-5a-3b斗4)必+(5b-6)x+1C

根據題意，展開式中不含三次項和四次項，

.2-2a=0-3+3a+2b=0

??99

a=1b=0

解得，，

.5-5a-3b+4=5-5X1-3x0+4=45b-6=5x0—6=-6

??9，

即展開式中二次項系數為4,一次項的系數為Y,

???展開式中二次項和一次項的系數之和為4+(-6)=-2

(jr+px-1)(x2-3x4-g)好

3.若'”的積中不含x項與項，

⑴求p、q的值;

⑵求代數式(-2角尸+(3pq)l+加產的值.

【分析】(1)將原式根據多項式乘以多項式法則展開后合并同類項，由積中不含X項與必項可知X項與小項

的系數均等于0,可得關于P、q的方程組，解方程組即可；

⑵山⑴中〃、q的值得叫=1將原式整理變形成「26時+如「+3產卡再將〃、q、pq

的值代入計算即可.

(X2+px-玄+必

【詳解】(1)解:

=x$+S_幻"?(q_3p-0,x**(1*P心1

???積中不含工項與必項，

1+pq=0

("3=0,

(P=3

.|q=-j

⑵解：由(1)得兇=-1,

(-2內產+(3pq)l^p2C22q2024=(-2p-pq)2+(3pq)1+(p<?)2022Q2=(2x3)2+(-3)3+

(-1)282(一？=36-27+：=9：

(s-2t)(5+2t+l)+4t(t+i)t

4.(1)試說明代數式'”的值與的值取值有無關系；

(2)已知多項式.一，與2好一”+2的乘積展開式中不含方的一次項，且常數項為T，試求”的值;

(3)已知二次三項式2不+3”一及有一個因式是(2*-5),求另一個因式以及”的值?

【分析】(1)先算多項式乘多項式以及單項式乘多項式，再合并同類項，即可得到結論；

(2)先算多項式乘多項式，從而得到2〃+。=0,-2力=-4,進而即可求解；

⑶由題意得2Y+3xT=(2x_5)(x+叫進而即可求解

("2。($+21+1)+4++3

【詳解】解：(1)、拶

=s24-25/4-+43+2]

=，+s.

(s-2t)(s+2t+l)+4tft+3

故代數式、④的值與$的取值有關系，與，的取值無關系；

J22

⑵VX^2y=2(LX-ax+2(LX-2bx+bx-2b>

又1?多項式"-%"2一”+2的乘積展開式中不含X的一次項，且常數項為T,

/.2a+b=0,-2b=-4,

/.a=-1,b=2,

.=1

??—;

(3).??二次三項式2x2+3"一”有一個因式是(2'—5),

.2/+3x-A_(2x-5](x+mJZx2+2mx-5x-Sm

??==,

/.2/?t-5=3,5m=k,

x+4

，加=4,&=2(),另一個因式為：.

5.給出如下定義：我們把有序實數對S'3°叫做關于X的二次多項式ar+bx+'的附屬系數對，把關

于”的二次多項式ar+b”+c叫做有序實數對S'b>°)的附屬多項式.

(1)關于x的二次多項式3必+2”一?的附屬系數對為；

(2)有序實數對(2'%1)的附屬多項式與有序實數對(L?”的附屬多項式的差中不含一次項，求°的

值.

【分析】(1)根據新定義進行求解即可；

(2)根據新定義先表示出兩個多項式，再根據題意進行計算即可.

【詳解】⑴根據題意可得，多項式3必+2"-1的附屬系數對為°，2,-1),

故答案為：32，T)；

⑵根據題意得.有序陵:數對⑵%1)所對應的多項式為2三+3+1,

有序實數對⑴3可所對應的多項式為必一2刀+4,

???兩個多項式的差中不含一次項，

.2JT+ax+1-(x2-2x+4)=2JT4ax+1-r2+2x-4K12+(a+2]x-3

??，

.a+2=0

??，

.a=-2

必考點3N多項式乘法中的規律性問題

1.若一個只含。字母的多項式的項數是偶數，用該多項式去乘S+D,若該多項式的項數是奇數，則用該

多項式去乘（°~口,稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項式的項數是偶數，用該多項式去乘9.口,

若該多項式的項數是奇數，則用該多項式去乘S-D稱這為第二此操作，以此類推.

①將多項式9一-D以上述方式進行2次操作后所得多項式項數是5；

②將多項式9..2。）以上述方式進行3次操作后，多項式的所有系數和為0；

③將多項式+2"+D以上述方式進行4次操作后，當@=2時，所得多項式的值為243；

④將多項式”以上述方式進行九次操作后所得多項式為m+

四個結論錯誤的有（）

A.0B.IC.2D.3

【分析】根據題意，計算出（砂一1）進行2次操作后所得多項式，即可判定①；根據題意，計算小砂+2。）以

上述方式進行3次操作后所得多項式，即可判定②；根據題意，計算出（02+2。+1）進行4次操作后所得多

項式，再把°=2代入計算即可判定③；根據題意，總結歸納出（°-1）進行九次操作后所得多項式規律，即

可判定④.

【詳解】解：（砂7第1次操作后，得s.T）s+n=/+吁

d7第2次操作后，得口、七一Fa+1J…2/-2a-1

??.g?-u第2次操作后所得多項式項數是4,

故①錯誤；

d+2。）第1次操作后，得屋+3標+2。

（砂+2。）第2次操作后,得3+3M+2疇T[=d+2--2°,

（"+2。）第3次操作后,得口■+2a3-a2-2dj(a+1J=as+3a，+a3-3a:-2c

?.?將多項式5+2。）以上述方式進行3次操作后，多項式的所有系數和為-3+17-2=0

故②正確;

⑷+2。+1）第1次操作后，得3+2。+|即-1｝仁°1

d+1)第2次操作后,得眠+Q?_…期+1)="442a>-2fl-l

(/+2a+1)第3次操作后，得口，+2fl3-2fl-l)(a+1，三a'+3d+2a?-勿：-3。-1,

(a?+2。+1)第4次操作后得+3。，+2a3-2o:-3a-1乂。+1》=a&+4a§+5a4-Sa2-4a-1

也/+4/+5/-5。2-4。-1=26+4X25+SX24-5X22-4X2-1=243

當1=2時，

故③正確；

（°一D第1次操作后，得（。T）（a，

（。F第2次操作后,得T）M+1Xfl+1）=Cfl-1Xa+1￡

（aT）第3次操作后，得m-ix?+WM）=fr-i?+iy

（07第4次操作后，得也一慵+中/7=C"慨+

（°7第〃次操作后，得ST）S+D：

故①錯誤；

綜上，錯誤的有①④共2個，

故選:c.

2.我國宋代數學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋J'二項式的乘方展開式中

請你利壓楊輝三角，計算他+與’的展開式中，從左

的系數規律，我們把這種數字三角形叫做“楊輝三角”,

起第四項是____________

(a+b)°=1

1

(a+b)1=a+。

(a+b)，=a2+2ab+b:,,,

.....................121

(a+b)3=a5+3a2b+3air+b3

(a+by1=a4+4fl3b+6a21r“N+b，

1

【分析】通過觀察可知“楊輝三角''的規律：①每個數等于上方兩數之和；②每行數字左右對稱，由1開始逐

漸變大：③。的指數從左向右逐漸變小，力的指數由左向右逐漸變大；依據此規律，可得出最后答案.

【詳解】解?：由題意可知：每個數等于上方兩數之和，

+的展開式中系數從左向右分別是1,5,10,10,5,1,

...S+5)’的展開式中系數從左向右分別是1,6,15,20,15,6,1,

又的指數從左向右逐漸變小，b的指數由左向右逐漸變大，

?J0+o”展開式左起第四項是20°”：

故答案為：200，h\

3.觀察下列各式及其展開式：

(a+b)2=展+2ab+3

9

(a+b)3=a3+3a:b+3aZr+b2

(a+b)4=a4+4a3b+6/S+4a^+b4

9

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a:b34-Sab4+bs

請你猜想Q”-i"的展開式中含方項的系數是()

224-180-112n48

AA.B.C.D.

【分析】由材料可知，括號里的前項的指數從高到底的排列，括號里的后項的指數從低到高的排列，首位系

數都是1,中間數字分別為上?組數據相鄰兩數之和，由此即可求解.

【詳解】解：根據材料可知，系數的關系如下，

121

二次第時的系數：

三次辱時的系數：1303311

四次累時的系數：14641

五次累時的系數：151°1051

1520151

六次幕時的系數:

7213S352171

七次累時的系數:

828567(156288

八次累時的系數:

，含囁的系數是25*2*2*8x4x172;

故選:

4.閱讀下列材料，完成相應任務.

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做“帕斯卡三角形帕斯卡是在

1654年發現這一規律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年.楊輝三角是我國古代數學的杰出研究成果之

一，他把二項式乘方展開式系數圖形化，如下圖所示：

(a+b)1=a+A

1(a+b)2=a2+2ab+F

11

12I

1331(a+b)5=/+3?！?3。/+爐

14641

15101051

(a+b)4=o4+4a3b+6a2b2+4^+b4

完成下列任務:

⑴寫出m+4的展開式.

…應75+Sx74x(-6)+10x73x(-6)*+10x7:x(-6)34-Sx7x(-6)4+(-6)5

(2)計舁；.

【分析】(1)根據前面4個等式的提示，歸納出系數與指數的規律，從而可得S+b"的展開:弋;

(2)利用⑴中展開式，設"7,b=-6,從而可得答案.

【詳解】(1)解：

..(a+6)1=a+力

口+吁=ar^2ab+b*

8+b)3=a3+3a2b+3ab2+b:

(a+b)4=a4+4o3b*6。濘+4西+b，

.(a+b>=a5+5a4b+10a5b:+10o2b3+5ab《+M

??;

?.(。+0)5=。5+50%+10。3產+10蘇產+5g4斗臚幺Q=7b=-6

.735x下>((-e+10x73X(-6y+10x72x(-^+5x7x(-€>?+(-^

??

=(7—6)5

=1

5.觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l

(z-l)(x2+x+l)=x,-l

(x-l)(r,+x2+x+l)=x4-l

⑴根據以上規律，則0一D(*+9+'+*―+1)=

⑵你能否由此歸納出-般規律("-1*+1+…+—1)=

2021:cco

(3)根據以上規律3202求2+''3+03+…+32+3'+'1的值.

【分析】(1)根據給出式子的規律書寫即可;

(2)根據給出式子的規律即可得出結果;

(3)根據(2)中的規律計算即可；

【詳解】⑴..<”T*+1)=rT

O-1J&：+X+1J=X3-1

9

(x-1X13+X2+X+1>=14-1

.(r-lj￡?+f+d+x3+x2+x+l)=x7

故答案是:

⑵根據題意得：5一'忖+父7-—。=-；

故答案是：戶”一*

..0-1期2022+3*”+320204-???+32+3+l]i=32023-1

\3>?,

gSM+3?81+3—。+…+32+3+1二

???~?

6.(1)計算并觀察下列各式：

第?個：(a-b)(a+b)=:

第2個：S-b)(M+ab+0)=

砧《,人(a—b)(a3+azb+ob2+dJ)=

這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律.

⑵猜想：若n為大于1的正整數，則（”枷…+——+…+MV：+折"】）=

2?-i+2n7+2=T+…+23+2+1=

⑶利用（2）的猜想計算:

3bl+爐?2+3。7+…+3?+3+1=

（4）拓廣與應用:

【分析】（1）根據平方差公式及多項式乘法的計算求解即可;

（2）由（1）中計算得出相應規律即可?:

（3）利用（2）中所得規律求解即可；

（4）根據（2）中所得規律計算即可.

【詳解】解：⑴◎一呼+以=4匕

fa-b*：+ab4b?-c?-b'

a-匕*3Ja'b+ab2+b3|=a4-

,a-—b"a，—baa'—

故答案為：，，；

(2)根據(1)中規律得：

n<nl2

(a-。物31+ab+a-b米,??+Mb*?+ab"T+b"")=臚一"9

故答案為:

(3)

2廠1+2"-2+2n7+…+2,+2+1=(2-1)(不7+2"T++-+23+2>1)=;2"-1"=12"-1

2?-1

故答案為：.

(4)

31+寸7+3—+…+3?+3+1=1(3-1)(31+3f5，+???+3」+3+I)=之*(3"-

37

故答案為：2

,.(x+y):=12(x-y):=4同爐+3xy+中川狂區

1.已知：},,，則?,的值大.

【分析】利用完全平方公式將已知等式展開，然后將其相加即可求得必,V的值，將其相減得到代個的值,

繼而代入*+3。+上即可得解

［詳解］解「：(x+y)2=12,(x_y)2=4,旅

產"xy+)3=12①

(x2-2xy+=4②,

②+①得：人尸=8,

①-②得:9=2,

Ajr+3xy+y2=(x2+尸)+3xy=8+3x2=14

9

故答案為：14

2.已知''一'ab+bc+2b+/+25=0,則嗝值為

【分析】由'LFma+c=8+b,將6*品+28+、+2$='°轉化后再代入計算可求解。，11,°的

值，進而可求解.

【詳解】??"

.a+c=8+￡

??，

++r+25=0

?，

.^a+cJ+Zd+c2+25=0

??，

.M8+b）+2b+/+25=0

??，

.F+10b+2S+c2=0

??，

.（。+5）2+/=0

??，

.b+5=0c=0

??，，

.b=-5

??，

.a=3

??，

故答案為:

3.已知a,AC滿足:"+26=7,fe2-2c=-l,c2-6a=-17,則」+"+"的值等于

【分析】將已知等式左右兩邊分別相加，再配方成非負數的和為。，求出4、氏C的值，代入即可求出式子

的值.

【詳解】解：.??a'2b=7,月-2c=-l,d-6”-曾

.G:+2h+h2-2c+c2-6a=-ll

.a?-6a+9+F+2b+l+c?-2c+l=0

.g-軍+0+療+&_以=0

?.0?-3=0,b+l=0,c-1=0，

.a=3,b=-1c=1

??9，

ga+b+3c=+*3-1+3x1=.3

??9

故答案為：3.

4.己知"b=4時，多項式8+L的值為T,則小尸*的值為()

-1-：

A.B.C.D.0

【分析】根據已知條件得出S+2)'"。，又(8+2)2*、進而得出勤=-2,°=2c=0,進而即可求解.

【詳解】解：???"°=4時，多項式獨儲的值為T,

,a-b+4flb+4=—c2

??9

.flb+4<0

??

s+4)b+4wo

u14prl

.3+4b+4W0

??

即(b+2)2￡Q(b+2)2>0

即，乂?

?,?。=-2

.Q=-2+4=2

??9

ab=-4c=0

?t?，

Ab__-±__1

,444

??，

故選:B.

5.己知有理數a,力，c滿足，，則()

人-2019-2020「-2021八-2022

A.BD.C.D?

【分析】由（…+靖”-d-23+28-況得23-2或+2M=-6,再求得

e+b"(b+02+(a-u)z=O得a=-b=c,進一步求出。=1,b=-1「=1即可求解.

【詳解】解：???a-"’…。砂+/+小-3=0,

.o-b+c=3A:+b:+r1=3

??，，

..(A-b+c):=a-+b2+r-lab+2ac-2bc

.9=3-2ab^2ac-2b(

整理.得2ab-2ac+2bc=-6

,(a>b)2+(b+c)1+(a-c)2=2(a2+b:+r)+(lab-2ac+2be)=6-6-0

??

..(a+d)2>C(d+c)2>C(a-c)2>0

?，，，

.G+b=0b+c=0a—c=0

??，，，

.a=-b=c

.a-b+c=a+a+a=3

.a=1

.b=-1c=1

把。b=-10=1代入/"+--2嗎

原式=［，+7，+，，-2。22=1-1+"2。22=-2必

故選：C.

,a=2020fn+2021n+2020b=2020m+2021n+2021c=2020m+2021n+2022

6.已知，，那么

東+乒+/一時一心一圓“士”,、

的值為()

A.1B.3C.6D.1010

a-hb-cc-a

【分析】分別求出的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，再整體代入即可

完成.

?、出初、..0=2020m+2021n+2020b=2020m+2021H+2021c-2020m+2021n+2022

【詳解】解：.，，

.fl-b=-1b—c=-1c-a—2

a2￥b2c2-ab-be-ca=之(2。,+2方+2C2-2ab-2bc-2ea》=^i:-2ab+#+扇-2frc+c2+

d-2e+淞-胃+￡b-療+&-磯=41>+￡T『+24=3

故選：B.

7.已知："丫=5,xy=3

求：①-5孫+匕②八尸

【分析】①利用完全平方公式的變形將所求的式子變形為廠+5盯+X2=&+辦2+3町'進行求解即可；

②先根據完全平方公式的變形和積的乘方計算法則得到門八"，"=9,再根據

丁+八中+舟-聲進行求解即可.

【詳解】解：①?.?"丫=5,xy=3

.i2+Sxy+y2=(r+療+3xy=S243x3=34

????:

②???x+y=5,村=3,

.i2+F=。+疔-2xy=5:-2x3=19x^y2=(xy)2=9

??，

f+yi=r=192-2x9-343

??

8.閱讀下列材料，完成后面的任務.

完全平方公式的變形及其應用

我們知道，完全平方公式有：(0+"=02+2必+”(a-b)-2必+〃

在解題過程中，根據題意，若將公式進行變形，則可以達到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形:

7?+y=(。+昉2_%2右d+y=(a_b)2+2a。爐=/(a+b)?+(a-白網

①；②；@;

ab="(a+b)2-(a-b)2]

根據上述公式的變形，可以迅速地解決相關問題.

例如已知"丫=3,Ly=l,求i嚷值.

/=」（x++（x-y）2]=；x（3?+1?）=S

解：--?

任務：

⑴已知"y=5,.y=3,則xy=

（2）已知"y=7,—=25求a-y?的值.

ab=+年-曲-明

【分析】（1）根據已知，即可解得.

M+川=*+4+（0-小]

（2）根據已知一,即可解得.

+療+a-砌

【詳解】

V=爐+/=冷+/-g涮=打(5，-39=4

1+V=*+次+。-力刃

???一，

25=汐心一冊50=494卜一療

.(x-"=1

??

必考點5N乘法公式的幾何背景

I.數學活動課上，老師準備了圖I中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形.

b

圖1

圖2

（1）請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和.

方法1：;

方法2：.

（2）請你直接寫出三個代數式：S+"3之間的等量關系.

（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知正+八=5,而+/=20求小力和（m-n）誦值.

②已知（"-202）+（.2023）2=34求（.202%值

【分析】Q）利用陰影兩部分直接求和與用總面積減去空白部分面積兩種方法即可求解；

（2）由圖2中陰影部分面積的表示即可得到答案；

（3）①由（2）的關系可得佃+"+2叫進而求解即可；

②設"2。21”則12023="2」-2022=a1依題意，得a*”2y=34,

.0-+a2-4a+4=34利用整體思想求解即可.

【詳解】（1）陰影兩部分求和為：0*:

用總面積減去空白部分面積為：1（a+）—2a力.

故答案為：絲（a+b），-2叫

⑵由題意得，二+曠"山+2叫

⑶①由⑵得佃+底=蘇+""2mm,

.25=20+2mn

??，

解得nm=IS

.（m-n）:=m2+n2-2mn=15

??，

入fX-2021=。..x-2023=fl-2x-2022=a-1

②議，則m，，

依題意，得。J（a-Z）2=34,

.fl2+a2-4a+4=34

??，

可求得“-2a=IS

由整體思想，得2022"（a/=-勿+175?1=16

2.兩個邊長分別為。和。的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為工；若存在圖①中大

正方形的右下角擺放一個邊長為力的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為名.

（1）用含。、〃的代數式分別表示品、

/八廿。-狂

⑵若b=8，ab=13，求”?1的Vl值;

【分析】（1）由圖中正方形和長方形的面積關系，可得答案;

⑵根據92=。;方+2產-加戌+/-叫將小=8,曲=13代入進行計算即可:

⑶根曾…所#力—和S—…34,可求得圖④中

陰影部分的面積53.

【詳解】解：⑴由圖可得，?=?=2/一溫

（、":a-b=8ab=13

\2J,

:?工+5?NO2-/+2乒-必+3=@一4+2=82+13=64+13=77

所以工+力的值為77.

（3）由圖可得：

$3=東+"一之b《a+fij—io2=；6+"-abp；S]+5；三M+爐-ab=34??-ix34-17

所以圖③中陰影部分的面積幾為17.

3.閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數學公式.

（1）例如，根據下圖①，我們可以得到兩數和的平方公式：（。Ib）2=/I2abI〃根據圖②能得到的數學

公式是.

（2）如圖③，請寫出（“+〃）、（?-/?）＞帥之間的等量關系是

（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x+），=8,xy=2,求（「〉，）2的值.

（4）根據圖④，寫出一個等式：.

（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為〃的正方形，），張邊長為人的正方形，z張寬、長分別為。、b的長方形紙

片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a+b）（〃+3力）長方形，請畫出圖形，并指出x+），+z的值.

類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數學公式.

（6）根據圖⑥，寫出一個等式：.

【分析】（1）由圖②中各個部分面積之間的關系可得答案；

⑵根據圖③中，大正方形的面積為（。+沙）2,小正方形的面積為（a-b）2,每個長方形的面積為。仇由

各個部分的面積之間的關系可得出答案；

⑶由公式變形④一獷=卜+療一"\再整體代入計算即可；

（4）大正方形的面積可表示為（〃+力+c）2,在分別表示出大正方形中9塊的面積，可得答案：

（5）根據拼出一個面枳為（3a+力）（〃+3b）,即為3/+3/+10R）,因此x=3,），=3,z=10,進而拼圖即

可；

（6）根據大正方體的體積為（a+A）3,以及8個“小塊”的體積之間的關系得出結果即可.

【詳解】（1）根據圖②各個部分面積之間的關系可得；

(a-b)2=a2-2而+工,

故答案為：(a?b)2=a2-2ab+〃；

(2)???圖③中，大正方形的面積為(a+b)2,

小正方形的面積為(a-。)2,

每個長方形的面積為ab,

(a+吁=(a-4+4a力

9

故答案為：3+獷=也-療+4叫

(3)利用(2)的結論，

可知U5=U+療t?

??

一+y=8,xy=2f

(x->,)2=(x+y)2-4與，=64-8=56：

(4)根據圖④，

大正方形的面積可表示為(a+b+c)2,

“內部9塊的面積分別為：

22

a,bf戶,、ab.ab.ac,ac,be.be

**(a+b+c)2=a2-\~b2-i-c2+2ab-\-2ac-\-2bc

故答案為：(a+b+c)2=〃2+〃2+c2+24〃+2ac+2/?c；

(5)”(3a+b)(〃+3b)=3/+3〃+10a〃,

Ax=3,y=3,z=10

即需要3張邊長為。的正方形，3張邊長為。的正方形，10張寬、長分別為。、。的長方形紙片,

畫圖如下:

.,?/+y+z=16：

(6)根據圖⑥,

大正方體的體積為(。+萬)3,

分割成8個“小塊”的體積分別為:

b

a\b\a2b(rb,a:b,atr.ab2,ab2

t9

***(a+b)3=々2+〃+3/〃+34〃

故答案為：(。+。)3=a2+/?2+3a2b+3ab2.

4.(1)【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式.例如：從邊長

為”的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1,然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2.

圖I中陰影部分面積為,圖2中陰影部分面積為,請寫出這個乘法公式

(2)【知識應用】應用(1)中的公式，完成下面任務：若機是不為0的有理數，已知

P=(m2+2m+l)(m2-2m+1)Q=(m2+m+l)(m:-m+1)

比較P、Q大小.

(3)【知識遷移】事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示?些代數恒等式，圖3表