1.1二次函數

教學目標：

1、從實際情景中讓學生經歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數關系的過程，進一步體驗如

何用數學的方法去描述變量之間的數量關系。

2、理解二次函數的概念，掌握二次函數的形式。

3、會建立簡單的二次函數的模型，并能根據實際問題確定自變量的取值范圍。

4、會用待定系數法求二次函數的解析式。

教學重點：二次函數的概念和解析式

教學難點：本節“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜，要求學生有較強的概括能力。

教學設計：

一、創設情境，導入新課

問題1、現有一根12m長的繩子，用它圍成一個矩形，如何圍法，才使舉行的面積最大？小明同學

認為當圍成的矩形是正方形時，它的面積最大，他說的有道理嗎？

問題2、很多同學都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？怎樣計算籃球

達到最高點時的高度？

這些問題都可以通過學習俄二次函數的數學模型來解決，今天我們學習"二次函數”(板書課題)

二、合作學習，探索新知

請用適當的函數解析式表示下列問題中情景中的兩個變最y與x之間的關系：

(1)面積y(cm?)與圓的半徑x(Cm)

(2)王先生存人銀行2萬元,先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期，設一

年定期的年存款利率為文x兩年后王先生共得本息y元；

⑶擬建中的?個溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是?個矩形,周長為120m,室內通道的尺寸如圖,

設一條邊長為x(cm),種植面積為y(m2)

(一)教師組織合作學習活動：

1、先個體探求，嘗試寫出y與x之間的函數解析式。

2.上述三個問題先易后難，在個休探求的基礎上，小組進行合作交流，共同探討。

(1)y=Jix2(2)y=2030(1+x)2=20000X2+40000X+20IX)0

(3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-l12

(二)上述三個函數解析式具有哪些共同特征？

讓學生充分發表意見，提出各自看法。

教師歸納總結：上述三個函數解析式經化簡后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,aWO)的形式.

板書：我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常數，aWO)的函數叫做二次函數(quadraticfuncion)

稱a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項，

請講出上述三個函數解析式中的二次項系數、一次項系數和常數項

(二)做做

I、下列函數中，哪些是二次函數？

⑴)，=/(2)y=--V(3)y=2x2-x-l(4)y=x(\-x)

x-

(5))，=*-1)2-(x+lXD

2、分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：

(1)y=x2+\(2)y=3x2+7x-12(3)y=2x(\-x)

3、若函數丁=（m2—1）%病一加為二次函數，則m的值為。

三、例題示范，了解規律

例1、已知二次函數），=/+〃式+夕當*=1時，函數值是4；當x=2時，函數值是-5。求這個二

次函數的解析式。

此題難度較小，但卻反映了求二次函數解析式的?般方法，可讓學生?邊說，教師一邊板書示范，

強調書寫格式和思考方法。

練習：已知二次函數），=〃/+bx+c,當產2時，函數值是3；當x=?2時，函數值是2,求這個

二次函數的解析式。

例2、如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm,將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）。設

AE=BF=CG=DH=x（cm）,四邊形EFGH的面積為y（cn?）,求：

（1）y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍。

（2）當x分別為0.25,051.5,1.75時，對應的四邊形EFGH的面積,并列表表示。

方法：

（1）學生獨立分析思考，嘗試寫出y關于x的函數解析式，教師巡回輔導，適時點撥。

（2）對于第一個問題可以用多種方法解答，比如：

求差法：四邊形EFGH的面積;正方形ABCD的面積-直角三角形AEH的面積DE4倍。

直接法：先證明四邊形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH?

（3）對于自變量的取值范圍，要求學生要根據實際問題中自變量的實際意義來確定。

（4）對于第（2）小題，在求解并列表表示后，重點讓學生看清x與y之間數值的對應關系和內在

的規律性：隨著x的取值的增大，y的值先減后增；y的值具有對稱性。

練習：

用20米的籬笆圍一個矩形的花圃（如圖），設連墻的一邊為x,矩形的面積為y,求：

（1）寫出y關于x的函數關系式.

⑵當x=3時,矩形的面積為多少？

課題：L2二次函數的圖像

教學目標：

1、了解二次函數圖像的特點。

2、掌握一般二次函數y=ar+bx+c的圖像與），=ar的圖像之間的關系。

3、會確定圖像的開口方向，會利用公式求頂點坐標和對稱軸。

教學重點：二次函數的圖像特征

教學難點：例2的解題思路與解題技巧。

教學設計：

一、回顧知識

1、二次函數y=a（x+〃?）2+Z的圖像和y=〃/的圖像之間的關系。

2、講評上節課的選作題

對于函數-2x+],請回答下列問題：

<1)對于函數、=-％2-2%+1的圖像可以由什么拋物線，經怎樣平移得到的？

(2)函數圖像的對稱軸、頂點坐標各是什么？

思路：把y=-x2-2x+1化為y=a(x+in)2+k的形式。

y=—x2—2,x4-1=—(x~+2x—1)=—[(x~+2x+1)-2]=—[(x+1)~—2^=—(x—1)~+2

在y=一3-1)2+2中，m、k分別是什么？從而可以確定由什么函數的圖像經怎樣的平移得到的？

2、二次函數丁=以2+歷L+C的圖像特征

(1)二次函數)，=。工2+Zu?+c(a#O)的圖象是一條拋物線；

(2)對稱軸是直線x=-幺，頂點坐標是為(-2,如土)

2a2a4。

(3)當a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點。

當a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點。

三、鞏固知識

1、例1、求拋物線》=一4/+31-3的對稱軸和頂點坐標。

有由學生自己完成。師生點評后指出：求拋物線的對稱軸和頂點坐標可以采用配方法或者是用頂點

坐標公式。

2、做一做課本第36頁的做一做和第37頁的課內練習第1題

3、(補充例題)例2已知關于x的二次函數的圖像的頂點坐標為(-1,2),且圖像過點

(1,-3)。

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)求這個二次函數的圖像與坐標軸的交點坐標。(此小題供血有余力的學生解答)

分析與啟發：(1)在已知拋物線的頂點坐標的情況下，將所求的解析式設為什么比較簡便？

4、練習：(1)課本第37頁課內練習第3題。

(2)探究活動：一座拱橋的示意圖如圖(圖在書上第37頁)，當水面寬12m時，橋洞頂部離水面

4m。已知橋洞的拱形是拋物線，要求該拋物線的函數解析式，你認為首先要做的工作是什么？如果

以水平方向為x軸，取以下三個不同的點為坐標原點：

1、點A2、點B3、拋物線的頂點C

所得的函數解析式相同嗎？請試一試。哪一種取法求得的函數解析式最簡單？

四、小結

1、函數)，=ax2+bx+c的圖像與函數y=ad的圖像之間的關系。

2、函數)，=+c的圖像在對稱軸、頂點坐標等方面的特征。

3、函數的解析式類型：

一般式：y=ax2+bx+c

頂點式：y=a(x+m)2+k

五、布置作業

課本作業題

課題：1.3二次函數的性質

教學目標：

1.從具體函數的圖象中認設二次函數的基本性質.

2.了解二次函數與二次方程的相互關系.

3.探索二次函數的變化規律，掌握函數的最大值(或最小值)及函數的增減性的概念，會求二次函數的

最值，并能根據性質判斷函數在某一范圍內的增減性

教學重點：

二次函數的最大值，最小值及增減性的理解和求法.

教學難點：二次函數的性質的應用.

教學過程：

復習引入

二次函數：y=ax2+bx+c(aH())的圖象是一條拋物線,它的開口由什么決定呢？

補充：當a的絕對值相等時，其形狀完全相同，當a的絕對值越大，則開口越小，反之成立.

二，新課教學：

1.探索填空：根據下邊已畫好拋物線產-2x2的頂點坐標是.

對稱軸是,在側，即x0時,

y隨著x的增大而增大；在側，即x0時，

y隨著x的增大而減小.當x=0寸，函數y最大值是一.

當x0時,y<0：

2.探索填空:：據上邊已畫好的函數圖象填空：拋物線y=2x2的頂點坐標是

對稱軸是，在側，即x0時,

y隨著x的增大而減少；在側，即x0時，

y隨著x的增大而增大.當x=時，函數y最小值是—.

當X0時,戶0_

3.歸納：二次函數y=ax2+bx+c(a#0)的圖象和性質

(1).頂點坐標與對稱軸

(2).位置與開口方向

(3).增減性與最值

當a>0時，在對.軸的左側，y隨著x的增大而減小：在對稱軸的右側，y隨著x的增大而增大;

當x=嶗函數y有最小值4a匚也,<0時，在對稱軸的左側，丫隨著x的

增大而增大；在充懵;軸的右側，y隨著x的增大而減幅。當x吵」迪一數丫有最大值

4.if爾.人向小翟.■皴歲舞瞽

二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如圖所示.

(1).每個圖象與x軸有幾個交點？

(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+l=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎？

(3).二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關

系？

5.例題教學:例1:已知函數12一15

y=-rx-7x+v

⑴寫出函數圖像的頂點、圖像與坐標軸的交點，以及圖像與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。

然后畫出函數圖像的草圖；

(2)自變量x在什么范圍內時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著x的增大而減少；并求出函數

的最大值或最小值。

歸納:二次函數五點法的畫法

三.鞏固練習：請完成課本練習：P42.1,2

四.嘗試提高：1

五.學習感想：I、你能正確地說出二次函數的性質嗎？

2、你能用“五點法”快速地畫出二次函數的圖象嗎？你能利用函數圖象回答有關性質嗎？

六：作業：作業本.課本作業題I、2、3、4。

課題：L4二次函數的應用

教學目標：

1.經歷數學建模的基木過程.

2、會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值。

3、體會二次函數是?類最優化問題的重要數學模型，感受數學的應用價值。

教學重點和難點：

重點：二次函數在最優化問題中的應用。

難點：例I是從現實問題中建M二次函數模型，學生較難理解。

教學設計：

一、創設情境、提出問題

出示引例(將作業題第3題作為引例)

給你K8m的鋁合金條，設問：

①你能用它制成一矩形窗框嗎？

②怎樣設計，窗框的透光面積最大？

③如何驗證？

二、觀察分析，研究問題

演示動畫，引導學生觀察、思考、發現：當矩形的一邊變化時，另一邊和面積也隨之改變。深入探

究如設矩形的一邊長為x米，則另一邊長為(4-x)米，再設面積為yn?,則它們的函數關系式為

y=*+4x

r>0

4一工人。

「.0YXY4

并當x=2時（屬于0YXY4范圍）即當設計為正方形時，面積最大=4（n?）

引導學生總結，確定問題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應用問題中，可以考

慮利用二次函數最值方面的性質去解決。

步驟：

第一步設自變量：

第二步建立函數的解析式；

第三步確定自變量的取值范圍；

第四步根據頂點坐標公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內）。

三、例練應用，解決問題

在上面的矩形中加上一條與寬平行的線段，出示圖形

設問：用長為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，

向窗框的寬和高各是多少米時，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？

引導學生分析，板書解題過程。

變式（即課本例1）：現在用長為8米的鋁合金條制成如圖所示的窗框（把矩形的窗框改為上部分是

由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形），那么如何設計使窗框的透光面

積最大？（結果精確到0.01米）

練習：課本作業題第4題

四、知識整理，形成系統

這節課學習了用什么知識解決哪類問題？

解決問題的一般步驟是什么？應注意哪些問題？

學到了哪些思考問題的方法？

五、布置作業：作業本

課題：2.1事件的可能性

教學目標：

1、通過生活中的實例，進一步了解概率的意義：

2、理解等可能事件的概念，并準確判斷某些隨機事件是否等可能；

3、體會簡單事件的概率公式口勺正確性；

4、會利用概率公式求事件的概率。

教學重點：等可能事件和利用概率公式求事件的概率。

教學難點：判斷一些事件可能性是否相等。

教學過程：第一課時

一、引言

出示投影：

（1）1998年，在美國密歇根州的一個農場里出生了一頭白色奶牛。據統計平均出生1千萬頭牛才

會有一頭是白色的。你認為出生一頭白色奶牛的概率是多少？

（2）設置一只密碼箱的密碼，若要使不知道秘密的人撥對密碼的概率小于」一，則密碼的位數至

999

少需要多少位？

這些問題都需要我們進一步學習概率的知識米解決。本章我們將進一步學習簡單事件的概率的計

算、概率的估計和概率的實際應用。

二、簡單事件的概率

1、引例：盒子中裝有只有顏色不同的3個黑棋子和2個白棋子，從中摸出一棋子，是黑暝子的可

能性是多少？

小結：在數學中，我們把事件發生的可能性的大小，稱為事件發生的概率

如果事件發生的各種可能結果的可能性相同，結果總數為m事件A發生的可能的結果總數為m,

m

那么事件A發生的概率是P（A）=-。

n

2、練習：

如圖三色轉盤，每個扇形的圓心角度數相等，讓轉盤自由轉動一次，”指針落在黃色區域”的概率

是多少？

3、知識應用：

例I、如圖，有甲、乙兩個相同的轉盤。讓兩個轉盤分別自由轉動一次，當轉盤停止轉動，求

（1）轉盤轉動后所有可能的結果；

（2）兩個指針落在區域的顏色能配成紫色（紅、藍兩色混合配成）的概率；

3）兩個指針落在區域的顏色能配成綠色（黃、藍兩色混合配成）或紫色的概率；

解：將兩個轉盤分別自由轉動一次，所有可能的結果可表示為如圖，且各種結果的可能性相同。所

以所有可能的結果總數為n=3X3=9

2

⑴能配成紫色的總數為2種，所以

9

4

（2）能配成綠色或紫色的總數是4種，所以P=—。

9

練習：課本第32頁課內練習第1題和作業題第1題。

例2、一個盒子里裝有4個只有顏色不同的球，其中3個紅球，I個白球。從盒子里摸出一個球，

記下顏色后放回，并攪勻，再摸出一個球。

（I）寫出兩次摸球的所有可能的結果；

（2）摸出一個紅球，一個白球的概率；

（3）摸出2個紅球的概率；

解：為了方便起見，我們可將3個紅球從1至3編號。根據題意，第一次和第二摸球的過程中，摸

到4個球中任意一個球的可能性都是相同的。兩次摸球的所有的結果可?列表表示。

（1）事件發生的所有可能結果總數為n=4X4=16。

（2）事件A發生的可能的結果種數為m=6,

...P⑷=3=3

〃168

（2）事件B發生的可能的結果的種數m=9

:?P（B）=U=2

n16

練習：課本第32頁作業題第2、3、4題

三、課堂小結：

I、概率的定義和概率公式。

2、用列舉法分析事件發生的所有可能請況的結果數一般有列表和畫樹狀圖兩種方法。

3、在用列表法分析事件發生的所有情況時往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在后,

其次若有三個紅球，要分紅1、紅2、紅3。雖然都是紅球但摸到不同的紅球時不能表達清楚的。

四、布置作業：見課課通

課題：2.2簡單事件的概率

教學過程:

一、回顧與思考

1、在數學中，我們把事件發生的可能性的大小稱為事件發生的概率

P(4)=-

2、運用公式〃求簡單事件發生的概率，在確定各種可能結果發生的可能性相同的基礎上,

關鍵是求什么？(關鍵是求事件所有可能的結果總數n和其中事件A發生的可能的結果m(mW

n))

二、熱身訓練

(2006年浙江金華)北京08奧運會吉祥物是“貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮”.現將三張分別印有“歡

歡、迎迎、妮妮”這三個吉祥物圖案的卡片(卡片的形狀大小一樣，質地相同)放入盒子.

(1)小玲從盒子中任取一張，取到印有“歡歡”圖案的卡片的概率是多少？

(2)小玲從盒子中取出一張卡片，記下名字后放回，再從盒子中取出第二張卡片,記下名字用列表或畫

樹狀圖列出小玲取到的卡片的所有情況,并求出小玲兩次都取到印有“歡歡’圖案的卡片的概率.

三、例題講解

例3、學校組織春游，安排給九年級3輛車，小明與小慧都可以從這3輛車中任選一輛搭乘.問小明與

小慧同車的概率有多大？

分析：為了解答方便，記這三輛車分別為甲、乙、丙，小明與小慧乘車的所有可能的結果列成表。

一個學生板演，其余學生自己獨立完成。

練習：課本第34頁課內練習第1題，作業題第1、2、4題

例4、如圖，轉盤的白色扇形和紅色扇形的圓心角分別為120。和240°.讓轉盤自由轉動2次,求指針

一次落在白色區域，另一次落在紅色區域的概率.____

先讓學生獨立完成，后指名一學生板演，可能一些學生沒有考慮到該事

件不是等可能事件，讓學生充分討論，得出應把紅色扇形劃分成ft兩個圓

心角都是120。的扇形，最后應用樹狀圖或列表法求出概率,

練習：課本第35頁作業題第4題。

四、課堂小結：

P(A)=-

1、等可能事件的概率公式：〃，在應用公式求概率時要注意：

要關注哪個或哪些結果；無論哪個或哪些結果都是機會均等的；部分與全部之比，不要誤會為部分

與部分之比。

2、列舉出事件發生的所有可能結果是計算概率的關鍵，畫樹狀圖和列表是列舉事件發生的所有可

能結果的常用方法。

3、如何把一些好像不是等可能的事件化解為等可能事件是求事件概率的重要方法。

五、布置作業：見課課通。

2.3用頻率估計概率

教學目標：

1、借助實驗，體會隨機事件在每一次實驗中發生與否具有不確定性；

2、通過操作，體驗重復實驗R勺次數與事件發生的頻率之間的關系：

3、能從頻率值角度估計事件發生的概率；

4、懂得開展實驗、設計實驗，通過實驗數據探索規律，并從中學會合作與交流。

教學重點與難點：通過實驗體會用頻率估計概率的合理性。

教學過程：

二、合作學習(課前布置，以其中一小組的數據為例)讓轉盤自由轉動一次，停止轉動后，指針落在

紅色區域的概率是3,以數學小組為單位，每組都配一個如圖的轉盤，讓學生動手實驗來驗證：

⑴填寫以下頻數、頻率統計表：

⑵把各組得出的頻數，頻率統計表同一行的轉動次數和頻數進行匯總，求出相應的頻率，制作如卜表

格：

(3)根據上面的表格，畫出卜.列頻率分布折線圖

(4)議一議:頻率與概率有什么區別和聯系?隨著重復實驗次數的不斷增加，頻率的變化趨勢如何？

結論：從上面的試驗可以看到：當重復實驗的次數大量增加時，事件發生的頻率就穩定在相應的概

率附近，因此，我們可以通過大量重復實驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。

三、做一做：

1.某運動員投籃5次，投中4次能否說該運動員投一次籃，投中的概率為4/5?為什么？

2.回答下列問題：

⑴抽檢1000件襯衣，其中不合格的襯衣有2件，由此估計抽1件襯衣合格的概率是多少？

(2)1998年，在美國密歇根州漢諾城市的一個農場里出生了1頭白色的小奶牛,據統計，平均出生1千

萬頭牛才會有1頭是白色的，由此估計出生一頭奶牛為白色的概率為多少？

四、例題分析：

例1、在同樣條件下對某種小麥種子進行發芽實驗，統計發芽種子數，獲得如下頻數分布表：

(I)計算表中各個頻數.

(2)估計該麥種的發芽概率

(3)如果播種該種小麥每公頃所需麥苗數為4181818棵，種子發芽后的成秧率為87%,該麥種的千粒質

量為35g,那么播種3公頃該種小麥，估計約需麥種多少kg?

分析：(1)學生根據數據自行計算

(2)估計概率不能隨便取其中一個頻率區估計概率，也不能以為最后的頻率就是概率，而要看頻

率隨實驗次數的增加是否趨于穩定。

(3)設需麥種x(kg)

由題意得，

解得x^531(kg)

答:播種3公頃該種小麥，估計約需531kg麥種.

五、課內練習：

1.如果某運動員投一次籃投中的概率為0.8,下列說法正確嗎?為什么？

(I)該運動員投5次籃，必有4次投中.

(2)該運動員投100次籃，約有80次投中.

2.對一批西裝質量抽檢情況如下：

(1)填寫表格中次品的概率.

(2)從這批西裝中任選?套是次品的概率是多少？

(3)若要銷售這批西裝2000件，為了方便購買次品西裝的顧客前來調換，至少應該進多少件西裝？

六、課堂小結：

盡管隨機事件在每次實驗中發生與否具有不確定性，但只要保持實驗條件不變，那么這一事件出現

的頻率就會隨著實驗次數的增大而趨于穩定，這個穩定值就可以作為該事件發生.概率的估計值。

七、作業：見課課通。

補充：一個口袋中有12個自球和若干個黑球，在不允許將球倒出來數的前提下，小亮為估計口袋

中黑球的個數，采用了如下的方法：每次先從口袋中摸出10個球，求出其中白球與10的二匕值，再

把球放回袋中搖勻。不斷重復上述過程5次，得到的白求數與10的比值分別為：0.4,0.1,0.2,0.1,

0.2o根據上述數據，小亮可估計口袋中大約有3個黑球。

(06黑龍江中考題)

課題：2.4概率的簡單應用

教學目標：

1、通過實例進一步豐富對概率的認識；

2、緊密結合實際，培養應用數學的意識。

教學重點和難點;：用等可能尋件的概率公式解決一些實際問題。

教學過程：

一、提出問題：

1.如果有人買了彩票，一定希望知道中獎的概率有多大.那么怎么樣來估計中獎的概率呢?

2.出門旅行的人希望知道乘坐哪一中交通工具發生事故的可能性較小？

指出：概率與人們生活密切相關，在生活，生產和科研等各個領域都有著廣泛的應用.

二、例題分析：

例1、某商場舉辦有獎銷售活動，每張獎券獲獎的可能性相同，以每10000張獎券為一個開獎單位,

設特等獎1個，一等獎10個，二等獎100個，問1張獎券中一等獎的概率是多少？中獎的概率是

多少？

分析：因為10000張獎券申能中一等獎的張數是10張，所以一張獎券中一等獎的概率就是

；而10000張獎券中能中獎的獎券總數是1+10+100=111張所以一張獎券中獎的概

100001000

率是贏

例2、生命表又稱死亡表，是人壽保險費率計算的主要依據，如下圖是1996年6月中國人民強行發布

的中國人壽保險經驗生命表,(1990-1993年)的部分摘錄，根據表格估算下列概率(結果保留4個有效數

字)

死亡人數

(1)某人今年61歲,他當年死亡的概率.年齡X生存人數lx

(2)某人今年31歲,他活到62歲的概率.dx

分析：01()(X)(X)()2909

(1)解釋此表的意思；19970912010

(2)根據表中數據可得：61歲的生存人數為8676g5,61歲30976611755

的死亡人數為10853,所以所求概率為31975856789

6186768510853

p=%=尊：。。均6285683211806

L0.1867685

6384502612817

6483220913875

(3)根據表中數據得加:975856,

7948898832742

8045624633348

心二856832,

8142289833757

8238914133930

r-Lt、fLr*一1"ALAtfY'A，856832

所以所求的概率為p=f=------工0八.8c7r8c0c

/31975856

三、課內練習：課本第41頁第I、2題和作業題第1題2題。

四、小結：學會調查、統計，利用血管的概率結合實際問題發表自己的看法，并對事件作出合理的

判斷和預測，用優化原則作決策，解決實際問題。

五、作業：見課課通

3.1圓

教學目標

1.理解圓、弧、弦等有關概念.

2.學會圓、弧、弦等的表示方法.

3.掌握點和圓的位置關系及其判定方法.

4.進一步培養學生分析問題和解決問題的能力.

5.用生活和生產中的實例激發學生學習興趣從而喚起學生尊重知識尊重科學，更加熱愛生活.

教學重點

弦和弧的概念、弧的表示方法和點與圓的位置關系.

教學難點

點和圓的位置關系及判定.

教學方法操作、討論、歸納、鞏固

教學過程

1.展示幻燈片，教師指出，日常生活和生產中的許多問題都與圓有關.

如（1）一個破殘的輪片（課本P62圖），怎樣測出它的直徑?如何補全？

（2）圓弧形拱橋（課本P63圖），設計時橋拱圈（）的半徑該怎樣計算？

（3）如何躲避圓弧形暗礁區（課本P60、P74圖），不使船觸礁？

（4）自行車輪胎為什么做成圓的而不做成方的？

2.上述這些問題都與圓的問題有關，在小學我們已經認識過圓，回會用圓規畫圓，問：圓上的點

有什么特性嗎？圓、圓心、圓的半徑、圓的直徑各是怎樣定義的？這節課我們用另一種方法來定義

圓的有關概念。

（板書）3.1圓

3.師生i起用圓規畫圓：取一根繩子，把i端固定在

畫板上，另一端縛在粉筆上，然后拉緊繩子，并使它繞固定的一端旋轉一周，即得一個圓（課本圖3

—1、3—2）.

歸納：在同一平面內，一條線段OP繞它固定的一個端點（）旋轉一周，另一個端點P所經過的封閉

曲線叫做圓.定點0就是圓心，線段0P就是圓的半徑.以點0為圓心的圓，記作“。0”，讀作

“圓O”.如圖所示.

4圓的有關概念（如圖3—3）

（1）連結圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖BC.經過圓心的弦是直徑，圖中的AB。直經等于半

徑的2倍.

（2）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號表示.小于半圓的弧叫做劣弧，

如圖中以B、C為端點的劣弧記做“”；大于半圓的弧叫做優弧，優弧要用三個字母表示，如圖中

的.

（3）半徑相等的兩個圓能夠完全重合，我們把半徑相等的兩個圓叫做等圓.例如，圖中的和。

02是等圓.

圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓。（學生畫同心圓）

（4）完成P58做一做

由上述問題提出：確定一個圓的兩個必備條件是什么？

說明：圓上各點到圓心的距離都相等，并且等于半徑的長；反討來，到圓心的距離等于半徑長的點

必定在圓上.即可以把圓看作是到定點的距離等于定長的點的集合。

注意：說明一個圓時必須說清以誰為定點，以誰為定長。

5.結論：一般地，如果P是圓所在平面內的一點，d表示P到圓心的距離，r表示圓的半徑，那么

就有：

d<rP在圓內;d=rP在圓上;d>rP在圓外.

教學反思

學生能較好的理解本節教學內容,但對于?如何應用學生還是掌握的不怎樣的好.

3.2圖形的旋轉

1.使學生理解圓的軸對稱性.

2.掌握垂徑定理.

3.學會運用垂徑定理解決有關弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題.

教學重點

垂徑定理是圓的軸對稱性的重要體現，是今后解決有關計算、證明和作圖問題的重要依據，它有著

廣泛的應用，因此，木節課的教學重點是：垂徑定理及其應用.

教學難點

垂徑定理的推導利用了圓的軸對稱性，它是一種運動變換，這種證明方法學生不常用到，與嚴格的

邏輯推理比較，在證明的表述上學生會發生困難，因此垂徑定理的推導是本節課的難點.

教學關鍵

理解圓的軸對稱性.

教學環節的設計

這節課我通過七個環節來完成本節課的教學目標，它們是：

復習提問，創設情境；引入井課，揭示課題；講解新課，探求新知；應用新知，體驗成功；

目標訓練，及時反饋；總結回顧，反思內化；布置作業，鞏固新知.

教學方法：類比啟發

教學輔助：多媒體

教學過程：

一、復習提問，創設情境

1.教師演示：將一等腰三角形沿著底邊上的高對折，啟發學生共同回憶等腰三角形是軸右稱圖形,

同時女習軸對稱圖形的概念；

2.提出問題：如果以這個等腰三角形的頂點為圓心，腰長為半徑作圓，得到的圓是否是軸對稱圖

形呢？（教師用教具演示，學生自己操作）/------、

二、引入新課，揭示課題不、、

1.在第一個環節的基礎上，引導學生歸納得出結論：（X、

圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸.CHE~/O-------lD

強調：1//

（1）對稱軸是直線，不能說每一條直徑都是它的對稱軸：7

（2）圓的對稱軸有無數條.—/

判斷：任意?條直徑都是圓的對稱軸（）

設計意圖：讓學生更好的理解圓的軸對稱軸新性，為下一環節探究新知作好準備.

三、講解新課，探求新知

先按課本進行合作學習

1.任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑CD；

2.作一條和直徑CD的垂線的弦，AB與CD相交于點E.

提出問題：把圓沿著直徑CD所在的直線對折，你發現哪些點、線段、圓弧重合？

在學生探索的基理得色結金：（先介紹弧相等的概念）

①EA=EB；②AC=BC,AD=BD.

理由如下：VZOEA=ZOEB=RtZ,根據圓的軸軸對稱性，可得射線EA與EB重合，

???點A與點B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.

，EA=EB,At=BC,Ab=feb.

然后把此結論歸納成命題的形式：

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

垂徑定理的幾何語言

〈CD為直徑，CD1AB（0C1AB）

，EA二EB,AC=BC,AD=BD.

四、應用新知，體驗成功

例1已知矗，如圖，用直尺和圓規求作這條弧的中點.（先介紹弧中點概念）

作法：

1.連結AB.

2.作AB的垂直平分線CD,交弧AB于點E.

點E就是所求弧AB的中點.

變式一：求弧卷的四等分點.

思路：先將弧AB平分，再用同樣方法將弧AE、弧BE平分.

（圖略）

有一位同學這樣畫，錯在哪里？

1.作AB的垂直平分線CD

2.作AT、BT的垂直平分線EF、GH（圖略）

教師強調：等分弧時一定要作弧所對的弦的垂直平分線.

變式二：你能確定弧&的圓心嗎？

方法：只要在圓弧上任意取三點，得到三條弦，畫其中兩條弦的垂直平分線，交點即為圓弧的圓心.

例2一條排水管的截面如圖所示.排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,求截面圓心0到水面

的距離0C.

思路：

先作出圓心O到水面的距離0C,即畫OC_LAB,AAC=BC=8,

在RtZ\OCB中，OCZOB?-BC2=Jl（）2-82=6

，圓心0到水面的距離OC為6.

補充例題已知：如圖，線段AB與。O交于C、D兩點，且OA=OB.求證：AC=BD.

思路：

作OM_LAB,垂足為M,/.CM=DM

VOA=OB,??.AM=BM,.\AC=BD.

概念：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距.

小結：

1.畫弦心距是圓中常見的輔助線；

2.半徑（r）、半弦、弦心距（d）組成的直角二角形是研究與圓有關問題的主要思路，它們之間的關

系：弦長A8=2尸才.

3.3垂徑定理

由于一個圓的任意兩條直徑總是互相平分的，但是它們不一定是互相垂直的，所以要使上面的題設

能夠推出上面的結論，還必須加上“弦AB不是直徑”這一條件.

這個命題是否為真命題，需要證明，結合圖形請同學敘述已知、求證，教師在黑板上寫出.

已知：如圖3?15,在。O中，直徑CD與弦AB（不是直徑）相交于E,且E是AB的中點.

求證：CD1AB,.

分析：要證明CD_LAB,即證OE_LAB,而E是AB的中點，即證0E為AB的中垂線.由等腰三角

形的性質可證之.利用垂徑定理可知AC=BC,AD=BD.

證明：連結OA,0B,則OA=OB,z^AOB為等腰三角形.

因為E是AB中點，所以OE_LAB,即CD_LAB,

又因為CD是直徑，所以

2.(1)引導學生繼續觀察、思考，若選②③為題設，可得：

(2)若選①④為題設，可得：

以上兩個命題用投影打出，引導學生自己證出

最后，教師指出：如果垂徑定理作為原命題，任意交換其中的一個題設和一個結論，即

可得到一個原命題的逆命題，按照這樣的方法，可以得到原命題的九個逆命題，然后用投影

打出其它六個命題：

3.根據上面具體的分析，在感性認識的基礎上，引導學生用文字敘述其中最常用的三

個命題，教師板書出垂徑定理的推論1.

推論1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧：

(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所走的另一條弧.

4.垂徑定理的推論2.

在圖3-15的基礎上，再加一條與弦AB平行的弦EF,請同學們觀察、猜想，會有什么結論出現：(圖

7-37)

學生答

接著引導學生證明上述猜想成立.(重點分析思考過程，然后學生口述，教師板書.)

證明：因為EF〃AB,所以直徑CD也垂直于弦EF,

最后，猜想得以證明，請學生用文字敘述垂徑定理的乂一推論：

推論2圓的兩條平行弦所夾H勺弧相等.

三、應用舉例，變式練習

練習按圖3-15,填空：在00中

(1)若MN_LAB,MN為直徑；則，，：

(2)若AC=BC,MN為直徑；AB不是直徑，則，，；

(3)若MN_LAB,AC=BC,則，，；

此練習的目的是為了幫助學生掌握垂徑定理及推論I的條件和結論.

例3我國隋代建造的趙州石拱橋(圖)的橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4米,拱前弧

的中點到弧的距離，也叫弓形高)為7.2米，求橋拱的半徑.(精確到0.1米)

首先可借此題向學生介紹“趙州橋”，對學生進行愛國主義教育，(有條件可放錄像)同

時也可激發學生學習數學的興趣.

六、總結回顧，反思內化

師生共同總結：

1.本節課主要內容：(1)舊的軸對稱性；(2)垂徑定理.

2.垂徑定理的應用：(1)作圖；(2)計算和證明.

3.解題的主要方法：

(1)畫弦心距是圓中常見的埔助線；

(2)半徑(r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關問題的主要思路，它們之間的

關系：弦長八8=21M-d2.

教學反思；

本節課學生對垂徑定理都很好的掌握，亮點在于練習設計有梯度，本

節例題學生掌握很好。

3.4圓心角

教學目標：

I.經歷探索圓心角定理的過程；

2.掌握圓心角定理

教學重點：圓心角定理

教學難點：圓心角定理的形成過程

教學方法：講練法

教學輔助：多媒體

教學過程：

一.創設情景：

1、頂點在圓心的角，叫圓心角

2、圓的旋轉不變性：

圓繞圓心旋轉任意角a,都能夠與原來的圓重合。

3、圓心到弦的距離，叫去■心超

4、P69合作學習

結論：圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相

等，所對的弦的弦心距相等。

另外，對于等圓的情況，因為兩個等圓可疊合成同圓，所以等圓問題可轉化為同圓問題，命

題成立。

5、n度的弧的定義

6.探究活動P70

二、新課講解

1、例1教學P69

結合圖形說出因為所以。。

2、運用上面的結論來解決下面的問題：

己知：如圖，AB、CD是0O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，根據本節定理及推論

填空：

如果NAOB二NCOD,那么B

二.鞏固新知：

P70課內練習1,2,3\]

P7ITI-3

四.小結：通過這節課的學習，你學到了什么知\‘一\陳/y/識？

1.圓心角定理

2.運用關于圓心角，弧，弦，弦心距之間相互關系的定理解決簡單的幾何問題

五.布置作業:見作業本

教學反思:

本節課由于多媒體的演示，學生對對定理的理解很好。課堂氣氛活

3.5圓周角

教學目標：

1.理解圓周角的概念.

2.經歷探索圓周角定理的過程.

3.掌握圓周角定理和它的推論.

4.會運用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題.

教學重點:圓周角定理

教學難點:圓周角定理的證明要分三種情況討論，有一定的難度是本節的教學難點.

教法:探索式，啟發式，合作學習,直觀法

學法:動手實驗，合作學習

教學輔助：多媒體

教學過程：

2.復習舊知，創設情景：

1.創設情景在射門游戲中(如圖),球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角(N

ABC)有關.

1當球員在B,D,E處射匚時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角/ABC,ZADC.ZAEC.

這三個角的大小有什么關系?.

三個張角NABC,NADQNAEC是什么角呢？

2.什么圓心角呢?圓心角與弧的度數相等嗎？

二.新課探究：

L.圓周角的定義(用類比的方法得出定義)

頂點在圓上,它的兩邊分別與圓還有另一個交點，像這樣的角，叫做圓周角

特征：

①角的頂點在圓上.

②角的兩邊都與圓相交.(說明相交指的是角邊與圓除了頂點外還有公共點)

練習:判別卜.列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。

2.探索圓心與圓周角的位置關系：?個圓的圓心與圓周角的位置可能有幾種關系？

(I)圓心在角的邊上;(2)圓心在角的內部，(3)圓心在角的外部

在這三個圖中，哪個圖形最特殊？其余兩個可以轉化成這個圖形嗎？

3.探索研究：圓周角和圓心角的關系

如果圓周角和圓心角對著同一條弧，那么這兩個角存在怎樣的關系？

用幾何畫板演示探討得到

命題：(圓周角定理)

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的?半。

1(1).首先考慮一種特殊情況：

2當圓心⑹在圓周角(NABC)的一邊(BC)上時,圓周角/ABC與圓心角NAoC的大小關系.

3如果圓心不在圓周角的一邊上,結果會怎樣？

4(2).當圓心(O)在圓周角(NABC)的內部時,圓周角NABC與圓心角NAOC的大小關系會怎樣？

5(3).當圓心(O)在圓周角(NABC)的外部時,圓周角NABC與圓心角NAOC的大小關系會怎樣？

證明略(要會分類討論)

推論:圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半。

3.6圓內接四邊形

教學目標:

1.經歷探索圓周角定理的另一個推論的過程.

2.掌握圓周角定理的推論‘聯同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧

也相等”

3.會運用上述圓周角定理的推論解決簡單幾何問題.

重點：圓周角定理的推論“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也

相等”

難點:例3涉及圓內角與圓外角與圓周角的關系,思路較難形成，表述也有?定的困難

例4的輔助線的添法.

教學方法：類比啟發

教學輔助：多媒體

教學過程：

一、舊知回放：

1、圓周角定義:頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.

特征：①角的頂點在圓上.

②角的兩邊都與圓相交.

2、圓心角與所對的弧的關系

3、圓周角與所對的弧的關系

4、同弧所對的圓心角與圓周甭的關系

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

二.課前測驗

1.100°的弧所對的圓心角等于,所對的圓周角等于o

2、一弦分圓周角成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，則這弦所對的圓周角度數為

3、如圖，在。O中，ZBAC=32°,則NBOC=

4、如圖，（DO中，ZACB=130°,則NAOB=。

5、下列命題中是真命題的是（）

（A）頂點在圓周上的角叫做圓周角。

（B）60。的圓周角所對的弧的度數是30。

（C）一弧所對的圓周角等于它所對的圓心角。

（D）120。的弧所對的圓周角是60。

三，問題討論

問題1、如圖1,在中,NB.ND,NE的大小有什么關系?為什么?

問題2、如圖2,AB是。0的直徑，C是。0上任一點，你能確定NBAC的度數嗎?

問題3、如圖3,圓周角NBAC=90。，弦BC經過圓心0嗎？為什么？

O

圓周.角定理的推4U論：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的惻周角相

等；

同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

四.例題教學：

例2:已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,

以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E,

求證：

BD=DE

證明：連結AD.

???AB是圓的直徑，點D在圓上，

,ZADB=90°

AAD1BC,

VAB=AC,

Z.AD￥WftZBAC,即NBAD=NCAD,

A

?,.BD=DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等）。

練習:如圖，P是△ABC的外接圓上的一點/APC二NCPB=60°。求證:

ABC是等邊三角形

例3:船在航行過程中，船工常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。

如圖A,B表示燈塔，暗礁分布在經過A,B兩點的一個圓形區域內，C表c示一

個危險臨界點，NACB就是“危險角”，當船與兩個燈塔的夾角大于危險角”

時，就有可能觸礁。

問題:弓形所含的圓周角NC=50°,問船在航行時怎樣才能保證不進°入暗礁區？

（1）當船與兩個燈塔的夾角Na大于“危險角”時，船位于哪個區（域？為什

（2）當船與兩個燈塔的夾角/a小于“危險角”時，船位于哪個區域？為什

么？

五:練一練：1.說出命題，圓的兩條平行弦所夾的弧相等”的逆命題.原命題和逆命題都是真命題嗎?請

說明理由.

2.已知:四邊形ABCD內接于圓,BD平分NABC,且AB〃CD.求證:AB=CD十斡、

六.想一想：如圖:AB是。O的直徑，弦CD1AB于點E,G是一上任意一（\V

點，延長AG與DC的延長線相交于點F,連接AD.GD.CQ找出圖中所有和ZA卜、）

ADC相等的角,并說明理由.

拓展練習：/F

1如圖,。0中.AB是直徑，半徑CO1AB.D是CO的中點，DE〃AB、求

七:小結：1、本節課我們學習了哪些知A?\II識？

2、圓周角定理及其推論的用途\你都知道了嗎？

八、布置作業:見作業本、一』

3.7正多邊形

教學目標

1.在正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長、邊心距、中心角之間的等量關系.

2.正多邊形的畫法.

重難點、關鍵

1.重點:講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、?邊長之間的關系.

2.難點與關鍵:通過例題使學生理解四者:正多邊形半徑、中心角、?弦心距、邊長之

間的關