新蘇教版七年級上冊知識點總結

總結人：李道軍

第一章我們與數學同行

本章知識要點：引導學生認識到我們是怎樣從生活經驗中發現并提煉數學知識的；培養學

生思考數學，運用數學的能力；通過經歷獲得知識的過程來產生學數學的強烈沖動，并升

級為對數學學習的廣泛興趣。

1.1生活數學

知識點一：數字與生活

根本知識：一些特定的數字能為我們提供許多信息，如我們每個人的身份證號碼，通過它可以知道你所

在的省、市、縣及你的出生年、月、口等，我們每位同學都有學籍號的編碼，通過它可以了

解你所在的學校、班級等。

【典型例題】

例1郵政編碼由6個阿拉伯數字組成，它的前兩位數表示省（自治區、直轄市），第三位數表示郵區代

號，第四位數表示市（縣）代號，最后兩位數代表郵件投遞局（所）代號。請你說出你學校所在地的郵

政編碼，并說出它的含義。

例2據廣東省防總最新統計,2005年6月18日以來暴雨洪水災害造成54人死亡和直接經濟損失23.58

億元，大約有20萬人的生活受到影響，而且各地水情、雨情、險情、災情的威脅依然沒有解除，可能

要持續一個月。請推斷：大約需要組織多少頂帳篷？多少千克救災糧食？

知識點二：圖形與生活

根本知識：小學中學習過三角形、正方形、長方形、圓等簡單的平面圖形，學習過圓錐、圓柱、長方體、

正方體、等簡單的立體圖形，這些圖形在日常生活中也處處可見。生活中，我們離不開數學，數學已成

為我們表達和交流的工具之一，如生活中數的計算，一些標志圖形所表達的信息。

【典型例題】

例1下水道的出入口以及蓋子的形狀是圓形而小是止方形、矩形或橢圓形的。為什么？你是如何解釋的

呢？

例2長方形舊羊圈長70米，寬30米，想拆舊羊圈擴大面枳.但沒有多余的籬笆，怎么圍可使面枳更

大？說說你的方法。

1.2活動思考

知識點一：根據圖形尋找規律。

根本知識：用科學的觀點解釋事物。在實際生活中，有許多觀點都能解釋事物，但往往使事物變得神秘,

我們要學會用科學的眼光來看待事物。比方魔術中，魔術師讓你心里記下一個數字，按他的

操作進行，他就能知道你心中的那個數，這其實就是很簡單的數學。另外，折疊和拼剪過程

中有許多相等的量，使各邊聯系起來，這都需要我們慢慢來探索。

【典型例題】

例1把一張正方形紙片按圖對折兩次后，再挖去一個小圓孔.那么展開后的圖形應為（I。

例2如圖，將aABC（AB=AC,BD=DC）沿AD剪成兩個直角三角行，將這兩個三角形拼成一個四邊形，你

能拼出所有形狀的四邊形嗎？畫出所拼的四邊形的示意圖。

A

剪開

」__\

BDC

知識點二：探索數與數之間的規律，初步建立數量關系。

根本知識；（1）一些特定事物本身就有許多的關系，如月歷中的規律;

（2）事物在開展中也有許多規律，如探索數列中的規律時，就要先從數列中的前幾個數尋找

規律，然后用數列中后面的數驗證規律。

【典型例題】

例1如圖，這是2008年4月份的月歷，現用如下圖的十字框任意框出

日—.二三四五六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

27282930

（1）十字框框出的5個數與十字框中間的數有什么關系？

（2）如果十字框框出的5個數的和為105,十字框中間的數是多少？

（3）十字框框出的5個數的和可以是60嗎？

例2根據圖中數字的規律，在最后一個圖形中填空。

35

234156358

【經典真題】

例1（泰州）按右邊3x3方格中的規律，在下面4個符號中選擇一個填入方格左上方的空格內（）

A.B.C.D.

例2（宜賓）如圖，將一列數按圖中的規律排列下去,那么問號處應填的數字為0

①①②③④⑥⑨??？

例3（內江）把一張正方形紙片按如圖（3）對折兩次后，再挖去一個小圓孔，那么展開后的圖形應為

（）。

例4（臨汾〕如圖，表中的數據是按一定規律排列的，從中任意框出五個數字，請你用含其中一個字

母的代數式表示a、b、c、d、e這五個數字的和為

12345

1112131415

2122232425

3132333435

4142434445

第二章有理數

本章知識要點：本章內容以直觀的“數感”“符號感”為生活背景，創設有理數的各種現實

背景。要求在具體情境中，理解有理數及其運算的意義；能用數軸上的點表示有理數，會

比擬有理數的大小；借助數地理解相反數和絕對值的意義，會求有理數的相反數與絕對值;

經歷探索有理數運兌法那么和運算律的過程，掌握有理數的混合運算，理解有理數的運算

律，并能用運算律化簡運算；能借助身邊熟悉的事物體會大數，并會用科學記數法表示大

數。

2.1正數和負數

-I00

-1-20123

-2-1012

知識點二：在數軸上表示有理數

根本知識：所有有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點表示的數不?定都是有理數。

我們規定：（1）數軸上的原點表示0；

（2）數軸上原點右邊的點表示正數：

（3）原點左邊的點表示負數。

【典型例題】

35

例1在數軸上畫出表示以下各數的點：3,-1,0,,-5.

知識點三：在數軸上比擬有理數

根本知識：利用數軸比擬有理數的大小：

（1）數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數；

（2）正數都大于0,負數都小于0,正數都大于負數。

【典型例題】

例1在數軸上表示以下各數，并用“V”號把它們連接起來，

4；,-3,-2,0,2.5,0.3,-4.5

例2如圖，請在數軸上用“-”表示比1小2的數。

orz.

2.4絕對值與相反數

知識點一：正確理解絕對值與相反數的概念

根本知識：相反數

（1）代數意義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個數是另一個數的相反數，。的

相反數是0

（2）幾何意義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數互為相反數。

（3）表示方法：一般地，數a的相反數為-a,同樣，-a的相反數為a.

多重符號的化簡

多重符號的化簡有如下規律:“+”的個數不影響化簡結果，假設一個數字的前面有i禺數個

其結果為正；假設一個數字的前面有奇數個其結果為負。

絕對值

（1）定義：數軸上表示一個數的點與原點的距離，叫做這個數的絕對值。

（2）幾何意義：一般地，數a的絕對值表示在數軸上與a對應的點到原點的距離，記作|a|;反

過來，Ia|表示數a到原點的距離。

(3.1代數意義：一個正數的絕對值是它本身：一個負數的絕對值是它的相反數：零的絕對值是零。

【典型例題】

例1求以下各數的相反數。

-3,2,0,-l|

例2化簡：-(-2),-(+2),+(-2),+(+2)

例3一個數的絕對值等于6,求這個數。

知識點二：有理數大小的比擬

根本知識：應用絕對值比擬有理數的大小

(1)兩個正數，絕對值大的正數大；

(2)兩個負數，絕對值大的負數反而小。

有理數的大小比擬

(1)數軸上的數，右邊的數總大于左邊的數。

(2)正數大于()，負數小于()，正數大于負數。

(3)兩個負數，絕對值大的反而小。

【典型例題】

例1比擬-7與-9的大小。

1

-

3b=-3.14,c=-n,那么a、b、c的大小關系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【經典真題】

無錫近5年，此考點難度低，3分左右，但每年必考。

真題1.(2010年無錫)

-5的相反數是一▲.

直題2(2011年無錫)

1.請寫出一個大于1且小于2的無理數：▲.

2.I-31的值等于(▲)

A.3B.一3C.±3D.V3

真題3.(2012年無錫)

-2的相反數是(▲)

2

A.2B.-2C.D.,2

真題4.(2013年無錫)

|-2|的值等于(▲)

A.2B.-2C.±2D.V2

真題5.12014年無錫)

-3的相反數是(▲)

A.3B.-3C.1/3D.-1/3

2.5有理數的加法與減法

知識點一：有理數的加法

根本知識：有理數的加法法那么

(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕。對值相加。

(2)異號兩數相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并

用較大的絕對值減去較小的絕對值

(3)一個數與()相加，仍得這個數。

【典型例題】

例1計算：

(1)(-5)+(-6)；(2)(-10)+(+2)；(3)(-8)+(+8)；(4)0+(-7)

知識點二：有理數加法運算律

根本知識：有理數加法運算律

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

【典型例題】

例1計算：

(1)(+26)+(-14)+(-16)+(+18)；

⑵4.1+嗎)+廿)+(-10.1)+7

知識點三：有理數的減法運算

根本知識：有理數的減法法那么

減去一個數，等于加上這個數的相反數。

具體步驟：①將減號變成加號，把減數的相反數變成加數;

②按照加法運算的步驟運算。

【典型例題】

例1計算：

(1)(-1.25)-(+3；)；(2)-75-35

例2計算：

(1)(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+3；(2)-5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3)

【經典真題】

例1(南通)-6+9=等于()

A.-15B.+15C.-3D+3

例2(重慶)計算：|-3|+(2-3)+(-1)

例3(杭州)如果。+〃=0,那么。，〃兩個實數一定是

A.都等于0B.一正一負C.互為相反數D.互為倒數

2.6有理數的乘法與除法

知識點一：有理數的乘法

根本知識：有理數的乘法法那么

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數與。相乘都得0.

多個有理數相乘符號確實定

幾個不等于0的數桿乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負；當

負因數有偶數個時，積為正。

【典型例題】

例I計算：⑴-20X3；⑵(-號)X(-11)；(3)(-2010J)X0

例2計算：⑴3X(-4)；(2)(-6)X(-3.5);⑶@2X(3弓)；⑷OX2)X3.

JIJJ

知識點二：有理數的乘法運算律

根本知識：有理數的乘法運算律

(1)交換律：aXb=bXa

(2)結合律:(aXb)Xc=aX(bXc)

(3)分配律；aX(bIc)=aXb?aXb

【典型例題】

例I計算：

(1)1x|X得)X35；(2)(1-T+z)X(-24)

JJ/Oo

例2計算：

1?2I

(1)30X(5q+3);(2)(-10)X(-T)X(-0.1)X(-6)

知識點三：倒數的概念

根本知識：倒數的定義

乘積為1的兩個數互為倒數，其中一個稱為另一個數的倒數。假設a、b互為倒數，那么a

Xb=l；假設aXb=l,那么a、b互為倒數。

負倒數的定義

乘積為-1的兩個數互為負倒數。

【典型例題】

例1求以下各數的倒數

32

(1)-2010；(2)-；(3)-0.2；(4)4-.

例2』的倒數是()。

A.-3B.3C.1D.4

JJ

知識點四：有理數的除法

根本知識：有理數的除法法那么

法那么一：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。即：a+b=axg(bKO)。

法那么二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數都得0.

有理數乘除混合運算

有理數的乘除混合運算往往先將除法轉化為乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

例1計算：

4113

(1)(?3石)；(2)(-2.25)4-1-+(石).

例2計算：

(1)(-144)+(-24)；⑵企+(+1)

【經典真題】

例1(鎮江)(-2)X(-3)=。

例21無錫)如83,0是原點,實政a.6、c在數"上對應的點分別為A.B、C,就下則結論依課的是…

........................................................................................................................................(

A.a-6>0B.a6<0C.a+6<0D.6(a—r)>0星~~"0’?

(?ISJW>

5

例3(山東)鼻的倒數是。

例4(新疆)M=。

2.7有理數的乘方

知識點一：有理數的乘方

根本知識：一般地，a-a-a......a(n個a),記作a印讀作“a的n次方”。求相同因數的積的運算

叫做乘方。乘方運算的結果叫做冢。在an中，a叫做底數，n叫做指數。a11看做是a的n次

方的結果時，也讀作a的n次幕

乘方運算的符號法那么

由有理數的乘法運算可知：

(1)正數的任何次幕都是正數；

(2)負數的奇次品是負數，負數的偶次第是正數：

⑶0的任何非0次籍都是0。

【典型例題】

例1填空：

(1)(-4)J讀作，底數是,指數是0

(2)讀作,底數是,指數是o

例2計算：

99

⑴(-4)2；⑵-42；(3)(-T)3；(4)-T3

0O

知識點二：科學記數法

根本知識：科學記數法的定義：一般地，一個大小10的數可以寫成aXIOn的形式，其中iWaVlO,n

是正整數。這種記數法稱為科學記數法。

【典型例題】

例1用科學記數法表示以下各數

(1)38400；(2)-473.1：(3)0.49X104

例2假設一個數用科學記數法表示為4.58X10」，那么原數的整數位數有位。

【經典真題】

無錫近5年，此考點難度低，3分左右，尤其是科學計數法考點，每年必考。

真題1.(2010年無錫)

上海世博會“中國館”的展館面積為15800〃》,這個數據用科學記數法可表示為.

真題2.(2011年無錫)

1.計算：我:▲.

2.我市去年約有50000人參加中考，這個數據用科學記數法可表示為A人.

真題3.(2012年無錫)

1.計算：值=▲.

22011年，我國汽車銷量超過了12500000輛,這個數據用科學記數法可表示為_A_人.

真題4.（2013年無錫）

去年，中央財政安排資金8200000000元，免除城市義務教育學生學雜費，支持進城務工人員隨遷子女

公平接受義務教育，這個數據用科學記數法可表示為▲元.

真題5.（2014年無錫）

據國網江蘇電力公司分析，我省預計今夏統調最高用電負荷將到達8600（）000千瓦，這個數據用科學記

數法可表示為▲千瓦

2.8有理數的混合運算

知識點一：有理數的混合運算

根本知識：有理數的混合運算的順序

先乘方，再乘除，最后加減，如果有括號，先進行括號內的運算。

【典型例題】

例1計算：

（I）1j4-（-4+弓）X忌）；（2）[1-（l-0.5x1）]X[2-（-3）2]

例2

3—7

，K-x

^-—X

uz

?52

-12

【經典真題】

無錫近5年，此考點難度低，4分左右，多出現在簡答題第一題，但每年必考1學生需要熟練掌握這一

考點，絕不能丟分。

真題1.（2010年無錫）

計算：（-3）2-I-ii+（1）-,

真題2.（2011年無錫）

計算：（_1）2_府+（_2）°

真題3.（2012年無錫）

計算：（-2）2-哈+（-3）°

真題4.（2013年無錫）

計算：79-（-2）2+（-0.1）°；

真題5.（2014年無錫）

2

（V3）-|-2|+（-2）°

第三章代數式

本章知識要點：列代數式是本章的一個重點。運用代數的方法解決問題，關鍵是把問題中

的數量關系用代數式表示出來，列代數式的實質是把文字語言轉化成代數語言，涉及文字

語言中的詞語與數學中的一些運算、符號關系，涉及語言表達中所表達的運算順序問題。

學習列代數式的關鍵在于通過具體問題由淺入深地弄清問題中的根本數量關系，進行根本

數量關系的語言表述與代數式表示之間的互化。合并同類項是整式加減的根底，而旦在后

繼的學習中，它也是根本的思想方法，因此合并同類項又是一個難點。它的學習關鍵是準

確掌握判別同類項的兩條標準及合并的方法。去括號涉及去括號前后各項符號的變化即什

么時候變，什么時候不變等問題，容易發生遺漏，或以偏代全，不能真確理解“各項”含

義，因而也是學習的難點，對于去括號法那么，關鍵是把括號前面的符號看成統一體，不

能拆開。

3.1字母表示數

知識點一：字母表示數及數量關系

根本知識：用字母表示數

用含有字母的式子來表示數量之間的關系，也就是用字母表示數，用字母表示數后，數量之

間的關系更加簡明，更具普遍性。

【典型例題】

例1填空：

(1)比m大10的數為;

(2)溫度由30℃下降t℃后是二

(3)產量由akg增長了10%,就到達kg；

(4)食堂有燥p噸，假設每天燒q噸，那么共可燒天。

例2(1)我們知道：23=2X10+3：325=3X102+2X10+5；類似地，1583=X103+X

102+X10+；

(2)假設某三位數的個位數字為a,十位數字為b,百位數字為c,那么此三位數可表示

為。

【經典真題】

例1(西寧)回收廢紙用于造紙可以節約木材。根據專家估計，每回收11廢紙可以節約3小木材，那

么回收at廢紙可以節約木材。

例2(南通)一個籃球需要m元，買一個排球需要n元，那么買3個籃球和5個排球共需要元。

3.2代數式

知識點一：代數式

根本知識：代數式的概念

用運算符號(加、減、乘、除、乘方)把數和表示數的字母連接而成的式子稱為代數式，單

獨一個或一個字母也是代數式。

代數式的書寫

(1)當數字與字母相乘時，乘號通常省略不寫或簡寫為并且數字在前，字母在后，假設數字

是帶分數，要化為假分數。

(2)字母與字母相乘時,乘號通常省略不寫或簡寫為

(3)除法運算通常寫成分數的形式。

【典型例題】

例1指出哪些是代數式，哪些不是代數式。

(1)m-3；(2)m2+3m;(3)m+1^0：(4)S=nr2；(5)x>-4；(6)0。

例2以下各式：①3Ta；②(a+b)-rc；③x、y；④號；⑤aXb+c；?axy3o其中符合書寫標準的

個數為()。

A.1B.2C.3D.4

知識點二：單項式、多項式、整式

根本知識：單項式、多項式、整式

(1)單項式、多項式和整式的概念

由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。

幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。

單項式和多項式統稱為整式，整式是代數式的一個組成局部。

(2)單項式、多項式的次數與單項式、多項式的系數

單項式中所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。

單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。

多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。多項式的各項的系數應包括數字前

的符號。

【典型例題】

例1以卜.代數式中，哪些是單項式？哪些是多項式？如果是單項式，指出它們的系數；如果是多項式,

指出它的每一項。

(1)(2)x2-y2；(3)-Jx：(4)痛-3m+2；⑸n

例2以下說法正確的選項是()

A.0、b、，都是整式

X

B.單項式a沒有系數

C.沒有加減運算的代數式是單項式

D.x?-2xy-y,是由x\-2xy%-y’三項組成。

知識點三：列代數式及代數式的實際意義

根本知識：列代數式的方法及代數式的實際意義

(1)列代數式：把實際問題中與數量有關的詞語用代數式表示出來就是列代數式。列代數式的關

鍵是抽象出實際問題中的數量關系。

(2)代數式的實際意義：表示代數式的意義時，實際問題中的字母和數要有實際意義，且符合實

際，其中的運算要能準確簡明地說明運算順序。

【典型例題】

例1用代數式表示：

（1）X的平方與y的和的一半；

（2）a加上b的和與-2的積

（3）x與y兩數和的平方；

（4）x、y的平方和。

例3某公園的門票價格為成人10元，學生5元。

（1）一個旅游團有成人x人，學生y人，那么該團應付門票多少元？

（2）如該團成人為37人，學生15人，應付門票多少元？

【經典真題】

例1（三明）列代數式；比m小3的數是。

例2（鎮江）用代數式表示“a的3倍與b的差的平方”，正確的選項是（）

A.（3a-b）2B.3（a-b）2C.3a-b2D.（a-3b）2

例3（臺州）某超市進了一批商品，每件進價為a元，假設要獲利25%,那么每件商品的零售價應定為

A.25%aB.（1-25%）aC.（1+25%）aD.—

1T乙。加

3.3代數式的值

知識點一：代數式的值

根本知識：代數式的俏

（1）根據問題的需要，用具體的數值代替代數式中的字母，按照代數式中的運算關系計算，所

得的結果是代數式的值。

（2）代數式中的字母在取值時必須保證：①取值后代數式有意義；②取值的字母自身所表示的

數量關系有意義。

求代數式的值

（1）求代數式的值的步驟：

①用具體的數值代替代數式中的字母，簡稱“代入”；

②按照代數式指明的運算順序計算出結果，簡稱“計算”。

【典型例題】

例1當x=-5時，求代數式-；x'+5x+12的值。

例2當W=2,求代數式空彩益的值.

【經典真題】

例1［連云港）當x=T時，代數式x?+2x+l的值是（）

A._2B.TC.0D.4

例2（鎮江）a平方的2倍與3的差,用代數式表示為;當a=-l時,此代數式的值為。

例3（無錫）在有理數的原有運算法那么中我么補充定義新運算“十”如下：

當a2b時，a?b=b2；當a<b時，a?b=a.

那么當x=2時，（1+十）-x-（3十x）的值為（“?"和"一"仍為實數運算中的乘號和減號）。

3.4合并同類項

知識點一：同類項

根本知識：同類項的概念

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項是同類項。

（1）同類項必須同時具備兩個條件：①所含字母相同，②相同字母的指數分別相同。

（2）同類項與系數無關，與字母排列順序也無關。

(3)幾個常數項也是同類項。

(4)一個項的同類項有無數個，它本身也是它的同類項。

【典型例題】

以下各組中的兩項是不是同類項？

(l)x?y和3xy；⑵8和-7；(3)1xV和3yM；(4)和nl

J

知識點二：合并同類項

根本知識：合并同類項

(1)概念：根據乘法對加法的分配律把同類項合并成?項叫做合并同類項。

(2)合并同類項法那么；同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。

(3)合并同類項的步驟：

①找出同類項，可用不同的記號標出同類項；

②利用法那么，把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變；

③寫出合并后的結果。

【典型例題】

例1合并同類項。

⑴)X2-^-XWX2

246

(2)6x2y+2xy-8x2y?-4y-5xy+2yS:2-6x2y

(3)-3a11H+5a"+3a'"1-7a--4

例2以下合并同類項正確的選項是()

A.8a-3a=5B.7aJ+2a3=9aJC.3ab"-2aJb=ab2D.3a"b-2baJ=a-b

【經典真題】

例1(淮安)假設［和2abf是同類項，那么x-y2006的值為()

O

A.1B.-3C.-lD.0

例2(山東)七年級(9)班個給“希望工程”捐款x兀，七年級⑴班比(9J班多10兀，七年級(8)

班捐的錢是(9)班的2倍少30元，這三個班共捐款元。

例3(海南)求代數式的值：2x2-5xy+2y2-x2-xy-2y2-3x2+5,x=-l,y=-^

3.5去括號

根本知識：去括號

(1)去括號的意義：在有理數運算中，有括號時，通常是先算括號內的，然后去掉括號；而在代

數式的運算中遇到括號時，卻往往無法先進行括號內的運算或先算括號內的相對復雜，因而

要先去掉括號，才能使運算得以順利進行。

(2)去括號法那么：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號都

不改變：括號前面的是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項的符號都要改

變。

【典型例題】

例1去括號：(1)a+(b-c-d)；(2)a-(b+c-d)

3.6整式的加減

根本知識：整式的加減

整式加減的實質是合并同類項，整式加減的一般步驟是：

(1)如果有括號，那么先去括號

(2)如果有同類項，再合并同類項。

【典型例題】

例1先去括號，再合并同類項：

(1)3x-(2x-3y)+(-5y+l)；(2)5a-3(2a2-l)+2(a+3)；(3)x-(-x+[2x-(-x)]}

【經典真題】

本章是初中數學的根底，考題多為根底題，分值6分左右。

真題1.(2010年無錫)

1.以下運算正確的選項是(▲)

A.(?3)2=a'B.ay\a1=a5C.(煤'域)：a=a~D.a3：a3=1

2.分解因式：4。2-1=▲

a2-2a+\

3.計算:(〃一2).

a-\

真題2.(20U年無錫)

1.分解囚式2x2—4x+2的最終結果是(▲)

A.2x(x-2)B.2(x2-2x+l)C.2(x-i)2D.(2x~2)2

2.計算:a(a-3)+(2-a)(2+a)

真題3.(2012年無錫)

1.分解因式(%-1)2-2(A-1)+1的結果是()

A.(x-1)(x-2)B.x1

C.(x+l)2D.[%-2)2

2.計算：3(X2+2)-3(x+1)(J-I)

真題4.(2013年無錫)

1.分解因式：2x2—4.r=.

2.計算：(x+l)2—(x+2)(x—2)

真題5.(2014年無錫)

1.分式，一可變形為()

2-x

A._2_B..2C.2D.2

詬汨7^T31

2.計算：(x+1)(x-1)-(x-2)2

第四章一元一次方程

本章知識要點：本章的難點是建立方程模型，解決實際應用問題。熟練地解一元一次方程,

關鍵在于正確地了解方程、方程的解的意義和運用等式的兩個性質。而正確地列出方程，

關鍵在丁正確分析實際問題中的數、未知數，并找出能夠表示實際問題全部含義的一個相

等關系。在經歷建立方程模型解決實際問題的過程中提高分析問題和解決問題的能力，并

體會數學的應用價值。

4.1從問題到方程

知識點一：方程及一元一次方程

根本知識：方程及一元一次方程的概念

含有未知數的等式叫做方程。假設一個程的兩邊都是整式，只含有一個未知數，且含有未知數

的次數為1,那么這個方程叫做一元一次方程。

【典型例題】

例1以下等式是一元一次方程的是（）

12

A.3x+2y+lB.y+-y=8C.m+n=41）.3x=2

知識點二：列一元一次方程

根本知識：根據題意列方程的步驟

（1）審題：分析題目中的量和所求量；

（2）設元所求的量即為所設未知數（直接設法）

（3）確定等量關系：用含未知數的代數式將等量關系中的各量表達出來（列方程）。

【典型例題】

例1根據條件“x與3的和的2倍是18"列方程為o

例2某工廠今年五月份生產電視機2050臺，這比去年五月份產量的2倍還多150臺，這家工廠去年五

月份生產電視機多少臺?用方程描述問題中的等量關系。

【經典真題】

例1（湘潭）某市在端午節準備舉行劃龍舟大賽，預計15個隊共330人參加。每個隊一條船，每條船

上認數相等，且每條船上有1人擊鼓，1人掌舵，其余的人同時劃槳。設每條船上劃槳的有x人，那么

可列出一元一次方程為。

例2（宜賓）小明準備為希望工程捐款，他現在有20元，后每月打算存10元，假設設x月后他能捐

出100元，那么以下方程中能正確計算出x的是（）

A.10x4-20=100B.10x-20=100

C.20-10x=100D.20x+10=100

例3（白銀）某商店銷售一批服裝，每件售價150元，打8折出售后，仍可獲利20元，設這種服

裝的本錢價為每件x元，那么x滿足的方程是。

4.2解一元一次方程

知識點一：方程的解與解方程

根本知識：方程的解與解方程

（1）方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，有時也叫做方程的根。

（2）解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

檢驗方程的解

判斷一個數值是否是方程的解，主要將這個數值分別代入方程左右兩邊的代數式中，能使兩

邊分別相等的那個未知數的值，才是方程的解。

【典型例題】

例1以下以2為解的方程式（）

A.x+3=6B.；x+4=0C.2x-4=x-2D.；x+5=5

J/

知識點二：等式的根本性質

根本知識：等式的根本性質

性質一：等式兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。

性質一：等式兩邊同時乘(或除以)同一個不等于0的數，所得結果仍是等式。

【典型例題】

例1在以下方程中，變形正確的為()

①有3x+6=0變形，得x+2=0；②由5-3x-x=7變形，得-2x=2；

3

③由]x=2變形，3x=14；④由4x=-2變形，得x=-2

A.①③B.①②③C.③④D.?@?

知識點三移項

根本知識：移項的概念

移項的概念：方城中某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移

項。

【典型例題】

例1以下方程是由3x=4xT移項變形得到的，其中正確的選項是()

①3xT=4x；②3x-4x=l；③3x-4x=T；?4x=3x-l.

A.0個B.1個C.2個D.3個

例2方程4x+6=3x-8移項后，正確的選項是()

A.4x+3x=6-8B.4x-3x=-8+6C.4x-3x=-8-6D.4x-3x=8-6

知識點四：解一元一次方程

根本知識：解一元一次方程的一般步驟

解一元一次方程的根本思路是通過對方程變形，把含有未知數的項移到方程的一邊，常數項

移到方程的另一邊，最終把方程轉化為“x=a”的形式。

解一元一次方程的一般步驟

變形名稱具體做法變形依據

去分母方程兩邊同乘各分母的最小公倍數等式性質2

去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號去括號法那么、乘法分

配律

移項將含未知數的項移到方程一邊，常數項移到另一邊等式性質1

合并同類化方程ax=b(aW0)的形式合并同類項法那么

項

系數化為方程兩邊同時除以未知數的系數a,得方程的解為等式性質2

1b

x=~

a

【典型例題】

例1解以下方程:

?、3Cc1c」0?2X+0.50.03+0.02

⑴[x+2=3—x；(2)4(x+0.5)+x=17；(3)—---------―

例2假設y(=3x+4,y2=-5x+6

(l)x取何值時，山與yz相等？

(2)x取何值時，力與y?互為相反數？

【經典真題】

例1(上海)如果x=2是方程Jx+a=-l的根，那么a的值是()

A.OB.2C.-2D.-6

例2(重慶)方程2x-6R的解為o

例R1自貢)方程網+6=0的解的相反數是()

A.2B.-2C.SD.-3

4.3用方程解決問題

知識點一：列方程解決實際問題

根本知識：列方程解決實際問題的步驟

(1)審：審清題意，明確量、未知量各是什么，確定等量關系；

(2)設：設出未知數，可以直接設元，也可以間接設元；

(3)歹U：根據等量關系，用含未知數的代數式、數將各量表示出來，得到方程；

(4)解：求出所列方程的解；

(5)驗：檢驗所求未知數的值是否符合方程及實際問題，并寫出答案；

(6)答；答復所提出的問題。

【典型例題】

例1某張月歷上豎列中相鄰的三個數的和是54,那么月歷中該列的第一個數是。

例2某種商品按原價的8折出售仍可獲利20樂假設按原價已售，那么可獲利()。

A.30%B.40%C.50%D.60%

【經典真題】

本章是第一次接觸方程，難度雖然低，但對于后面學習一次函數，二元一次方程組非常重要，利用方程

解決問題是中考常考的題型，本考點往往不會單獨出題。

例1(佳木斯)如圖，某商場正在熱銷2008年北京奧運會的紀念品，小華買了一盒福娃和一枚奧運徽章,

一盒福娃的價格比一枚奧運徽章的價格貴120元，那么一盒福娃價格是元。

例2(北京)京津城際鐵路于2008年8月1日開通運營，預計高速列車在北京，天津間單程直達運行

肘間為0.5h。某次試車時，試驗列車由北京到天津的行駛時間比預計時間多用了6min,由天津返回北

京的行駛時間與預計的時間相同。如果這次試車時，由天津返【可北京比去天津時平均每小時行駛40km,

那么這次試車時由北京到天津的平均速度是多少？

第五章走進圖形世界

本章知識要點：本章的重點是認識幾何圖形，掌握組成幾何圖形的根本要素點、線、面，

能從不同的角度畫出幾何的平面圖形，難點是畫幾何體圖形及利用幾何體的平面圖形認識

幾何體。主要是提高學生的觀察、操作、想象、交流能力，以及開展空間觀念。因此，學

習時應要求學生主動參與數學活動，經歷觀察、操作、想象、交流、反思等過程，善于從

現實世界中“發現”圖形，學會與同伴合作交流。分類、比照和轉化是本章主要的數學思

維方法。

5.1豐富的圖形世界

知識點一：生活中的幾何體

根本知識：生活中常見的幾何體

生活中常見的幾何體如圖：

圓柱圓錐正方體長方體棱柱球棱錐

【典型例題】

例1將以卜物體與相應的幾何體用線連接起來：

足球魔方金字塔字典

棱錐正方體球長方體

例2在六角螺母、地球儀、足球、書本、熱水瓶膽中，形狀類似于棱柱的個數為()

A.0B.1C.2D.3

知識點二：幾何圖形的根本要索

根本知識：幾何圖形的根本要素

點、線、面是幾何圖形的根本要素。

(1)面：分為平面與曲面。

(2)線：面與面相交得到線，線有直的也有曲的。

(3)點：線與線相交得到點。

【典型例題】

例1以下說法中錯誤的選項是()

A.直線沒有寬度和氏度

B.平面沒有厚度和面積

C.直線和平面相交只能得到一個點

D.而包括平面和曲面，線包括直線和曲線

5.2圖形的運動

知識點一：圖形的運動

根本知識：圖形運動的方式

(1)平移:在平面內，將某一個平面圖形沿著一定的方向移動，這種圖形的平行移動簡稱為平移.

平移后的圖形與原怪形的形狀、大小完全相同，平移有方向和距離。

(2)旋轉：將一個圖形繞一個定點(或定直線)沿著某個方向(順時針或逆時針)轉動一定的角

度，這樣的圖形運動叫做旋轉。

(3)翻折：將平面內的一個圖形沿著某條直線對折，得到一個與原圖形完全相同的圖形，這一

圖形的變化過程叫做翻折。

點、線、面之間的關系

點動成線，線動成面，面動成體。

【典型例題】

例1如圖，虛線左邊的圖形繞虛線旋轉一周，能形成的幾何體是()

例2如圖，把第一排中的平面圖形繞虛線旋轉一周,能形成第二排中的某幾個圖形，請把兩排中的對

應的圖形分別用線連接起來.

ABCD

【經典真題】

例1（鹽城）將下面的直角梯形繞直線1旋轉一周，可以得到右邊立體圖形的是)

例2（鹽城）如下圖，把一個正方形對折兩次后沿虛線剪下，展開后所得的圖形是（）

右折沿虛線剪開展開

ABCD

例3（貴陽）。如圖,正方形ABCD的邊長為4cm,那么圖口陰影局部的面積為cm'。

例4「南京）如圖，菱形ABCD（圖1）與菱形EFGH（圖2）的形狀、大

小完全相同。

請從以卜序號中選擇正確的序號填寫:

①點E,F,G,H：

②點G,F,E,H；

③點E,H.G.F：

④點G,H,E,Fo

圖1圖2

如果圖1經過一次平移后得到醫2,那么點A,B,C,D對應點分別是；

如果圖1經過一次軸對稱后得到圖2,那么點A,B,C,D對應點分別是

如果圖1經過一次旋轉后得到圖2,那么點A,B,C,D對應點分別是；

5.3展開與折疊

知識點一：正方體的展開與折疊

根本知識：正方體的展開與折直

把正方體的外表展開形成平面圖形，有很多種形狀。如果將經過平移、旋轉、翻折可以重合

的兩個圖形看成是同一圖形，那么正方體的展開圖有11種。

我們可以將這11種圖形分類。

第一類：有4個正方?形在一條線上時，其余2個正方形在這條直線的兩惻的任意位置，這樣

圖形可稱為“一四一”型如圖（1）-16）。

第二類：有3個正方形在一條線上，且有2個位置固定，剩余1個正方形在這條線的另一側

3個位置中任意一個，’立置上，這樣的圖形可稱為“二三一”型，如圖（7）-（9）.

第三類：“三三”型如圖（10）和“二二二”型如圖（11）。

(I)(2)(3)

(4)(5)(6)

(10)(ID

【典型例題】

例1以下選項中的圖形不是正方體的平面展開圖的是（）

ABCD

知識點二：棱柱與棱錐的展開與折疊

根本知識：棱柱與棱錐的展開與折疊

（1）棱柱的底面是兩個形狀相同的多邊形（可以是正多邊形,也可以不是正多邊形）側面都是長

方形，并且長方形的一邊（側棱）都相等，是六棱柱的一種展開圖。

（2）棱錐的側面展開圖的側面都是三角形，這些三角形的公共點就是棱錐的頂點，底面是一個

多邊形，它的棱數與側面積、底面的變數相等。如圖是四棱錐的一種展開圖。

棱柱和楂錐的側面與底面邊長的關系

棱柱的側面都是長方形，并且長方形的一組對邊的長度都相等，另一組對邊的長與底面的

邊長對應相等；棱錐的側面都是三角形，三角形的公共點就是棱錐的頂點，這個公共點所對

的各邊與底面的邊長對應相等。

【典型例題】

例1以下圖形是正三棱柱的側面展開圖的是（）

知識點三：圓柱與圓錐的展開與折疊

根本知識：圓柱與圓錐的展開與折疊

通過實踐操作可知，圓柱的展開圖：上、下底面為兩個圓，側面為一個長方形，長方形的長

是圓柱的底面周長，寬是圓柱的高。圓錐的展開圖：底面是一個面，側面展開圖是一個扇形,

它的弧長等于底面圓的周長，如圖。

/—

【典型例題】

例1假設一個圓柱的底面半徑是4cm,高是6cm,用紙圍成這個圓柱的側面，至少需多大面積的長方形

紙（結果保存無）。

【經典真題】

例1（西寧）將圖I可以折成一個正方體形狀的盒子，折好后與“迎”字相對的字是。

例21啟東)給出兩個等邊三角