第三章一元一次方程

3.1從算式到方程

§一元一次方程〔一〕

教學目標：

知識與技能：

通過處理實際問題，讓學生體驗從算術方法到代數方法是一種進步；

過程與方法：

初步學會如何尋找問題中的相等關系，列出方程，了解方程的概念；

情感、態度、價值觀：

培養學生獲取信息，分析問題，處理問題的能力。

教學重點：從實際問題中尋找相等關系

教學難點：從實際問題中尋找相等關系

教學過程：

一、情境引入

提出教科收第78頁的問題，并用多媒體直觀演示，同進出現以下圖:

5肝米70千米

II-II

王家莊青山翠湖秀水

10：0013：0015：00

問題1：從上圖中你能獲得哪些信息？〔可以提示學生從時間、路程、速度、四地的排

列順序等方面去考慮。〕

可以在學生答復的根底上做回憶小結

問題2：你會用算術方法求出王家莊到翠湖的距離嗎?

教師可以在學生答復的根底上做回憶小結：

1、問題涉及的三個根本物理量及其關系；

2、從知的信息中可以求出汽車的速度；

3、從路程的角度可以列出不同的算式：

50+7050+70

x(15-10)-7()=230x(13-10)+50=230

15-1315-13

問題3：能否用方程的知識來解決這個問題呢？

二、學習新知

1、引導學生設未知數，并用含未知數的字母表示有關的數量.

如果設王家莊到翠湖的路程為x千米，那么王家莊距青山千米，王家莊距秀水

千米.

2、引導學生尋找相等關系，列出方程.

問題1:題目中的“汽車勻速行駛”是什么意思？

問題2:汽車在王家莊至青山這段路上行駛的速度該怎樣表示？你能表示其他各段路程

的車速嗎？

問題3：根據車速相等，你能列出方程嗎？

根據學生的答復情況進行分析，如：

依據“王家莊至青山路段的車速二王家莊至秀水路段的車速”可列方程：

x-50X4-70

35

依據“王家莊至青山路段的車速二青山至秀水路段的車速”

工口x-5050+70

可列方程：——=——

32

3、給出方程的概念，介紹等式、等式的左邊、等式的右邊等概念.

4、歸納列方程解決實際問題的兩個步驟：

(1)用字母表示問題中的未知數(通常用x,y,z等字母)；

(2)根據問題中的相等關系，列出方程.

三、舉一反三，討論交流

1、比擬列算式和列方程兩種方法的特點.

列算式：只用數，表示計算程序，依據是問題中的數量關系；

列方程：可用未知數，表示相等關系，依據是問題中的等量關系。

2、思考：對于上面的問題，你還能列出其他方程嗎？如果能，你依據的是哪個相等關系？

如果直接設元，還可列方程：史辿=60

5

如果設王家莊到青山的路程為x千米，那么可以列方程：2=6()二=讓國

335

說明：要求出王家莊到翠湖的路程，只要解出方程中的x疝可，我們在以后幾節課中

再來學習.

四、初步應用

1、例題(補充)：根據以下條件，列出關于x的方程：

(l)x與18的和等于54；

(2)27與x的差的一半等于x的4倍.

本例題可以先讓學生嘗試解答，然后教師點評.

解：(1)x4-18=54；

(2)-(27-x)=4x.

2

2、練習(補充)：

(1)列式表示：

①比a小9的數；②x的2倍與3的和；

③5與y的差的一半；④a與b的7倍的和.

(2)根據以下條件，列出關于x的方程：

(1)12與x的差等于x的2倍；

(2)x的三分之一與5的和等于6.

王、課堂小結

1、本節課我們學了什么知識？

2、你有什么收獲？

說明方程解決許多實際問題的工具。

六、作業設計

課本P84~85：1、5

§3.1.1一元一次方程(二)

教學目標：

1.理解一元一次方程、方程的解等概念；

2.掌握檢驗某個值是不是方程的解的方法；

3.培養學生根據問題尋找相等關系、根據相等關系列出方程的能力；

4.體驗用估算方法尋求方程的解的過程，培養學生求實的態度。

教學重點：尋找相等關系、列出方程.

教學難點：對于復雜一點的方程，用估算的方法尋求方程的解，需要屢次的嘗試，也需要

一定的估計能力

教學過程：

一、情境引入

問題：小雨、小思的年齡和是25.小雨年齡的2倍比小思的年齡大8歲，小雨、小思的

年齡各是幾歲？

如果設小雨的年齡為x歲，你能用不同的方法表示小思的年齡嗎？

學生答復，教師加以引導：小思的年齡可以用兩個不同的式子25-x和2x-8來表示，

這說明許多實際問題中的數量關系可以用含字母的式子來表示.

由于這兩個不同的式子表示的是同一個量，因此我們又可以寫成：25-x=2x-8.這樣就

得到了一個方程.

二、自主嘗試

1.嘗試：

讓學生嘗試解答課本第67頁的例1。對于根底比擬差的學生，教師可以作如下提示：

(1)選擇一個未知數，設為X,

(2)對于這三個問題，分別考慮：

用含x的式子表示這臺計算機的檢修時間；

用含x的式子分別表示長方形的長和寬；

用含x的式子分別表示男生和女生的人數.

(3)找一個問題中的相等關系列出方程.

2.交流：

在學生根本完成解答的根底上，請幾名學生匯報所列的方程，并解釋方程等號左右兩

邊式子的含義.

3.教師在學生答復的根底上作補充講解，并強調：

(1)方程等號兩邊表示的是同一個量；

(2)左右兩邊表示的方法不同.

4討論:

問題1：在第(1)題中，你還能用兩種不同的方法來表示另一個量，再列出方程嗎？

讓學生在學習小組內討論，然后分組匯報交流：

選“已使用的時間”可列方程：2450-150x=1700.

選“還可使用的時間”可列方程：150x=2450-1700.

問題2：在第⑶題中，你還能設其他的未知數為x嗎？

在學生獨立思考、小組討論的根底上交流：

設這個學校的男生數為x,那么女生數為(x+80),全校的學生數為(x+x+80).

列方程：x+80=52%(x+x+80).

三、建立概念

1.概念的建立.

§3.1.2等式的性質(一)

教學目標：

1.了解等式的兩條性質；

2.會用等式的性質解簡單的(用等式的一條性質)一元一次方程；

3.培養學生觀察、分析、概括及邏輯思維能力；

4.滲透“化歸”的思想.

教學重點：理解和應用等式的性質

教學難點：應用等式的性質把簡單的一元一次方程化成“x二a”

教學過程：

一、提出問題

用估算的方法我們可以求出簡單的一元一次方程的解.你能用這種方法求出以下方程

的解嗎？

(1)3x-5=22；(2)0.28-0.13y=0.27y+l.

第(1)題要求學生給出解答，第(2)題較復雜，估算比擬困難，此時教師提出：我們必須學

習解一元一次方程的其他方法.

二、探究新知

1.實驗演示：

教師先提出實驗的要求：請同學們仔細觀察實驗的過程，思考能否從中發現規律，再

用自己的語言表達你發現的規律.然后按課本第71頁圖2.1-2的方法演示實驗.

教師可以進行兩次不同物體的實驗.

2.歸納：

請幾名學生答復前面的問題.

在學生表達發現的規律后，教師進一步引導：等式就像平衡的天平，它具有與上面的事實

同樣的性色.比方“8=8”，我們在兩邊都加上6,就有—.

3.表不：

問題1：你能用文字來表達等式的這個性質嗎？

在學生答復的根底上，教師必須說明：等式兩邊加上的可以是同一個數，也可以是同

一個式子.

問題2：等式一般可以用a二b來表示.等式的性質1怎樣用式子的形式來表示？

如果a=b,那么a±c=b±c

字母a、b、c可以表示具體的數，也可以表示一個式子。

4.觀察課本P71圖2.1—3,你又能發現什么規律？你能用實驗加以驗證嗎？

在學生觀察圖2.1—3時，必須注意圖上兩個方向的箭頭所表示的含義.觀察后再請一

名學生用實驗驗證.

然后讓學生用兩種語言表示等式的性質2.

如果a=b,那么ac=bc

如果a=b(cWO),那么3=2

cc

三、應用舉例

方程是含有未知數的等式，我們可以運用等式的性質來解方程。

例1課本第72頁例2中的第(1k(2)題.

分析：所謂“解方程”，就是要求出方程的解“X二？因此我們需要把方程轉化為“X=a(a

為常數)”形式。

問題1：怎樣才能把方程x+7=26轉化為x=a的形式？

學生答復，教師板書：

解：⑴兩邊減7,得、

x+7-7=26-7,

x=19.T

問題2：式子“一5x”表示什么？我們把其中的一5叫做這個式子的系數.你能運用等

式的性質把方程-5x=20轉化為x=a的形式嗎？

用同樣的方法給出方程的解.

小結：請你歸納一下解一元一次方程的依據和結果的形式.

例2(補充)小涵的媽媽從商店買回一條褲子，小涵問媽媽：“這條褲子需要多少錢？”

媽媽說：“按標價的八折是36元.”你知道標價是多少元嗎？

要求學生嘗試用列方程的方法進行解答.在學生根本完成的情況下，教師給出示范.

解：設標價是x元，那么售價就是80%x元，根據售價是36元

可列方程：

80%x=36,

兩邊同除以80%,得

x=45.

答：這條褲子的標價是45元.

四、課堂練習

1.分別說出以下各式子的系數

。r31

3x,—7m,—y,a>—x,——n

5“2

2.利用等式的性質解以下方程

(1)x-5=6(2)0.3x=45

⑶-y=0.6⑷iy=-2

3.七年級3班有18名男生，占全班人數的45隊求七年級3班的學生人數。

4.思考：你能用等式的性質解本課引入時的方程3x-5=22嗎?

五、課堂小結

讓學生進行小結，主要從以下幾個方面去歸納：

①等式的性質有那幾條？用字母怎樣表示？字母代表什么？

②解方程的依據是什么？最終必須化為什么形式？

③在字母與數字的乘積中，數字因數又叫做這個式子的系數.

六、作業設計

謖本第84頁3.1第3題

§3.1.2等式的性質（二）

教學目標：

1.進一步理解用等式的性質解簡簡單的（兩次運用等式的性質）一元一次方程

2.初步具有解方程中的化歸意識；

3.培養言必有據的思維能力和良好的思維品質.

教學重點：用等式的性質解方程

教學難點：需要兩次運用等式的性質，并且有一定的思維順序。

教學過程：

一、復習引入

解以下方程：⑴x+7=1.2;（2）-x=-

32

在學生解答后的講評中圍繞兩個問題：

（1）每一步的依據分別是什么？

（2）求方程的解就是把方程化成什么形式？

這節課繼續學習用等式的性質解一元一次方程。

二、探究新知

對于簡單的方程，我們通過觀察就能選擇用等式的哪一條性質來解，以下方程你也能馬

上做出選擇嗎？

例1利用等式的性質解方程：

（1）0.5x—x=3.4⑵--x-5=4

3

先讓學生對第（1）題進行嘗試，然后教師進行引導：

①要把方程0.5*—*=3.4轉化為尤,的形式，必須去掉方程左邊的0.5,怎么去？

②要把方程一x=2.9轉化為x=a的形式，必須去掉x前面的“一”號，怎么去？

然后給出解答：

解：（1）兩邊減0.5,得0.5—x—0.5=3.4—0.5

化簡，得

—x=-2.9,、

兩邊同乘一1,得1

x=-2.9

小結：（1）這個方程的解答中兩次運用了等式的性質（2）解方程的目標是把方程

最終化為x二a的形式，在運用性質進行變形時，始終要朝著這個目標去轉化.

你能用這種方法解第（2）題嗎？

在學生解答后再點評.

解后反思：

①第（2）題能否先在方程的兩邊同乘“一3”？

②比擬這兩種方法，你認為哪一種方法更好？為什么？

允許學生在討論后再答復.

例2（補充）服裝廠用355米布做成人服裝和兒童服裝，成人服裝每套平均用布3.5

米，兒童服裝每套平均用布1.5米.現已做了80套成人服裝，用余下的布還可以做幾套

兀童服裝?

在學生弄清題意后，教師再作分析：如果設余下的布可以做x套兒童服裝，那么這x

套服裝就需要布1.5x米,根據題意，你能列出方程嗎？

解：設余下的布可以做x套兒童服裝，那么這x套服裝就需要布1.5米，根據題意，

得

80xX3.5+1.5x=355.

化簡，得

280+1.5x=355,

兩邊減280,得

280+1.5x-280=355-280,

化簡，得

1.5x=75,

兩邊同除以1.5,得x=50.

答；用余下的布還可以做50套兒童服裝.

解后反思：對于許多實際問題，我們可以通過設未知數，列方程，解方程，以求出問

題的解.也就是把實際問題轉化為數學問題.

問題：我們如何才能判別求出的答案50是否正確？

在學生代入驗算后，教師引導學生歸納出方法：檢驗一個數值是不是某個方程的解.，

可以把這個數值代入方程，看方程左右兩邊是否相等，例如：把r50代入方程80乂3.5+

1.5x=355的左邊,得80X3.5+1.5X50=280+75=355

方程的左右兩邊相等，所以x=50是方程的解。

你能檢驗一下x=-27是不是方程--x-5=4的解嗎？

3

三、課堂練習

1課本第84幣"緝習第（41顆

2.小聰帶了A算錢到文具店買學習而品，他買了5支單價為1.2元的圓珠筆，剩下的

錢剛好可以買8本筆記本，問筆記本的單價是多少？（用列方程的方法求解）

四、課堂小結

先讓學生進行歸納、補充。主要圍繞以下幾個方面：

（1）這節課學習的內容。

（2）我有哪些收獲？

（3）我應該注意什么問題？

玉、作業設計

必做局部課本第85頁第411）、12）、（4）題

選做局部課本第85頁3.1第10題

§3.2解一元一次方程（一）

——合并同類項與移項⑴

教學目標：

知識與技能：

1.學會合并［同類項），會解"ax+bx=c”類型的一元一次方程.

2.能夠找出實際問題中的數和未知數，分析它們之間的數量關系，列出方程

過程與方法：

經歷運用方程解決實際問題的過程，體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型.

情感、態度、價值觀：

初步體會一元一次方程的應用價值，感受數學文化。

教學重點：建立方程解決實際問題，會解"ax+bx=c”類型的一元一次方程。

教學難點：分析實際問題中的量和未知量，找出相等關系，列出方程。

教學過程：

（一）設置情境、提出問題

（講述背景資料）約公元825年，中亞細亞數學家阿

爾一花拉子米寫了一本代數書，重點論述怎樣解方程.這本書的拉丁文譯本取名為《對消

與復原》.“對消”與“復原”是什么意思呢？通過下面幾節課的學習討論，相信同學們一

定能答復這個問題.

出示課本88頁問題1：某校三年共購置計算機140臺，去年購置數量是前年的2倍,

今年購置的數量又是去年的2倍。前年這個學校購置了多少臺計算機？

（二）探索分析、解決問題

引導學生回憶：

設未知數列方程

實際問題>一元一次方程

設問1：如何列方程？分哪些步驟？

師生討論分析：

①設未知數：前年購置計算機x臺

②找相等關系：

前年購置量+去年購置量+今年購置量二140臺

③列方程：x+2x+4x=140

設問2：怎樣解這個方程？如何將這個方程轉化為x二a的形式？學生觀察、思考:

根據分配律，可以把含x的項合并，即

x+2x+4x=（1+2+4）x=7x

老師板演解方程過程：〔略）

為幫助有困難的學生理解，可以在上述過程中標上箭頭和框圖。

設問3；以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根據是什么？

學生討論、答復，師生共同整理：

“合并”是一種恒等變形，它使方程變得簡單，更接近x=a的形式。

［三）例題分析、表達方法

出示課本第89頁例1

采用學生表達、教師板書的師生合作方式完成。

（四）課堂練習

學生練習課木上第89頁練習

〔五）拓廣探索、比擬分析

對于問題1還有不同的未知數的設法嗎？

學生思考答復：假設設去年購置計算機x臺，得方程

X

-+x+2x=140

2

假設設今年購置計算機x臺，得方程

XX1,八

—+—+x=140

42

（六）綜合應用、穩固提高

一個黑白足球的外表一共有32個皮塊，其中有假設千塊黑色五邊形和白色六邊形，黑、

白皮塊的數目之比為3：5,問黑色皮塊有多少？

學生思考，討論出多種解法，師生共同講評。

（七）課堂小結

提問：

1.你今天學習的解方程有哪些步驟，每一步依據是什么？

2.今天討論的問題中的相等關系有何共同特點？

學生思考后答復、整理：

1.解方程的步驟及依據分別是：合并和系數化為1

2.總量二各局部量的和。

（八）作業設計

課本P93—94頁習題3.2中1、3（1）（2）4、6

§3.2解一元一次方程(一)

——合并同類項與移項⑵

教學目標：

知識與技能：

掌握移項方法，學會解"ax+b=cx+d”類型的一元一次方程，理解解方程的目標，體

會解法中蘊涵的化歸思想.

過程與方法：

通過分析實際問題中的數量關系，建立方程解次問題，進一步認識方程模型的重要性.

情感、態度、價值觀：

體會一元一次方程的應用價值，感受數學文化。

教學重點：建立方程解決實際問題，會解"ax+b=cx+d”類型的一元一次方程。

教學難點：分析實際問題中的相等關系，列出方程。

教學過程：

(-)提出問題

出示課本89頁問題2：把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，那么剩余2()

本；如果每人分4本，那么還缺25本.這個班有多少學生？

〔二)分析問題

引導學生回憶列方程解決實際問題的根本思路.

學生討論、分析：

1、設未知數：設這個班有x名學生

2、找相等關系：

這批書的總數是一個定值，表示它的兩個等式相等.

3、列方程：3x+20=4x?25?--(1)

設問1：怎樣解這個方程？它與上節課遇到的方程有何不同？

學生討論后發現：方程的兩邊都有含x的項(3x與4x)和不含字母的常數項(20與-

25).

設問2：怎樣才能使它向x二a的形式轉化呢？

學生思考、探索：為使方程的右邊沒有含x的項，等號兩邊同減去4x,為使方程的左

邊沒有常數項，等號兩邊同減去20.

3x-4x=-25—20???(2)

設問3：以上變形依據是什么？

等式的性質lo

歸納：像上面那樣把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

師生共同完成解答過程。

設問4：以上解方程中“移項”起了什么作用？

學生討論、答復，師生共同整理：

通過移項，含未知數的項與常數項分別位于方程左右兩邊，使方程更接近于x=a的形

式。

［三）運用新知

出示課本第91頁例2

可以由學生表達教師板演，也可以讓學生嘗試給出解答，教師再進行講評。

解題后反思歸納：

（1）什么時候需要“移項”？“移項”起了什么作用？

（2）“移項”的依據是什么？“移項”應注意什么？

（四）課堂練習

學生練習課本上第91頁練習

［五）拓廣探索、比擬分析

對于問題1還有不同的未知數的設法嗎？

學生思考答復：假設設去年購置計算機x臺，得方程

-+x+2x=140

2

假設設今年購置計算機x臺，得方程

一八

-X+X-+x=140

42

（六）綜合應用、穩同提高

有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人，如果

減少一條船，正好每條船坐9人，問這個班共多少同學？

（七）課堂小結

提問：

1.今天你又學會了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步的依據是什么？

2.現在你能答復前面提到的古老的代數書中的“對消”與“復原”是什么意思嗎？

3.今天討論的問題中的相等關系又有何共同特點？

學生思考后答復、整理：

①解方程的步驟及依據分別是：

移項（等式的性質1）

合并（分配律）

系數化為1（等式的性質2）

②“對消”與“復原”就是“合并”與“移項”

③表示同一量的兩個不同式子相等。

（A）作業設計

課本第93-94頁習題3.2第2、3（3）（4）、7、8題

§3.2解一元一次方程（一）

——合并同類項與移項（3）

教學目標：

知識與技能：

1、學會探索數列中的規律，建立等量關系。

2、能正確地求解一元一次方程并判斷解的合理性

過程與方法；

經歷運用方程解決實際問題的過程，開展抽象、概括、分析和解決問題的能力。

情感、態度、價值觀：

通過學習“合并同類項”“移項”，體會到古老的代數書的“對消”和“還愿”的思想,

激發數學學習的熱情.

教學重點：探索并發現實際問題中的等量關系，并列出方程

教學難點：建立一元一次方程解決實際問題。

教學過程：

（一）創設情境、提出問題

前幾節課，我們討論了用一元一次方程解決一些實際問題，其實許多數列、游戲活動中

也蘊含著方程知識。出示課本79頁例1：有一列數，按一定規律排列成1,-3,9,—27,

81,-243……其中某三個相鄰數的和是一1701,這三個數各是多少？

（二）探索分析、解決問題

引導學生觀察這列數有什么規律？

（從符號和絕對值兩方面）

學生討論后發現：后面一個數是前一個數的一3倍。

師生共同分析，完成解答過程：

解：設這三個相鄰數中的第一個數為x,那么第2個數為一3x,第3個數為一3X（一

3x）=9x

根據這三個數的和是一1710,得

x-3x+9x=-1710

合并，得7x=-243

所以-3x=729

9x=-2187

答：這三個數是一243、729、-2187

引導學生討論以上列方程解決實際問題的關鍵。

學生討論、分析：探索規律，找出相等關系

如有學生提出不同的設未知數的方法，同樣給予鼓勵。

（三）課堂練習

1、三個連續的奇數的和是27,求這三個奇數。

2、如果三個連續奇數的和是29,你能求出這三個奇數嗎？

（四）綜合應用、穩固提高

在某月內，李老師要參加三天的學習培訓，現在知道這三天的日期的數字之和是39.

1,培訓時間是連續的三天，你知道這幾天分別是當月的哪幾號嗎？

2,假設培訓時間是連續三周的周六，那這幾天又分是當月的哪幾號？

學生練習，講評。

（五）課堂小結

提問：

①你是怎樣分析數列中的規律的？

②你學會判明方程的解是否合理嗎？

③試用自己的話概括“用一元一次方程分析和解決實際問題”的一般過程。

學生思考、討論、整理。

［六）作業設計

課本第93-94頁習題3.2第5、9題

選做局部：

小明和小紅做游戲，小明拿出一張日歷：“我用筆圈出了2X2的一個正方形，它們數

字的和是76,你知道我圈出的是哪幾個數字嗎？"你能幫小紅解決嗎?

§3.2解一元一次方程(一)

——合并同類項與移項(4)

教學目標：

知識與技能：

通過探究實際問題與一元一次方程的關系，感受數學的應用價值，提高分析問題，解

決問題的能力。

過程與方法；

經歷由實際問題抽象為方程模型的過程，進一步體會模型化的思想。

情感、態度、價值觀：

通過學習，更加關注生活，增強用數學的意識，從而激發學習數學的熱情。

教學重點：探究實際問題與一元一次方程的關系。

教學難點：建立一元一次方程解決實際問題。

教學過程：

(一)創設情境提出問題

信息社會，人們溝通交流方式多樣化，移動己很普及，選擇經濟實惠的收費方式

很有理實意義。

出示課本91頁的例4;觀察以下兩種移動計費方式表：

全球通神州行

月租費30元/月0

本地通話

0.30元/分0.40元/分

贄

設計以下問題：

1、你能從中表中獲得哪些信息，試用自己的話說說。

2、猜一猜，使用哪一種計費方式合算？

3、一個月內在本地通話200分和350分，按兩種計費方式各需交費多少元？

4、對于某個本地通通話時間，會出現兩種計費方式的收費一樣的情況嗎？

(二)探索分析、解決問題

學生充分交流討論、整理歸納

解：1、用“全球通”每月收月租費30元，此外根據累計通話時間按().30元/分加收通

話費;用“神州行”不收月租費，根據累計通話時間按0.4()元/分收通話費。

2、不一定，具體由當月累計通話時間決定。

3、

全球通神州行

200分90元80元

300分135元140元

4,設累計通話t分，那么用“全球通”要收費（30+0.3。元，用“神州行”要收費04

元，如果兩種計費方式的收費一樣，那么0.4t=30+（）.3t

移項得0.4t—0.3t=30合并，得0.1t=30系數化為1,得t=300

答：如果一個月內通話300分，那么兩種計費方式的收費相同。

問題2是開放性的，答案與通話時間有關

（三）綜合應用、穩固提高

一個周末，王老師等3名教師帶著假設干名學生外出考察旅游［旅費統一支付），聯系

了標價相同的兩家旅游公司，經洽談，甲公司給出的優惠條件是：教師全部付費，學生按

七五折付費;乙公司給的優惠條件是：全部師生按八折付費，請你參謀參謀，選擇哪家公司

較省錢？

（四）課堂小結、知識梳理

試用框圖概括“用一元一次方程分析和解決實際問題”的根本過程

學生思考、討論、整理。

（五）作業設計

必做局部課本94頁習題3.2第10題。

選做局部課本94頁習題3.2第11題。

§3.3解一元一次方程［二)

——去括號與去分母(1)

教學目標：

知識與技能：

1、通過運用算術和列方程兩種方法解決實際問題的過程，使學生體會到列方程解應用

題更為簡捷明了，省時少力；掌握去括號解方程的方法.

2、培養學生分析問題，解決問題的能力.

過程與方法：

在積極參與教學活動過程中，初步體驗一元一次方程的使用價值，形成實事求是的態度

和獨立思考的習慣。

情感、態度、價值觀：

通過列方程解決實際問題，使學生感受到數學的應用價值，激發學生學習數學的信心.

教學重點：逐步樹立列方程解應用題的思想。

教學難點：弄清列方程解應用題的思想方法;用去括號解一元一次方程。

教學過程；

(一)復習引入

依次提出以下兩個問題：

1.解一元一次方程時，最終結果一般是化為哪種形式？

2.我們可以采用哪兩種方法將一個一元一次方程化為“x二a”的形式？

當問題中數量關系較為復雜時，列出的方程也會較復雜，僅用這兩種方法行嗎？

(二)提出問題

出示課本96頁問題i

分析：如果用方程解這道題，可以怎樣設未知數？如果設上半年每月平均用電x度，

那么下半年每月平均用電—度;上半年共用電—度，下半年共用電—度.根據哪個等量

關系列方程？

在學生答復的根底上得出6x+6(x-2000)=150000

(三)解決問題

好，現在怎樣使這個方程向x=a的形式轉化呢？利用“分配律”先去括號，下面的框

圖表示了解這個方程的具體進程，你能說出每步的依據嗎？

6x+6(x-2000)=150000

I

6x+6x-12000=150000

I

6x+6x=15()000+12000

12x=162000

x=13500

由上可知，這個工廠去年上半年每月平均用電13500度。

思考：此題還有其他列方程的方法嗎？

（四）例題分析

出示課本第97頁例1,師生共同給出解答。

解答后應強調：①方程中含有括號時，一般需要去括號。②去括號時應注意括號前面

的符號。

（五）穩固練習

（1）完成課本97頁練習.

（2）學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚，初一同學每人搬六塊，其他年級同

學每人搬8塊，總共搬了400塊，問初一同學有多少人參加了搬磚？

（3）學校田徑隊的小剛在400米跑測試時，先以6米/秒的）速度跑完了大局部路

程，最后以8米/秒的速度沖刺到達終點，成績為1分零5秒，問小剛在沖刺以前跑了多

少時間？

3、拓展件練習：

編一道聯系實際的數學問題，使所列的方程是

6x+8（65-x）=400

并將其與上題中的（2）、（3）相比擬，有何感想？將你的想法和同學交流.

（六）本課小結

通過以下問題引導學生回憶、小結：

通過這節課，你在用一元一次方程解決實際問題方面又獲得了哪些收獲？去括號解一

元一次方程要注意什么？

（七）作業設計

課本102頁習題3.3第1、2、4題，103頁習題3.3第12題

§3.3解一元一次方程(二)

——去括號與去分母⑵

教學目標：

知識與技能：

1、會從實際問題中抽象出數學模型，會用一元一次方程解決一些實際問題.

2、通過觀察、實踐、討論等活動經歷從實際中抽象數學模型的過程.

過程與方法；

在積極參與教學活動過程中，初步體驗一元一次方程的使用價值，形成實事求是的態

度和獨立思考的習慣。

情感、態度、價值觀：

1.在獨立思考的根底上，積極參與討論，敢于發表自己的觀點；

2.敢于面對學習中的困難，克服困難，鍛煉意志，建立自信。

教學重點：尋找實際問題中的等量關系，建立數學模型。

教學難點：弄清題意，用列方程解決實際問題。

教學過程：

(一)復習穩固

1、解以下方程：

(1)10x-4(3-x)-5(2+7x)=15x-9(x-2)

(2)3(2-3x)-3[3(2x-3)+3]=5

；('+1)+*+2)-3=-*?+3)

2、[課本97頁例2)一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲

碼頭逆流行駛，用了2.5小時.水流的速度是3千米/小時，求船在靜水中的平均速度.

(二)提出問題、探究新知

問題1(課本98頁例3)：某車間22名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘

1200個或螺母200()個，一個螺釘要配兩個螺母.為了使每天的產品剛好配套，應該分配

多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母？

解決問題的關鍵：

1、如果設x名工人生產螺釘，那么一名工人生產螺母；

2、為了伸每天的產品剛好配套.應使生產的螺母恰好是螺釘數量的—

(三)課堂練習

練習1：某水利工地派48人去挖上和運上，如果每人每天平均挖上5方或運上3方，

幫么應怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時運走？

問題2:要用20張白卡紙做包裝盒，每張白卡紙可以做盒身兩個，或者做盒底蓋3個.如

果一個盒身和兩個底蓋可以做成一個包裝盒，那么能否把這白卡紙分成兩局部，一局部做

盒身，一局部做底蓋，使做成的盒身和盒底蓋正好配套？請設計一種分法.

（想一想：如果一張白卡紙可以適當的套裁出一個盒身和一個盒底蓋，那么，怎樣

分這些白卡紙，才能既使做出的盒身和盒底蓋配套，又能充分地利用白卡紙？）

練習2：

1、用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵片可制盒身16個或制盒底43個一個盒身與兩個盒

底配成一套罐頭盒.現有100張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可以既使做出

的盒身和盒底配套，又能充分地利用白鐵皮？

2、某車間每天能生產甲種零件120個，或者乙種零件100個.甲、乙兩種零件分

別取3個、2個才能配成一套.要在30天內生產最多的成套產品，問怎樣安排生產甲、乙

兩種零件的天數？

（四）小結

通過以下問題引導學生反思小結：

1、通過這節課的學習，你有什么收獲？

2、在解決配套、分配等問題方面你獲得了哪些經驗？這些問題中的相等關系有什

么特點？

（五）作業設計

1.課本102頁習題3.3第5、6、7題,

2.課本103頁習題3.3第13題。

§3.3解一元一次方程（二）

——去括號與去分母（3）

教學目標：

知識與技能：

會把實際問題建成數學模型，會用去分母的方法解一元一次方程.

過程與方法：

通過列方程解決實際問題，讓學生逐步建立方程思想；通過去分母解方程，讓學生了

解數學中的“化歸”思想.

情感、態度、價值觀：

讓學生了解數學的淵源及輝煌的歷史，激發學生的學習熱情。

教學重點：實際問題中如何建立等量關系，并根據等量關系列出方程。

教學難點：會用去分母的方法解一元一次方程。

教學過程：

（一）提出問題（課本99頁問題）

英國倫敦博物館保存著一部極其珍貴的文物一紙莎草文L現存世界上最古老的方程

就出現在這部英國考古學家蘭德1858年找到的紙草書上.經破譯，上面都是一些方程，共

85個問題.其中有如下一道著名的求未知數的問題：一個數，它的三分之二，它的一半，

它的七分之一，它的全部，加起來總共是33,這個數為幾何？

（二）分析問題

如果設這個數為x,那么上述這段文字就可用如下方程表示：-x+ix+lx+x=33

327

和以往不同的是，我們看到，上面這個方程中有些系數是分數，如果能化去分母，把

系數化成整數，那么可以使解方程中的計算更方便一些。

去分母的關鍵在于：方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍｝.于是，所列方程變為整系

數方程。

如何解這個方程？在學生答復的根底上可以歸納兩種方法:

方法一：直接進行合并同類項，進而化為“x=a”的形式.

方法二:先把含x的各項系數化為整數.

（三）探討歸納

3x+lc3x-22x+3

解方程:-----2=----------

2105

1、為使方程變為整系數方程，方程兩邊應該同乘以什么數?

2、在去分母的過程中，應該注意哪些易錯的問題？

3、解上述方程的全過程，展示了一元一次方程解法的一般步驟，試歸納、小結，并了

解過程中每一步的主要依據.

（四）范例學習

出示課本100頁例4.

采用學生嘗試練習,師生互評矯正的方式處理，

解后再次歸納解方程的步驟和去分母的考前須知（防止漏乘）.

（五）穩固練習

1、完成課本101頁練習。

2、解方程：

2x4-1X+1.

⑴-----------=2

4

y+4y+3y-2

⑵一y+5=

332

3、（童話數學100雁問題）碧空萬里，一群大雁在飛翔，迎面又飛來一只小灰雁，它

對群雁說：“你們好，百只雁！你們百雁齊飛，好氣派！可憐我是孤雁獨飛.”群雁中一只

領頭的老雁說：“不對！小朋友，我們遠遠缺乏100只.將我們這一群加倍，再加上半群，

又加上四分之一群，最后還得請你也湊上，那才一共是100只呢，請問這群大雁有多少只？

3、目前初中數學主要分成代數與幾何兩大局部，其中代數學的最大特點是引人了未知

數，建立方程，對未知數加以運算.而最早提出這一思想并加以舉例論述的，是古代數學

名著《算術》一其作者是古希臘后期數學家一“代數學之父”丟番圖.丟番圖的墓志

銘：“墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路.上帝給予的童年

占六分之一又過十二分之一，兩頰長胡.再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭.五年之后天

賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進人冰冷的墓.悲傷只有用數論的研

究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途.”請你列出方程算一算，丟番圖去世時的年

齡？

設丟番圖去世時的年齡為x歲，由題意可列方程

I111,

—x+—x+—x+c5+—x+4=x

61272

解得：x=84o

〔六）課堂小結

1、去分母解一元一次方程時要注意什么？

2、去分母解一元一次方程時，在方程兩邊同時乘以各分母最小公倍數的目的是什么？

（七）作業設計

1、課本第102頁習題3.3第3、8題

2、課本第103頁習題3.3第14題。

§3.3解一元一次方程(二)

——去括號與去分母(4)

教學目標：

1、會根據實際問題中數量關系列方程解決問題，熟練掌握一元一次方程的解法.

2、培養學生數學建模能力，分析問題、解決問題的能力.

3、通過開放性問題的設計，培養學生創新能力和挑戰自我的意識，增強學生的學習興

越。

教學重點：從實際問題中抽象出數學模型。

教學難點：根據題意，分析各類問題中的數量關系，會熟練地列方程解應用題。

教學過程：

［一)復習穩固

1、解以下方程：

3y+l_7+y

(1)36

2x+11Ox+11I-2x

-----+------=1-------

(2)463

1.5x-lx八「

v-26X72r

2、討論交流：按怎樣的步驟解方程§--/=2-3■才最簡便？由此你能得到怎樣

的啟發？

(二)探索研究

1、問題(課本101頁例5)：

整理一批圖書，由一個人做要40小時完成.現在方案由一局部人先做4小時，再增加

兩人和他們一起做8小時，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，具體應安排多少

人工作？

解決問題的關鍵：

(1)把總工作量看作1;

(2)工作量二人均效率X人數X時間.

2、試一試：

課外活動時李老師來教室布置作業，有一道題只寫了“學校校辦廠需制作一塊廣

告牌，請來兩名工人,師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天，”就因校長叫他有其他

事情而離開教室.

淘氣的小劉說：“讓我試一試上去添了“兩人合作需兒天完成？''

有同學反對：“這太簡單了！”但也引起了大家的興趣，于是各自試了起來……

請同學們嘗試著盡可能多地補全此題，并與同學們一起交流各自的做法.

3、舉一反三：

(1慶祝校運會開幕，七年級(1)班學生接受了制作校旗的任務.原方案一半同學參

加制作，每天制作4()面.而實際上，在完成了三分之一以后，全班同學一起參加，結果比

原方案提前一天半完成任務.假設每人的制作效率相同，問共制作小旗多少面？

(2)小張和父親預定搭乘家門口的公共汽車趕往火車站，去家鄉看望爺爺.在行

駛了三分之一路程后，估計繼續乘公共汽車將會在火左開車后半小時到達火車站，便隨即

下車改乘出租車，車速提高了一倍，結果趕在火車開車前15分鐘到達火車站.公共汽車的

平均速度是40千米/時，問小張家到火車站有多遠？

(3)將上述兩題加以比擬，有否相通之處？可否一題多解？

并探究未知數假設的技巧性.

(三)課堂小結

談談本節你有何收獲？

(四)作業設計

1、第102頁習題3.3第9、10、11題

2、第103頁習題3.3第15題

§3.4實際問題與一元一次方程（一）

教學目標：

知識與技能：

1、利用路程、時間、速度之間關系，借助畫示意圖列一元一次方程解以現實為背景的

應用題；

2、運用畫圖直觀分析、探究發現，充分發揮學生的主體作用，學生在輕松愉快的氣氛

中掌握知識。

過程與方法：

結合實際，創造活潑有趣的情境，提高學生的學習興趣，讓他們在活動中獲得成功的

體驗；培養學生的探索精神，樹立學習的信心。

情感、態度、價值觀：

培養學生的探索精神，樹立學習的信心。

教學重點：通過分析題意，尋找等量關系，列方程。

教學難點：從不同的角度來找等量關系，列方程。

教學過程：

（一）創設情境、提出問題

問題1：“甲、乙兩人，同時出發，相對而行，距離是50初?，甲每小時走3切?，乙每小

時走2切z,問他倆幾小時可以碰到？”

你能答復出上述問題嗎？

（-）討論交流，探究問題

①組織四人小組活動，觀察分析，理解題意，弄清路程、速度、時間之間的關系；

②在小組討論的根底上，全班相互交流。

教師針對學生討論的情況，進行點評，引導分析，滲透數學建模的思想。

一一甲一^乙

叫出小意圖：

?.50km?■

引導分析：甲乙相遇時，他們共行的路程為。

此題有哪些相等關系呢？

從路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程二0

從時間角度分析：甲行走的時間二乙行走的時間。

如果設：甲、乙相遇他們的時間為X,此時相等關系：

甲行走的路程+乙行走的路程二。

即甲行走的速度X甲行走的+乙行走的—X乙行走的時間二o

那么可得方程：50=3x+2x

解：設甲乙相遇時行走了x小時，根據題意得：

3x+2x=50,5x=50,x=10o

答:他們10小時能相遇。

此時教師再問：如果設甲行走的路程為x版，那么相等關系是什么呢？再讓四人小組

討論、交流。

問題2：接上題：一只小狗每小時走5h〃，它同甲一起出發，碰到乙時它又往甲這邊走,

碰到甲它又往乙這邊走，問小狗在甲、乙相遇時，一共走了多少千米？”

你知道怎樣解答的嗎？

學生繼續分組討論。由小組派代表發表本組的見解，然后教師點評分析：

①畫出示意圖；（略）

②分析：

小狗走的路程二小狗走的速度X小狗走的時間，現在只需求出小狗走的時間，問題就解

決了。

小狗走的時間為多少呢？

顯然，小狗往返跑直到甲、乙相遇時才停下來，故小狗跑的時間就是甲、乙相遇前走

的時間，問題由此應迎刃而解。

解：（略）

問題3：

如果甲、乙、小狗都從一點出發，同向而行，其速度皆不變，乙和小狗先出發3小時,

甲再出發追趕乙，當甲追上乙時，小狗跑了多少米？

學生分組討論。由小組派代表發表本組的見解，然后教師點評分析：

①國出小意圖；（略）

②分析：變換情境后，變成了什么問題？問題的等量關系又是什么？

小狗走的路程二小狗走的速度X小狗走的時間，故關鍵還是求出時間，而這個時間就是

甲追上乙的時間，可由以下追及問題中的等量關系求得。

中行走的速度X甲追上乙行走的時間二乙行走的速度X甲追上乙行走的時間十乙提前行

走的速度X乙提前行走的時間。

問題4：

如果甲、乙、小狗從同一點出發，同向而行，而甲先出發5小時，乙才和小狗一起出

發，當小狗追上甲時，甲走了多少米？乙還能追上甲嗎？為什么？

學生分組討論，由小組派代表發表本組的見解。之后教師引導分析：

顯然，小狗和甲又形成了追及問題，由問題4知，設小狗追趕甲的時間為x,那么可

得至I」：5x=3x+5x3o

此時小狗行走的路程二甲行走的路程=5x7.5=37.5千米，乙不能追上甲，原因何在呢？

如果乙能追上甲，那么肯定有2x=3x5+3x。

解得冗=一15。

顯然時間不能為負。

說明：速度較大者追速度較小者，定能追上，而速度較小者追速度較大者，肯定不能

追上。

（三）課堂小結

談談本節你有何收獲？

1四）作業設計

課本108頁習題3.4第6、8題

§3.4實際問題與一元一次方程（二）

教學目標：

1、使學生能根據商品銷售問題中的數量關系找出等量關系，列出方程，掌握商品盈虧

的求法,；

2、培養學生分析問題，解決實際問題的能力；

3、讓學生在實際生活問題中，感受到數學的價值。

教學重點：讓學生知道商品銷售中的盈虧的算法。

教學難點：弄清商品銷售中的“進價”“標價”“售價”及“利潤”的含義。

教學過程：

（一）引入新課

1、引言

前面我們結合實際問題，討論了如何分析數量關系，利用相等關系列方程以及如何解

方程。本節開始，我們將進一步探究如何用一元一次方程解決生活中的一些實際問題。

2、引例

①某商品原來每件零售價是。元，現在每件降價1。%,降價后每件零售價

是;

②某種品牌的彩電降價3%以后，每臺售價為〃元，那么該品牌彩電每臺原價應為

元；

③某商品按定價的八折出售，售價是14.8元，那么原定價是；

④某商場把進價為1980元的商品按標價的八折出售，仍獲利10%,那么該商品的標價

為;

⑤我國政府為解決老百姓看病問題，決定下調藥品的價格，某種藥品在1999年漲價30%

后，2001降價70%至。元，那么這種藥品在1999年漲價前價格為元。

（二）提出問題、探究新知

問題：銷售中的盈虧（課本104頁探究1）

某商店在某一時間以每件60元的價格賣兩件衣服，其中一件盈利25%,另一件虧損

25%,賣這兩件衣服總收入是盈利還是虧損？或是不盈不虧？

先引導學生大體估算盈虧情況，再通過準確計算檢驗學生的判斷。

分析：進價、售價和利潤之間有什么關系？什么是利潤率？

利潤=售價一進價；利澗率=利潤/進價x100%.

此題看是否盈利還是虧損的依據是什么？

依據是看賣出兩件衣服盈利與虧損誰大。

現在我們來看賣出盈利25%的這件衣服盈利多少。

設盈利25%的這件衣服進價是x元，可得怎樣的方程？

x+0.25x=60解之，得x=48

所以這件衣服利潤是60—48=12元。

再來