第一節導數的概念及運算

考試要求：1.了解導數概念的實際背景.

2.理解導數的幾何意義.

3.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡

單的復合函數的導數.

、必備知識-回顧教材重“四基

一、教材概念?結論?性質重現

1.導數與導函數的概念

(1)一般地，設函數f(x)在照附近有意義，自變量在才=弱處的改變量為小M如果當A

△yAy

x-0時，平均變化率心無限趨近一個確定的值，即Q有極限，則稱y=/(x)在彳=圍處可

導,并把這個確定的值叫做尸Ax)在矛=兩處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作F5。)

即/(版)=U^-=Jim/(70+Aj-)—/(1O)

或_/m

?=照2kr-*oZkz'&r-*o

⑵當X變化時，y=f(x)就是X的函數，我們稱它為y=F(x)的導函數(簡稱導數).y

=F(x)的導函數有時也記作y',即F(x)=y'=lim----------------1-----.

Ar-*oAr

微提醒■■■

1.函數y=f(x)在才=加處的導數是一個數值，與給定的函數及照的位置有關，與Ax

無關；導函數簡稱導數，是一個確定的函數，它依賴于函數本身，與x,Ax無關.

2.函數尸〃力的導數/(x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化

的方向，其大小I/(X)1反映了變化的快慢，1/(*)|越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.

3.奇函數的導數是倡函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數.

-2.導數的幾何意義

函數尸一〃*)在點即處的導數的幾何意義，就是曲線y—F(x)在點尸(的，〃頂))處的切

線的斜率片即2F(⑷.

微提醒■■■

直線與曲線相切時不一定只有一個公共點.

3.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

f(x)=c(c為常數)f(x)=0

f(x)=xa(a￡Q,且aWO)f(x)=ax"1

f(x)=sinx廣(x)=cosX

/V)=cosXF(x)=-sinx

f(x)=e、FU)=￡

f(x)=a*(a>0,且aW1)f(x)=a*lna

f[x}=lnxF(x)=-

X

f(x)=1ogx(a>0,且aW1)f(x)=—

axlna

微提醒■■■

要注意‘曷函數與指數函數的求導公式的區別，以防混淆.

4.導數的運算法則

若F(x),/(力存在，則有

(l)"(x)±g(x)]'=/、’(功士》(x).

⑵"3.g(x)]'=/"(>)冢功+/6)口‘(x).

tX

⑶「'g，(虱："。)?

-gX

微提醒■■■

1.和差的導數運算法則可以推廣到任意有限個可導函數的和差求導運算.

2.應用積商的導數運算法則時要注意，不能對構成積商的兩個函數簡單求導.

5.復合函數的導數

一般地，對于由函數尸，〃)和〃=以才)復合而成的函數尸f(g(x)),它的導數與函數

y=f(u),〃=g(x)的導數間的關系為/.、=/“?〃'，,即，對x的導數等于句對〃的導數

與〃對」的導數的乘積.

微提醒■■■「

要分清復合函數的復合關系，選擇適當的中間變量.

二、基本技能?思想?活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)f(加與"(劉)]'表示的意義相同.

(X)

⑵求(8)時，可先求/’(刖)再求,(劉).(x)

(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(J)

(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(X)

(5)函數/V)=sin(—>)的導數是，(AT)=cosx.X)

2.曲線y=sinx+e*在點(0,D處的切線方程是()

A.x—3p+3=0B.x—2y+2=0

C.2x-y+l=0I).3x-y+l=0

C解析：y'=cosx+e',令x=0得切線的斜率女=2,切線方程為y=2x+1,即2x

-y+l=0.

3.函數尸cos(l+f)的導數是()

A.y'=2^sin(l+Y)

B.y'=—sin(l+Y)

C.y'=-2xsin(l+f)

D.y'=2cos(l+/)

C解析：y=—sind+^r2)?(l+f)'=—2%sin(H-x).

4.已知曲線f(x)=2/+i在點必(即〃照))處的瞬時變化率為-8,則點”的坐標為

(—2,9)解析：因為f(x)=2產+1,所以/(才)=4k令4照=-8,則照=—2,所

以八照)=9,所以點材的坐標為(-2,9).

5.如圖，函數y=f(x)的圖象在點〃處的切線為尸一2x+5,則A2)+f(2)=

-1解析：因為函教尸Ax)的圖象在點x=2處的切線方程是尸一2葉5,

所以F(2)=-2,*2)=—4+5=1,所以F(2)+f(2)=1+(-2)=-1.

、關鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1導數的計算一一基礎性

「多維訓練」

1.(2022?成都期中)下列求導運算正確的是()

A.(f)'=xln4

B.(3)'=X-3'T

C.(/sinx)'=3ysinx—A^COSX

Inx+1

yinx

D解析：根據題意，依次分析選項.對于A,(4"=4f,A錯誤；對于B,(3')'=

3'In3,B錯誤;對于C,（A？sinx）'=3/sin*+/cosx,C錯誤;對于D,

Inx+1

D正確.

xlnx

2.拉格朗Fl中值定理是微分學中的基本定理之一，定理內容是：如果函數f(x)在閉區

間S，3上的圖象連續不間斷，在開區間(a,內的導數為f(x),那么在區間(a,6)內

至少存在一點c,使得八吩一八a)=「(。)3—給成立，其中。叫做/〃)在|>,加上的“拉

格朗日中值點”.根據這個定理，可得函數F(x)=d-在[-2,2]上的“拉格朗|=|中值點”

的個數為()

A.3B.2

C.1D.0

B解析：函數F(x)=V—3x,則有/'(2)=2,/(—2)=—2,f(x)=3/-3.由/'(2)

-A-2)=r(c)(2+2),可得/(c)=l,即3c2-3=1,解得c=土孚￡[-2,2],所

o

以八X)在［-2,2］上的“拉格朗日中值點”的個數為2.

3.已知函數/V)=-JX2+2XF(2021)+20211nx-2,則F(2021)=()

A.2022B.2021C.2020D.2019

9021

C解析：由題意可知F(>)=一>+26(202D+

x

令x=2021,所以F(2021)=-2021+2F(2021)+1,

所以F(2021)=2020.

4.(2021?閻良區期末)已知函數f(x)=e2*?cosM則F(x)=.

e2r(2cosx-sinx)解析:由積的求導法則可得,f(x)=(e2v?cosx)'=e2'*2*cos

x+e2x(cosx)'=2e2cosx—e2rsinx=e"(2cosx-sinx).

解題通法

第2題是新定義問題，理解定義是關鍵；解答第3題時要注意求導時把/(2021)看

作數字系數，再賦特殊值；解答第4題時一定要注意y=e2"是簡單的復合函數.

考點2導數的幾何意義一一應用性

典例引領

考向1求切線方程

例（1）（2021?全國甲卷）曲線尸包U在點（一1,一3）處的切線方程為—

ylI乙

5%—y+2=0解析：由題意知，當x=-1時，y=-3,故點（一1,—3）在曲線上,

2x+2-2x-1_______5

求導得，Vx+22=葉2

所以V|x=_i=5,

故切線方程為以一什2=0.

（2）已知曲線S：y=2%-/,則過點以2,0）并與曲線S相切的直線方程為________.

y=2—x或尸（一10±6#）（x—2）解析：顯然點夕不在曲線上.設切點坐標為加,2加

一/）,則所求直線的斜率左=冽二?（加工2）,

m—Z

而V|尸產2—3病，所以7=2—3萬，整理得病一+2=0,

m—2

即m—m—2（m—1）=0n〃；（m—1）—2（Z?T4-1）（m—1）=0n（m—1）（.m—2m—2）=0,

解得〃A=1,加加=1一＜5.

當勿=1時，k=2—癡=-1,直線方程為/=一（/-2）=2一第

當m=l+，5時，4=2—3病=-10—6#,直線方程為尸（一10—6^）（萬—2）；

當加=1—時，A=2—3/?=—104-6^3,直線方程為y=（―10+6，5）（x—2）.

同源異考/

2Y—1

木例（1）中曲線方程改為“FGr—1）=一二3"，則曲餞〃=F（x）在點（一1,f（一D）處切

XI乙

線的斜率為（）

A.—2B-W

c-f

D.5

9v—1915

C解析：由/（，-1）=—知.）==，所以尸3=-^L'所以…

1)=?

由導數的幾何意義知，所求切線的斜率〃=:

解題通法

求曲線的切線方程的題理及方法

⑴切線所過點f（施））在曲線上：切線斜率是該點處的導數值（8）.

(2)切線所過點Pg㈤不在曲線上，可設切點為(.Vi,7|）,由

yi=fxi,

求解即可.

y（）—y]=f,x\xQ—xl

考向2求切點坐標

/1

例?，(1)(2021?南昌二模)若曲線尸7—3門/在/=斯處的切線的斜率為5,則照

A乙

■

?[3]3

3解析：由尸?一31nx,得_/=-x——(x>0),故酒--解得期=3或助=一

1乙X乙A\J乙

2(舍去)，故劉=3.

(2)設曲線尸/在點(0,1)處的切線與曲線y=-(x>0)上點。處的切線垂直，則點夕的

X

坐標為.

(1,1)解析：點(0,1)在曲線y=e'上.因為/=e'，所以曲線尸e'在點(0,1)處的

切線的斜率％=c°=l.設P(勿,〃)，y=1(x>0)的導數為V=-T(尤>0),所以曲線(x>0)

XXX

在點。處的切線斜率他=-7(0>0).因為兩切線垂直，所以衣也=-1,所以/=1,〃=1,

m

則點/的坐標為(1,1).

解題通法

求切點的思路

已知切線方程(或斜條)求切點的一般思路是先求函數的導數，再讓導數等于切線的斜

率，從而求出切點的橫坐標，再將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.

-考向3求參數的值或取值范圍

例?，(1)(2021?萍鄉二模)函數尸:在點(2,3處的切線與直線肘+曠+1=0垂直，

則實數a的值為.

-4解析：因為/=f(/)=-4,所以f(2)=一；.

x4

因為切線與直線ax+y+l=0垂直，

所以(一9)x(一向=一晨解得3=一生

(2)函數F(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x一尸0平行的切線，則實數a的取值范

圍是.

(—8,2)解析：函數f(x)=lnx+ax的定義域為(0,+°°).因為函數/'(x)=lnx

+ax的圖象存在與直線2x一尸=0平行的切線，即尸(力=2在(0,+8)上有解，所以F

（x）=&a=2在（0,+8）上有解，則a=2—：.

因為x＞0,所以2—，＜2,所以a的取值范圍是（一8,2）.

X

解題通法

1.根據已知條件，建立關于參數的方程（不等式），求解即可.

2.常用的等量關系：（1）切點處的導數是切線的斜左.（2）切點在切線.匕也在曲線上.

考向4導數與函數圖象的關系

例。，（1）已知函數尸〃力的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數尸尸（⑼的圖象

如圖所示，則該函數的圖象是（）

B解析：由尸f（x）的圖象是先上升后下降可知，函數尸f（x）圖象的切線的斜率先

增大后減小.故選B.

（2）函數尸〃X）的圖象如圖所示，f（M是函數的導函數，下列數值排序正確的

是（）

A.f（2）＜r（3）＜f（3）-r（2）＜0

B.f（3）＜r（2）＜rt3）-r（2）＜o

c.A3）-r（2）＜r（3）＜r（2x0

1）.f（2）＜r（3）-/（2）＜r（3）＜o

D解析：根據題意,設以2,f（2））,M3,八3））為函數尸&＞）上的點,

則f（2）為函數在x=2處切線的斜率，

f（3）為函數F（x）在x=3處切線的斜率，

7,3—r2

A3）-A2）=-——為直線曲V的斜率.

結合圖象（圖略）分析可得f（2）＜A3）-f（2）＜r（3X0.

5

J

O\i234567x

解題通法

函數圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖象在相應點處的變化情況，由切

線的傾斜程度可以判斷出函數圖象升降的快慢.

「多維訓練」

1.如圖所示為函數尸F(x),y=g(x)的導函數的圖象，那么尸f(x),尸g(x)的圖象

可能是()

D解析：由尸F(力的圖象知，y=F(x)在(0,+8)上單調遞減，說明函數尸f(x)

的切線的斜率在(0,+8)上也單調遞減，故可排除A,C.

乂由圖象知(】)與尸g'(x)的圖象在片=照處相交，說明尸/'(>)與y=g(x)的

圖象在*=胸處的切線的斜率相同，故可排除B.

2.已知直線尸履是曲線尸e’的切線，則實數〃的值為()

A.-B.--

ee

C.-eD.e

Xo

I)解析：函數尸的導數為V=ev,設切點為WE,e)，則過P的切線方程為y

AbXo

—e=e(x—Ab),代入點(0,0)得照=1,所以2(1,。)，所以*=e.

3.曲線y=ln在x=l處的切線的傾斜角為明則cos(2。+5)的值為()

4

B.

A，I5

3

c晨D.

□5

i9io

D解析：依題意，V=I所以tana=-4--=3,

XXa11

2sinacosa2tana2X3_3

所以cos2。2a

sin2a+cos2atan2a+13J+15

第二節導數的應用

考試要求：1.結合實例，借助幾何直觀了解函數隼調性和導數的關系.

2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三

次）.

3.會用導數求函數的極大值、極小值.

4.會求閉區間上函數的最大值、最小值.

第1課時導數與函數的單調性

.....-\必備知識-回顧教材重“四基”/—

一、教材概念?結論?性質重現

函數的單調性與導數的關系

條件恒有結論

f(x)>0y=r（x）在區間（&6）上單調遞增

函數尸f（x）在區間儲，份上可導f(x)<0y=F（x）在區間（a,方）上單調遞減

f(x)=0y=F（x）在區間（a,方）上是常數函數

微提醒■■■

若函數y=f（x）在區間（a,b）上單調遞增，則F（力20,所以“F5）20在區間（a,

0上成立"是“尸/.J）在區間（a,份上單調遞增”的充分不必要條件.

-二、基本技能?思想?活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

（1）若函數f（x）在區間（a,上單調說增，那么一定有/G）＞0.

(X)

(2)如果函數f(x)在某個區間內恒有6(x)=0,則f(x)在此區間內不具有單調性.

(V)

⑶若在區間(a,A)內，Cr)W()且/(*)=0的根為有限個，則/V)在區間(a,6)上

單調遞減.(J)

2.函數尸xcosX-sinx在下面哪個區間上單調遞減()

(n3Ji\

A.團—JB.(n,2n)

c仔,與I).(2JI,33T)

I)解析：y'=cosy-xsinA-cos>=—>sinx,欲使導數為負，只需x與sinx

的符號相同,

分析四個選項知，D選項符合條件.

1n

3.已知函數/U)=+x，則()

A

A.f(2)>f(e)〉f(3)

B.A3)>/(e)>f(2)

C.A3)>/(2)>/(e)

D.Ae)>f(3)>f(2)

D解析：f(x)的定義域是(0,+8).

1—1nv

因為尸(x)=-L，所以*￡(o,e)時，f(x)>0；

A

xE.(c,+8)時，f(x)<o.故x=c時，f(x)nax=f(e).

d“c\In2In8心、In3In9

又/'(2)==一=丁，丹3)=不~==一,

Zb3b

所以/(e)>f(3)>A2).

4.已知函數f(x)=ilnx,則F(x)的單調遞減區間是.

(0，§解析：因為函數/'(x)=>】n%的定義域為(0,+8)，乂/(*)=ln)+1(力0),

當/(x)<0時，解得0<水%即函數八>)的單調遞減區間為(0,1).

5.函數/.(x)=f+a/-ax在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是.

[—3,0]解析：f'5)=3彳2+21?以一打20在R上恒成立，即4a'+12aW0,解得一3Wa

W0,即實數a的取值范圍為[—3,0].

、關鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1求函數的單調區間一一基礎性

「多維訓練」

1.(2022?涼州模擬)函數〃*)=2丁一h”的單調遞減區間為()

D.&+8

4x—1

B解析：函數/XA)=2X—Inx的定義域為(0,+8),F(x)=4x—=-----.

xx

當x￡(o,，時，ruxo,函數單調遞減.

2.函數f(x)=x-e'-ef的單調遞增區間是()

A.(—8,e)B.(1?e)

C.(e,4-°°)D.(e—1,+°°)

i)解析：由八x)=)-e'-e'+l得/(x)=(rH-e)-er.

令f(x)>0,解得x>e—l,所以函數f(x)的單調遞增區間是(e—1,+-).

3.(2021?贛州模擬)若函數尸F(x)在區間〃上是增函數，且函數(x)在區間〃

上也是增函數(其中F(才)是函數以X)的導函數)，那么稱函數y=f(>)是區間〃上的“快

增函數”，區間〃叫做“快增區間”.函數/V)=sin2x+2sinx在區間[0,丸]上的“快增

區間”為()

-JT-1r7T-

A.0,—B.0,—

_6」L3_

-JiTilrnJI"

c————n————

316'2」[3'2.

A解析：因為/'(x)=sin'x+2sin[(),n],所以/(x)=2sin/cosx+2cos

x=2cosx(sinx+1).

令f(x)20,可得0,+,所以在()，y上是增函數.

乙乙

令g(禽=「(x),則g'(AT)=—2sinx(sin1)+2cos2x=-4sin2AT_2sinx+2=

—2(2sinx—1)(sinx+1).

令g'(x)20,可得OW啟?或^啟n,

oo

n5K

所以函數f(x)在0,—和—,n上是增函數,

O0

所以函數/V)=sin2^+2sinx在區間［0,n］上的“快增區間”為0,2

O

解題通法

解答第1題要注意，求單調區間的前提是求定義域；第3題是新定義問題，理解定義是

關鍵，根據定義，“快增區間”即函數尸f(x)的增區間與函數尸f(x)的增區間的交集.

考點2討論函數的單調性一一綜合性

「典例引領」

例(2021?全國乙卷)已知函數A^)=/-x4-^+l.

(1)討論F(x)的單調性;

(2)求曲線y=F(x)過坐標原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標.

解：(1)由函數的解析式可得(>)=3y-2x+a,

導函數的判別式〃=4—12a.

當4=4—12aW0,即時，/*(x)20,1'(x)在R上單調遞增.

1<

當4=4-12a>0,即水g時，f(*)=0的解為由3”,x2='~^—,

當XE(-8,口日三)時，fJ)〉。，f(x)單調遞增；

當(匕《三，上叫三可時，f(x)<0,f(x)單調遞減；

當xe(l+N；—理十-，時，F(x)>0,f(x)單調遞增.

綜上可得，當時，F(x)在R上單調遞增，

O

當水3時，/.(*)在(—8,匕年可，戶盧，+8)上單調遞增，

在『匕斗三，1十“產］上單調遞減.

OO

⑵設切點為(AU,_y<j).由題意可得AAu)=Ab—/+打即+1,f,(AI>)=3/一2ti,

則切線方程為y~(￡―/+々照+1)=(3必一2x(i+a)(*—刖).

由切線過坐標原點，得0—(總一篇+。照+1)=(3■-2甩+血(0—xo),整理可得2宕一言

—1=0,即(加-1)?(2/+吊+1)=0,解得照=1,

則/1(照)=/(l)=l—l+a+l=a+l,F(照)=尸(l)=l+a,

切線方程為y=(a+l)尤

與y=f(x)=#'—f+ax+l聯立，得f+ax+l=(a+l)x,化簡得f一刀+1=

0.

由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，所以柒-1)是f一彳2—才+1的一個因式，

所以該方程可以分解因式為(x—1)(/—1)=0,

解得汨=1,照=-1,

綜上，曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線二f(x)的公共點的坐標為(l,a+l)和(一

1,-1-a).

同源異考/

本例若把函數改為:AA)=X4-(a4-1)/4-(2a—1)x—1(s<0),試討論函數f(x)的單

調性.

解：f[x)=x+(a+l)l+(2a—1)x—1(a<0),

f(x)=3x?+2(a+1)x+(2a—1)=3(刀+1)(葉乙；)

令fW=0,

解得>=一]或x=l,J'wR，+8).

I—2a

當一1<A<---時，f(x)VO；

o

I_2

當x<—1或x>—L"時，f(A)>0.

o

綜上，f(x)在(-8,—1)上單調遞增，在(一1,Lf)上單調遞減，在卜尸,+8)

上單調遞增.

解題通法

1.研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

2.劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的

間斷點.

「多維訓練」

1.討論函數&(*)=(x—a—l)e‘一(x—a)’的單調性.

解：g(x)的定義域為R，

g(x)=(z-a)ex—2(A—a)=(x~a)(e'—2).

令g'(x)=0,得x=a或x=ln2.

①當a>ln2時，

x￡(—8,in2)U(a,+8)時，g'(*)>(),

xE(In2,a)時，g(x)<0；

②當a=ln2時，g'(x)20恒成立，所以g(x)在R上單調遞增；

③當水In2時，

x￡(—8,4)u(In2,+8)時，g'(^)>0,

xW(a,In2)時，g'(x)<0.

綜上，當a>ln2時，g(x)在(-8,in2),(a,+8)上單調遞增，在(In2,a)上單

調遞減；

當a=ln2時，g(x)在R上單調遞增；

當Win2時，g(x)在(――，血，(in2,+8)上單調遞增，在(&In2)上單調遞減.

2.討論函數/'(x)=21nx+J—ax(a￡R)的單調性.

o/一9*+2

解：函數f(x)的定義域為{x|x>0},fW=~+x—a=:----；---(x>0).令g(x)=V

XA

—ax+2,則4=2—8.

①當NWO,即一2/WaW2/時，f(x)20,〃*)在(0,+8)上單調遞增；

②當A>0,即a2隹或水一2/時.

(i)若水一2m，因為x>0,所以尸(x)>0,在(0,+8)上單調遞增，

(ii)若a2鏡，方程V—ax+2=0的兩根=在二山夕三，且。〈加

〈X2，

當(0,汨)時，f(x)>0,當(矛2,+8)時，f(%)>0,

所以f(x)在(0,小)，(必，+8)上單調遞增，

當(X”在)時，f(X)<0,故/"(X)在(X”發)上單調遞減.

綜上，若忘2木,則f(x)在(0,+8)上單調遞增，

若a>2yf2,則/'(>)在(()，”3,+g)上單調遞增，在

仁辱，史羋君上單調遞減.

I/J)

考點3函數單調性的應用一一應用性

典例引領

考向1利用函數的單調性解不等式

例?，(2021?長安區二模)已知F'(力是定義域為R的函數f(x)的導函數，若對任意

實數x都有F(力>必力-1,且有/'(1)=2,則不等式/'(分一1>d7的解集為.

(1,+8)解析：不等式f(x)—l>e-,等價于不等式,

e

fY-1/Y-fV-I

構造函數g(x)=---,則/3=——;-----------------.

ee

因為對任意實數X都有f(x)>f(x)—l,則g'G)>0,g(x)在R上單調遞增.

/*1—1fx—1

乂以1)=-1—=1,故一-->1,即g(M>g(D,

ee

故不等式的解集是(1，+8).

解題通法

解與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數.題目中若存在Ax)

與f(*)的不等關系時，常結合這種關系的特點構造新函數，利用新函數的單調性求解不

等式.

考向2利用函數的單調性比較大小

例圖,(2021?全國乙卷)設a=21n1.01,b=\n1.02,°="()4-1,貝lj()

A.水灰cB.b^c^a

C.D.c<s<b

B解析：a=21n1.01=lnl.0112=ln(1+0.01)2=ln(l+2X0.01+0.012)>ln1.02=/

所以慶a.

下面比較c與a,6的大小關系.

22

記F(x)=21n(l+x)—W+4x+1,貝ljf(0)=0,fr(x)=

]+x@+4萬一

2dl+4x-1—x

1+xAJI+4X

由于l+4x—(l+x)2=2x—f=x(2—x),

所以當0<水2時，1+4X—(1+X)2〉O,即dl+4x>(l+x),f(x)>0,

所以Ax)在(0,2)上單調遞增，

所以/X0.01)>/(0)=0,即21n1.01>Vr04-l,即力c.

,、22

令g(x)=ln(l+2x)—4l+4x+1,則g(0)=0,3=心-E

2\l+4x—1—2x

]+2x[l+4x，

由于l+4x—(l+2x)2=—4f,在>>0時，1+4彳一(1+2X)2<0,

所以g'(x)<0,即函數以力在(0,+8)上單調遞減，所以以以01)<g(0)=0,即In

1.02<^/1.04-1,即從c.綜上，b<c<a.

解題通法

利用導數比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數，把比較大小問題轉化為先

利用導數研究函數的單調性，進而由單調性比較大小.

考向3利用函數的單調性求參數的取值范圍

例0*若函數/'(>)=*+asin*在0,5)上單調遞增，則a的取值范圍是()

A.[―亍0jB.卜8,一工

C.-；，+8)D.[1,I8)

D解析：由題意，可知/(x)=l+acosx,

因為函數f(x)=x+asinx在0,7)上單調遞增，所以f(x)=l+5cos*20在

0，上恒成立，

所以aN------.因為所以乎<cosaWl,

cosx42

所以一W—1,所以1.

cosx

所以a的取值范圍是[-1,+8).

同源異考/

本例若改為：若函數f(x)=x+z/sinx在(0,:上單調遞減，求a的取值范圍.

解：f(X)=1+c/COSx.

因為函數/'(x)=x+asinx在(0,了上單調遞減，所以f(x)=l+acosxWO在

(:n]_1

()，不上恒成立，所以-------.

\4Jcosx

設尸一一—，則它在(()，』上是減函數，所以煬產——

COSX\4J71V

COS-

4

所以aW—

所以a的取值范圍是(一8,一啦].

解題通法

根據函數單調性求參數的解題策略

(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍，應用條件/(>)20或/Cr)W0,x6a，

6)恒成立，解出參數.應注意此時式子中的等號不能省略，否則容易漏解.

(2)如果能分離參數，則盡可能分離參數后轉化為求函數最值問題.

(3)若函數在區間Q,6)上不單調，則轉化為/(*)=0在Q,6)上有異號解.

「多維訓練」

1

1.(2021?廣東模擬)若函數〃x)=J^(e為自然對數的底數)是減函數，則實數&

0

的取值范圍是()

A.(—8,o]B.(—8,1]

C.(0,+8)I).[0,1]

n〃n_LL一止入?心、tc?、2ax—ax-1

解析：函數/'(?=-l的定乂域為r(x)=-----;—.

DeR,e

因為函數f(x)是減函數，所以r(x)wo恒成立.

令g(x)=2ax—a^—\,則g(x)W0恒成立，

當a=0時，以*)=-1成立；

當aVO時，則g(x)的圖象開口向上，g(x)W0不恒成立，不符合題意：

當a>0時，要使gG)WO恒成立，則4=44-4aW0,解得OWaWl,又a>0,所以0

<aWl.

綜上可得，實數3的取值范圍是[0,1].

-l』」皿\_.(r2cos2彳+1,cosx+1sinz+1

2.(2022?渝水區模擬)已1t知0n,—L且a=—~~—,b=—工一，c=—,

\4)2cosxee

e

則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.D.c<.a<.b

1x

A解析：令g(x)=-,則/5)=-f

ee

所以當尤>0時，g'(x)<0,g(￥)單調遞減.

因為x￡(0,：),

所以cos*，11,2cos(鏡，2),且cosx>sinx>0.

又2cos'X一cosx=cosx(2cosA-1)>0,所以2cos-Acos>>sinx>0.

又g(x)單調遞減，則可得aV力Vc.

—一題N解-深化綜合提“素養”廠

試題呈現

若函數F(x)=f-a3H在區間［1,2］上單調遞減，求實數a的取值范圍.

［四字程序］

讀想算思

1.利用導數研究函數

1.求f(X).

單調性的方法.轉化與化歸、數形結

求實數a的取值范圍2.解不等式/(>)

2.從什么角度列不等合

W0

式求取值范圍

由函數/.(*?)在區間

1.函數最值.

［a,句上單調遞增