專題4-1三角函數(shù)中的高頻小題歸類

題型一：與扇形有關(guān)的數(shù)學(xué)文化

【典例分析】

例題1.（2022?廣東廣東-一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形

就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形力比；再分別以點點B、C為圓

心，線段/步長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為2期，

則其面積是______.

【答案】2乃-

2萬

【詳解】由條件可知,弧長A8=8C=4C=g,等i力三角形的功長A8=BC=AC=/_=2.

3￡

3

則以點《以C為圓心，圓弧人民3c人C所對的扇形面積為:、?2=今，中間等邊ABC

的面積S=；X2X>/5=5/3

所以萊洛三角形的面積是3、券-26=24-2百.

故答案為：2笈-2月

例題2.(2022?廣東-鐵一中學(xué)高三期末)某中學(xué)開設(shè)了剪紙藝術(shù)社團，該社團學(xué)生在慶

中秋剪紙活動中剪出了三個互相外切的圓，其半徑分別為G+1，3-6,6-1(單位：刖)，

則三個圓之間空隙部分的面積為cm2.

【答案】26-3匈兀

3

【詳解】如圖，OA的半徑為(G+l)cm,08的半徑為"5-l)cm,0c的半徑為(3-6)cm,

/.AB=\/5+1+V3—1=2A/3cm,BC=&-1+3—8=2cm,

AC=g+l+3-6=4。〃，/.AB2+BC2=AC2,N嗯，

又AC=2AC,可得/A=J,NC=f,

63

SARC=^BCAB=^x2x2y/3=2y[3(cm-),

A中的小扇形的面積為，xCx(VJ+l)2=2+6"(cm?),

8中的小扇形的面積為1x&x(G-1)2=七史萬(cm》

22217

CC中的小扇形的面積為:xgx(3—J5)2=(2—G)"(cnf),

則三個圓之間空隙部分的面積為

26_笠叵?三叵?(2-6卜=2力-0°；@北(曲)

故答案為：2癢(“)―4或

3

B

【提分秘籍】

扇形中的弧長公式和面積公式

弧長公式：/=|。|廠（。是圓心角的弧度數(shù)），

扇形面積公式：S=-lr=-\a\r2.

22

【變式演練】

1.（2022?江西?南昌市第八中學(xué)高三階段練習(xí)（理））王之渙《登鸛雀樓》：白日依山

盡，黃河入海流.欲窮千里目，更上一層樓、詩句不僅刻畫了祖國的壯麗河山，而且揭示了“只

有站得高，才能看得遠”的哲理，因此成為千占名句，我們從數(shù)學(xué)角度來思考：欲窮千里目，

需上兒層樓？把地球看作球體，地球半徑R=6371km,如圖，設(shè)。為地球球心，人的初始

位置為點M點A.是人登高后的位置（人的高度忽略不許），按每層樓高33n計算，“欲窮

千里目”即弧癡的長度為500km，則需要登上樓的層數(shù)約為（）

（參考數(shù)據(jù)：0.0785,cos0.0785^0.9969,6390.8）

63710.9969

A.1B.20C.600D.6000

【答案】I）

【詳解】。為地球球心，人的初始位置為點也點N是人登高后的位置.，癡的長度為500km.

令ZAON=。，則。="=0.0785.

R

OAR6371

,：OA1AN,OA=R,ON工639O.8(km).

cos0cos00.9969

Z.MN=ON-OM=\9.8(km),

19.8x1000

又=6000.

3.3

所以按每層樓高3.3m計算，需要登上6000層樓.

故選：D.

2.（2022?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)有限責任公司模擬預(yù)測（文））中國

古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章第術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面

均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如下圖所示的“曲池”，

其高為3,AAJ?底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為40長度為BC長度的3倍，且線段

AH=CD=2t則該“曲池”的體積為（）

D.64

【答案】D

【詳解】設(shè)4。對應(yīng)半徑為億8c對應(yīng)半徑為人根據(jù)弧長公式可知=aR,&二二乙

因為兩個扇環(huán)相同，AO長度為BC長度的3倍，

所以R二3r,

因為AB=CD=R-r=2,

R=3

所以

r=\

所以曲池體積為丫=#R%-仃2h）=6乃.

故選：D

3.（2022?陜西?虢鎮(zhèn)中學(xué)高二階段練習(xí)）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為

“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉

邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是，A8C的外接圓和以人8為直徑的圓的一部分，若

ZACB=y,南北距離AB的長大約60x/Jm,則該月牙泉的面枳約為（）（參考數(shù)

據(jù)：乃之3.14,6^1.73）

A.572m2B.1448m2C.1828m2D.2028m2

【答案】D

9_A360.?“

【詳解】設(shè)4ABe的外接圓的半徑為〃，則々―一-下一得「=6(),

sin——

32

因為月牙內(nèi)弧所對的圓心角為*2噂專,

所以內(nèi)弧的弧長/=60乂彳=40不，

所以弓形A8C的面積為

§=lx40^x60-ix60x60xsin^=1200^-900x/3,

以A4為直徑的半圓的面積為:4乂付后了=]350乃,

所以該月牙泉的面積為

1350乃一（1200乃-900x/3）=150^+900x/3?2028,

故選：D

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點為圓心，以

其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角形的特點是：

在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑。（等于正三角形的邊長）的兩

條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個性質(zhì)，機械加工中把鉆頭的

橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方形）的孔來.

圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，現(xiàn)有一個質(zhì)

點飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒有穿過孔洞的概率為________.

【答案]七史

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為。，魯洛克斯三角形由三個弓形與正三角形組成,

其面積為3(」乃/--xa2sin—I+—xa2sin—=4.&

(623J2322

7T22廣

故所求概率D」a一）a，B

r=---------；-----=------

a22

故答案為：匚以

2

題型二：同角三角函數(shù)

【典例分析】

例題1.（2022?江蘇無錫?高三期中）已知cos住+U2＜9＜二則二

（4J51242sin~e+sin2。

的值為（）

、100100

A.——nB.-------

2121

「7575

心行D.—

【答案】A

【詳解】解：因為與苧＜，+￡＜24，所以sin仔+。］＜0,

1243414）

因為cos(7+e)=1,所以sin(?+e)=_|

所以，sine=sin|"(2+°]-2]=-3x立一士x^=-逋,

【4J4」525210

cos=cos—+0[/]工也上也=也,tan。二一7,

LUJ4J525210

1-tan0(1-tan6^)(sin26^+cos20^

所以,

2sin20+2sin0cos。2sii/0+2sin0cos0

2

(l-tan(9)(tan6>4-l)sx50100

2tan26>+2tan<9-98-14-7r

故選：A.

例題2.（2022?河南?駐馬店市第二高級中學(xué)而三階段練習(xí)（理））若sin6=；cos。，則

sin6>(1—sin2〃)

sin0+cos0

【答案】白

【詳解】sin6=；cos。，則cos。。。，則tan〃=g,

-cos-cos0-cos0

sin—sin20)_sin夕卜訪？2sin<9cos6+cos?6)sinC(sin0—cos0)2(2

。。

sin0+cossin0+cos0sin0+cos一cos0+cos。

2

I1cos2191111

---COS2Uzi=-----z------------=-------r—=

=1212cos'/9+sin26>12l+tan~612?5.

故答案為：A

例題3.（2022?江蘇?南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）已知tanO=；，求sin。和cos。

的值;

(2)已知sin9+2cose=0,求J"的值.

1-3COS26>

sin0=sin6=一

55.⑵丫

【答案】（1）或，

2石252

cos?=cos8=一

丁5

sing=1

【詳解】（1）由同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，則ian6=即cos0=2sinO,

cos。2

22

由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,則sin20+co』e=i,gpsin^+4sin^=l，解得sin8=土好，

5

rhcos夕=2sin〃，可得cose=±3叵，

5

.q石

sin0=——sin。=一

成,5

即可得5

02卮

cos^=------cos。

5

^=-2

(2)rhsine+2cos6=0,則sin6=-2cose,B[Jtan0=

cos。

2sin26^+1_2sin26^+sin2^+cos20_3sin2^+cos20_3(an2^+1=3x(2p+1=12+1=13

1-3cos20sin26?+cos2^-3cos20sin2^?-2cos20tan20-2(-2)~-24-22

【提分秘籍】

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、平方關(guān)系：sin2?+cos2a=1

2、商數(shù)關(guān)系：0=tana（。/%萬+立，keZ）

cosa2

關(guān)系式的常用等價變形

sin2a=1-cos2a<=>sina=±vl-cos2a

1、sin2a+cos2a=1O”

cos2a=1-sin2a<=>cosa=±V1-sin2a

sina=tanacosa

sina

2、-----=tana<=>sina

cosacosa=-------

tana

【變式演練】

1.（2022?四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知問痔），若言翳=%

a.a

cos—+sin-

則22_

a.a)

co、-sin

22

A.——B.\/5-2C.gD.2—\/5

【答案】D

【詳解】2+2sin2a=2(sina+ssa)>二9由八?、

得sina<0，cosa<0,所以

1+cos2a2cos2aI

sina+cosa_."

---------------=3,即niIsina=2cosa,

cosa

石

聯(lián)立sin、a+cos'a=1,解得sina=—cosa=------,

5

cos—+sin—cos[+si吟]"復(fù)1

所以----------=7-------------7)---------X=l±sin￡=_5=2_^

a.a(a.ct](a.a

cos--sin—cos——sin—cos—+sin-cosaV5

22122人22)T

故選：D.

22

2.（2022?福建省龍巖笫一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知sina-sin6=-y,cosa-cos/=§,

且則tan(a-p)的值為()

A2714R2而r75門非

A.------D.-------------C.----U.------

5522

【答案】B

【詳解】由sina-sin/?=-'!，得sin2a-2sinasin夕+sin:/?=6，

由cosa-cos/?=-|,得cos2a-2cosacosp+cos26=1，

Q5

兩式相加得，2-2cos(/z-/?)=|,所以可得cos(a-2)得，

因為sina-sin/7=-2<0,a,pe0彳,所以(a-夕)w(-半。，

所以sin(a-夕)=一二,可得tan(a-p)=-~，^.

故選：B

3.(2022?湖南?郴州一中高三階段練習(xí))若3sine-cos(4-e)=(),則sin28-cos?9=

3

【答案】

sinf)I

【詳解】3sin〃-8s(1一夕)=3sine+cos〃=0,/.tan0=,

_5

2

.八八2c2sin^cos^-cos02tan9-\Q3

/.sin2。一cos~。=-----；------；----=——-----=下子=一一

sin'Z?+cos'0tan'6^+1102

9

3

故答案為:.

4.(2022?湖北?丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測)已知。cosJ=21且，則

14)3

1-sin26_

cos28,

【答案】9+4石##4逐+9

【詳解】將sin"cos。=4^^兩邊平方，得I-2sin%os6=9+：',即sin2。=-

1+逑

因為夕e件,/所以2先作,2力，所以8s26=]故-叱夕=9+4石.

I4JV2)9cos26^1

9

故答案為：9+4石.

題型三：三角函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，對稱性問題

【典例分析】

例題1.(多選)(2022?重慶市永川中學(xué)校高一階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=sin(2x+°)(-]v0<|j的圖象關(guān)于直線x=?對稱，則()

A.由/(再)=/(9)=3可得玉是江的整數(shù)倍

B.函數(shù)/(x+?)為偶函數(shù)

C.函數(shù)f(x)在育,爭上為減函數(shù)

D.函數(shù)TV)在區(qū)間(0,10%)上有19個零點

【答案】BC

【詳解】因為函數(shù)〃幻的圖象關(guān)于直線x=?對稱，

所以2x^+0=4萬+三，keZ,可得/=A冗-wZ,

326

T7不冗LLl、l乃

又一彳＜彳，用「以。=一工

226

所以〃x)=sin(2x-^).

對于A,當芭二￡，七=g時，/（斗）=/'（工2）=:，但西一心二-［不是4的整數(shù)倍，故A錯

6223

誤；

對于B，/1+?）=sin2卜十號一看=sin（2x+3=cos2.E是偶函數(shù)，故BiE確；

對于C,當時，2》-￡/￡磐［由正弦函數(shù)性質(zhì)知它是減函數(shù)，故C正確；

32。L2。_

對于D,令/（x）=sin（2K-a=。，則2%-常=E/wZ,即工=考+多次eZ,

所以。＜專+號＜1。%解得一看＜2＜20-卷，

因為欠eZ,所以A=0,l,2,L,18,19共10個,故D錯誤,

故選：BC.

例題2.（多選）（2022?浙江?三門縣觀瀾中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/。）=843：+2）（0＞0）,

已知/“）在［0,2汨有且僅有4個零點.則下列說法正確的是（）

A./*）在（。，2兀）必有有2個極大值點B./3）在（0,2兀）有且僅有2個極小值點

C./⑶在（0譚）上單調(diào)遞增D.口的取值范圍是［］,1）

888

【答案】BI）

【詳解】解：依題意知。+7上1:*+卜

4

由于Ax）在［0,2汨有且僅有4個零點,

結(jié)合圖像及單調(diào)性可得

7兀，c兀97r

——<26W71+—<—,

242

1317

—<co<——,故D對;

88

.T兀l兀cn

令，=<vx+—€—,271(0+—,g(1)=cos/,

444

Qg〃)有1或2個極大值點,

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知/(")也有1或2個極大值,點，故A錯;

同理g")有2個極小值點,

所以f(k)有2個極小值點,故B對;

717tCt)Tt

當時，ze一,一+-

(484；

1317

一<(o<一

88

29兀n(oK33兀

<——+—<---<-7C,

64---8464

二.g(/)遞減,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得"X)遞減，故，錯?；

故選：BD.

例題3.(2022?全國?清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin(2,r+g)+sin2x向

左平移0個單位后為偶函數(shù)，其中0c。，5.則。的值為()

71CC冗?、71

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【詳解】/U)=sin2x+5]+sin2x

?C兀C?兀?-

=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2x

33

3?0G）

=—sin2x+——cos2x

22

=Gsin（2x+>^,

所以/“）的圖象向左平移。個單位后，得

y=V3sin2（x+8）+e=>/Jsin（2x+2夕+.），

因為此函數(shù)為偶函數(shù)，

所以2夕+2=q+EMeZ,得夕=四+如MeZ,

6262

因為此［。身，

所以。=4，

6

故選：D

【提分秘籍】

函數(shù)f(x)=sinxg(JV)=COSR

圖象廠

定義4\XZ-i0xJ^Z2?x

域

定義RR

域

值域MJ][-1,1]

周期7=2萬T=2兀

性

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)

性

單調(diào)在每一個閉區(qū)間[2Z萬一工,24"+兇]在每一個閉區(qū)間[2k4-乃,2k7t]

性22

(Z￡Z)上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)

(keZ)上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間

7T37r間[2%肛+7](kwZ)上都單調(diào)遞

[2%r+],2氏上都單調(diào)

減

遞減

最值當X=Ikjr（%￡Z）時，Xnax=1；

當x=2攵4+]（Z：￡Z）時，ynm=1;

當％=2攵）+乃（&wZ）時，

7T

當x=2攵乃一,MEZ）時，ymin=-1；%in=-1；

圖象對稱中心為中肛0)(女EZ),對稱中心為(2乃+生,0)(AwZ),

的對2

71

稱性對稱軸為直線x=k兀+TksZ)

2對稱軸為直線x=

【變式演練】

1.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2cos(3x+。)，則”卬=]+24開，kW

是“/(*)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】=(p=%+?k兀，&eZ時，/(x)=2cos(3x+^)=-2sin3.r,所以/(x)為奇函數(shù).

當八外為奇函數(shù)時，(p=三+k兀、kwZ.

綜上，"夕=1+2左乃，AwZ”是"/"）為奇函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2022?河南?南陽中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在［（）,§上遞增，且周期為"的偶

函數(shù)是（）

A.y=sinxB.y=cos2xC.y=tan(-x)D.y=|sin.r|

【答案】D

【詳解】對于A,5，=sinx是奇函數(shù)，故A不符合題意；

對于B,），=cos21為偶函數(shù)，周期丁=4="，但其在［0,彳］上單調(diào)遞減，故B不符合題意;

對于c,），=tan（-X）是奇函數(shù)，故c不符合題意：

時于D,），=|sinx|是偶函數(shù)，周期7=乃，在［0,自單調(diào)遞增，故D符合題意.

故選：D

3.（多選）（2022?江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高三階段練N）已知函數(shù)/（%）=2sin（2x-J

則下列各選項正確的是（）

A.函數(shù)/"）的圖象關(guān)于直線x=?對稱

石，0J對稱

c.函數(shù)/（“在一芻.，單調(diào)遞減

_2424_

D.函數(shù)“X）在［0,2句上恰有4個極值點

【答案】ABD

【詳解】A選項：令2x—J=g+A萬億wZ）,整理得x=%+且化eZ）,令4=0得x=

所以.1=（是）（X）的一條對稱軸，故A正確;

B選項：令2x［=iU（ZwZ）,整理得x后+陽丘2）,令女二一1得產(chǎn)一能所以

?個對稱中心,故B正確;

C選項：當xw■，券時，，=21-白-7,7,因為尸2sinr在一上單調(diào)遞增,

L2424J6|_44」［_44J

所以小）在xw時單調(diào)遞增，故C錯；

D選項：當x?0,2句時，/=2x-gj-g,號］,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得y=2sinf在

一9,苧1上有4個極值點，所以/（X）在［0,2句上恰有4個極值點，故D正確?

66

故選：ABD.

4.（多選）（2022?遼寧?沈陽市第四十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

f（A）=2sinxcosx-75（sin2x-cos2x）,判斷下列給出的四個命題，其中正確的命題有

（）

A.對任意的xeR,都有/（笄一彳）=/（力

B.將函數(shù)），=/（幻的圖象向左平移專個單位，可以得到偶函數(shù)

C.函數(shù)），=/1）在區(qū)間信笥上是減函數(shù)

D.“函數(shù)），=/（.?）取得最大值”的一個充分條件是““二5”

【答案】BCD

［詳解］/（x）=2sinxcosx-V3（sin2A--cos2x）

=sin2x+5/3cos2x=2sin2x+—,

、3yl

當X=f時，/W=°±±1，所以不關(guān)于x=g對稱，故A錯誤;

JIJ/3

函數(shù)/")圖象向左平移展個單位，得函數(shù)

y=2sin2(x+m+g=2sin2x吟=2cos2x,是偶函數(shù)，故B正確:

\1/，5I2)

當*vx〈V，則函數(shù)/")單調(diào)遞減，故C正確；

當x=A時，2%吟吟,所以/脩)=2,函數(shù)取得最大值，故D正確.

12乙)

故選：BCD

5.(多選)(2022?黑龍江?雞西市英橋高級中學(xué)高三期中)已知/(x)=sinx+6cosx,

則下列說法正確的是()

A./(x)的周期是2兀B.函數(shù)/(x)關(guān)于x=一對稱

0

C.向左平移勺關(guān)于原點對稱D-在"，/單調(diào)遞增

O

【答案】ABC

【詳解】/(x)=sinx+\/3cosx=2sinX+-

3)

對于A選項，最小正周期為〒=2n,故A正確.

對于B選項，設(shè)/(X)對稱軸為％=.%,則有毛+；=g+內(nèi)，keZ.

得/=三+",kw"L,當k=l時，?.故B正確.

66

對于C選項，/(x)向左平移后為2sinx+—+-=2sin(x+IT)=-2sinx.其對

JIJJ1

稱中心為(kr,0),左eZ.

則原點為其對稱中心.故C正確.

對于D選項，由-2+2EWx+4v2+2E,

232

得單調(diào)遞增區(qū)間為-孚+2以9+2H，kwZ

o6

則”X）在7^內(nèi)不是單調(diào)遞增，故D錯誤.

O

故選：ABC

題型四：根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式

【典例分析】

例題I.（2022?上海市行知中學(xué)高一期末）函數(shù)f（x）=Asin（s"）（其中A>0,1例《）

的圖像如圖所示，為了得到g（x）=co$2x的圖象，則只要將/（%）的圖象（）

A.向右平移?個單位長度B.向右平移展個單位長度

6

C.向左平移?個單位長度D.向左平移專個單位長度

O

【答案】D

【詳解】由圖像可知，/（X）的最小值為T,又A>0,所以A=l,

因為建TW，所以『=兀，所以@="=2,從而/（=）=sin（2x+。），

41234n

將信代入小），得而傳+8）=-1,故菖+0=與+2E4Z,得04+2日,

又闞后，所以e=：所以f（x）=sin（2x+g）,

對「A,將/⑴的圖象向右平移￡個單位長度得到），=sin2x-J+3=2sin2x,故A錯

6LvO；3_

誤；

對「B,將〃x）的圖象向右平移三個單位長度得到y(tǒng)=sin12「-馬+弓=2sinbx+J

12LV1213JI6

故B錯誤；

對于C,將/⑴的圖象向左平移.個單位長度得到y(tǒng)=sin2"/]=2sin（2x+與）

故C錯誤；

對FD，將/（工）的圖象向左平移專個單位長度得到

—.(?7T——

=2sin2x+—=2cos2x故I）正確.

I2j

故選:D.

例題2.（2022嚏國安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)/a）=Mcos（s+0）（M＞（）,

切〉o,兩苦）的部分圖象如圖所示，其中斗旭），5玲（）｝c惜，（））?將函數(shù)“力

的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移工個單位長度，

得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g"）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）.

17兀4E41;i4/ai

B.---+---,---+---仆Z)

363363

19兀4kit5兀4kn5兀4k兀2+駒

C.-------H,-----1-(keZ)D.一+---JwZ)

36--336-----3363363

【答案】D

【詳解】由題意得：[=號-工=?，

2lolo3

則丁=曰，。=當=3,所以f（x）=Mcos（3x+。）,

J1

將代入8s（3x+8）得：Mcos（3x5"n+e）=0,

18

+0=—卜2kjc（攵$Z）9則e=--卜2kn（ZwZ）.

1823

因為I同<*所以/=-?，故/(x)=Mcos(3x-g).

因為/(())=|，則Mcos]=T，解得M=3,故/(x)=3cos(3x-)

將函數(shù)〃x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到尸3cos弓

再向左平移尚個單位長度，得到g(x)=3cos?x+勺弋=3cos(1x-g),

1乙/JL4JI

人…,35兀，…/,~、.TJZ?57i44兀,29%4E,,一、

令2EK—x----<兀+2〃兀(eZ),解得：—----WxW-----1----(GZ).

224363363

SirzlICTTOOn^1liIT

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為^+―，^+—(AeZ),

故選:D.

例題3.(2022?山東日照?高一期末)若函數(shù)/(x)=Asin(2x+0)(A>O,O<e<5)部分圖

像如圖所示，則函數(shù)/*)的圖像可由)，=Asin2x的圖像向左平移個單位得到.

TT

【答案】

【詳解】由圖最高點可知A=2,周期/=號=兀，所以可得最高點乙=羽二7=工-?=￡故

1241246

人傳二），將其代入/（x）=2sin（2xm+e）=2=>2+e=5+2E,由于0<w<[,故>=],

所以/（x）=2sin（2x+^）,故可由y=Asm2x的圖像向左平移三個單位得到.

故答案為：7^-

12

例題4.（2022?廣西?柳州市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

g（x）=2sin（0x+e）（3>O，d<乃）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g（x）的圖象向右平移「個單

O

位長度，得到函數(shù)/（X）的圖象，則/信乃卜.

【答案】1

【詳解】由題圖可知，周期丁=乃，⑴爸=2,

所以g(x)=2sin(2x+*)(|d＜兀),

因為皚-2)在g(x)的圖象上，

所以2sinj苧+。1=一2,所以紅+0=網(wǎng)+2〃4次wZ,

16462

得*=與+2k冗、keZ,

因為陶〈乃，所以9=彳,

所以g(x)=2sin「x+4,

\3)

卜卜一升

所以f(x)=gx-J2T22/r=2sin(2x+(J,

I6T

故答案為：i

【提分秘籍】

必備公式

as\r\x±bcosx=yja2+Z?2sin(x±^>)?(其中tan0=,)；

輔助角公式

求/(X)=Asin(69x+(p)+B解析式

A,8求法A+B=/(x)

方法一：代數(shù)法〈，n,,nm方法二：讀圖法8表示平衡位置；A

[-A+B=f(x)n,n

表示振幅

①求法方法一：圖中讀出周期T,利用丁=至求解；

CD

方法二：若無法讀出周期，使用特殊點代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取

舍答案.

。求法方法一：將最高（低）點代入"r）=Asin3x+0）+8求解；

方法二：若無最高（低）點，可使用其他特殊點代入/（x）=Asin（5+e）+B求

解；但需注意根據(jù)具體題意取舍答案.

【變式演練】

/\

1.（2022唉國?高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f（x）=4sin（公r+Q）xeR,4>0,<y>O,|^|<y

X乙）

的部分圖象如圖所示，則卜.列說法正確的是（）

A./卜+甘為偶函數(shù)

k6）

B.7（x）的圖象向右平移?個單位長度后得到1y=Asin2r的圖象

0

C.小）圖象的對稱中心為（一作m0）,keZ

I）.小）在區(qū)間尺］上的最小值為-6

【答案】A

【詳解】/（力1山=2，A>0,/.A=2；

由圖象可知：/'（x）最小正周期r=4x6|q）=兀，.?.0=半=2,

又行

2sin2x^+92,:.—+(/)=—+2kn(kGZ),解得：(p=—+2hi(keZ),

<6y32266

乂網(wǎng)<5，"=2，?/（'）=2sin2x+—-

I6廣

對于A,

-.2cos(-2.v)=2cos2x,fx+g為偶函數(shù)，A正確;

I6)

對于B,B錯誤;

ITITKTL

對于C,令2x+V=E(ZeZ),解得：x=-—+—(Z;eZ),

\/(x)的對稱中心為(-3爭0)(&wZ),C錯誤；

對于D,當xw0.5時，2x+ge~7'~T?

.?.當21+塔=1，即時，/(x)n)in=2sin^=-l,D錯誤.

故選：A.

z

2.(2022?四川?石室中學(xué)高三期中(文))已知函數(shù)/(x)=Asin(s+*)A>0,^y>0,|^|<

的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.直線工=乃是函數(shù)/(司的圖象的一條對稱軸

B.函數(shù)/")的圖象的對稱中心為(一卷+4,0),keZ

C.函數(shù)人”在「當，號］上單調(diào)遞增

2O

D.將函數(shù)/(x)的圖象向左平移專個單位長度后，可得到一個偶函數(shù)的圖象

【答案】B

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A=2,最小正周期為—所以?=至=2.將