2026屆新高考數學熱點精準復習

導數中的構造問題高考解讀

高考題中經常出現指、對、冪的大小比較、解不等式等題目,這類題目的

命題形式以選擇題為主.解決這類題目常常結合代數式的特點,構造相應的函數,并結合

構造后函數的各類性質,如單調性、奇偶性、周期性等解題,當單調性不能直接得出時,

通常需要利用導數研究出函數的單調性,從而解決問題.高考溯源(2022新高考Ⅰ,7,5分)設a=0.1e0.1,b=

,c=-ln0.9,則

(

)A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.a<c<bC解析

因為ex≥x+1,當且僅當x=0時,有ex=x+1,所以當x=-0.1時,e-0.1>1-0.1=

,于是e0.1<

,a=0.1e0.1<

=b.設函數f(x)=xex+ln(1-x),則f'(x)=(x+1)ex-

=

.當0<x<0.1時,(1-x2)ex-1>(1-x2)(x+1)-1=x(1-x-x2)>0,所以f'(x)>0,f(x)在[0,0.1]上單調遞增,有f(0.1)>f(0)=0,即0.1e0.1+ln0.9>0,所以a>c.故c<a<b.高考仿真

(2024湖北武漢二模,7)設a=

,b=2ln

,c=

ln

,則a,b,c的大小關系是

(

)A.a<b<c

B.b<a<c

C.b<c<a

D.c<a<bB解析

由已知可得b=2ln

=ln

=ln

,c=

ln

=

ln

,若將

視為x,則在比較a,b的大小時,可構造函數f(x)=x-ln(1+sinx),因為x≥sinx在R上恒成立,所以

>sin

,所以b=ln

<ln

,設g(x)=x-ln(x+1),x∈(0,1),則g'(x)=1-

=

>0,所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上單調遞增,所以g

>g(0)=0,即

>ln

>ln

,所以a>b.比較a,c時可構造函數h(x)=x-

ln(x+1),x∈(0,1),則h'(x)=1-

=

,當x∈

時,h'(x)<0,當x∈

時,h'(x)>0,所以h(x)=x-

ln(x+1)在

上單調遞減,在

上單調遞增,所以h

<h(0)=0,即

<

ln

=

ln

,所以a<c,所以b<a<c.故選B.高考變式1.將單純利用單調性改為綜合利用函數多種性質典例1

(2025屆江蘇徐州睢寧高中階段練,7)已知函數f(x)=x2,則f

,f

,f

的大小關系為

(

)A.f

<f

<f

B.f

<f

<f

C.f

<f

<f

D.f

<f

<f

B解析

易證f(x)是偶函數,f(x)在

上單調遞增,令g(x)=

,x>e,則g'(x)=

<0,故函數g(x)在(e,+∞)上單調遞減,故g(e)>g(3)>g(4)>g(5),即

>

>

>

>0,而

=

,所以f

>f

>f

,所以f

<f

<f

.故選B.2.變具體函數為抽象函數典例2已知函數f(x)的導數為f'(x),且(x+1)f(x)+xf'(x)>0對x∈R恒成立,則下列函數在實

數集內一定是增函數的是

(

)A.y=f(x)

B.y=xf(x)C.y=exf(x)

D.y=xexf(x)D解析

由已知(x+1)f(x)+xf'(x)>0可得,xf(x)+f(x)+xf'(x)>0,即x(f(x)+f'(x))+f(x)>0,由f(x)+f'(x)結構

想到可構造y=exf(x),從而想到構造函數F(x)=xexf(x),則F'(x)=(x+1)exf(x)+xexf'(x)=ex[(x+1)f(x)+xf'(x)].(此處導函數中出現了與已知相同的結構)結合已知可得F'(x)>0,∴F(x)在R上單調遞增,故選D.歸納總結

抽象函數構造的常見類型已知的不等式中所含結構構造函數的方向xf'(x)-f(x)F(x)=

,F'(x)=

xf'(x)+f(x)F(x)=xf(x),F'(x)=f(x)+xf'(x)f(x)+f'(x)F(x)=exf(x),F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]f(x)-f'(x)F(x)=

,F'(x)=

xf'(x)+2f(x)F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)xf'(x)-2f(x)F(x)=

,F'(x)=

f(x)cosx+f'(x)sinxF(x)=f(x)sinx,F'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinxf'(x)sinx-f(x)cosxF(x)=

,F'(x)=

3.將普通構造變式為指、對同構典例3

(多選)(2024湖南名校第二次聯考,11)已知m,n∈(0,+∞),且m+lnm=

+

,n2en=-lnn,則下列結論正確的是

(

)A.m=en

B.n=em

C.mn<en

D.mn≥enAC解析

由n2en=-lnn,得nen=enlnen=

ln

,(變形后等號兩側出現了相同的結構,可利用該結構構造函數)因為

ln

>0,所以

>1,即0<n<1,則en>1,令f(x)=xlnx且x>1,所以由enlnen=

ln

得f(en)=f

,又因為f'(x)=1+lnx>0,即f(x)在(1,+∞)上單調遞增,所以en=

,由m+lnm=

+

,得m+lnm=

+

=

+ln

,(左右結構相同)又

>0,則

>1,令g(x)=x+lnx且x>0,則g'(x)=1+

>0,即g(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以m=

,即lnm=

.綜上,可知n是y=ex與y=

圖象交點的橫坐標,m是y=lnx與y=

圖象交點的橫坐標,由于y=lnx與y=ex互為反函數,所以它們的圖象關于直線y=x對稱,且y=

的圖象也關于y=x對稱,如圖,

所以B(n,en),A(m,lnm)兩點關于直線y=x對稱,所以m=en>1,且mn=nen=1,故mn<en=m.故選

AC.技巧