數(shù)列

一、等差、等比數(shù)列：1、知識(shí)圖表:

名稱等差數(shù)列等比數(shù)列

(1)a,,=d；(1)a/a=q；

定n+ln

義

(2)2%=%+%(〃22)(2)d=an-an_^n>2)

通

a—a+(〃一l)d=血+(q—d)a=6w°)

項(xiàng)nxn

公

a=a+(n-m)da"=a-q『m

式nmm

函是一次函數(shù)，增減由公差的符號(hào)決定

是指數(shù)函數(shù)，當(dāng)q<0時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列

數(shù)其前n項(xiàng)和是缺少常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)

性

當(dāng)q〉0時(shí)，由l<q<l、q〉l與生的

質(zhì)當(dāng)公差為零時(shí)，通項(xiàng)是常數(shù)函數(shù)，前n

項(xiàng)和是一次函數(shù)。符號(hào)共同決定。

前n項(xiàng)

S

和22

1-ql-q

公2

Sn+(〃]—gn=An+

式

Sn—做i(q—i)

a>b>c成等差o2b=q+c

a>b、c成等比

中（1）若〃+根=p+q,

項(xiàng)（1）若〃+zn=p+q,

性

則4?%=4?4

質(zhì)（2）與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和與

首末兩項(xiàng)之和相等；（2）與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積與首

末兩項(xiàng)之積相等；

注意：（1）、等差的通項(xiàng)其實(shí)質(zhì)就是關(guān)于n的一次函數(shù)式（所以其增減完全由公差的符號(hào)決

定），其前n項(xiàng)和是關(guān)于n的一個(gè)二次函數(shù)式（公差不為零，但常數(shù)項(xiàng)為零）或一個(gè)一次函

數(shù)（公差為零，不難得到此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)也為零），若一數(shù)列的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的一個(gè)二次

函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)不為零，則此數(shù)列是從第二項(xiàng)起才構(gòu)成等差數(shù)列。

例如：數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的且常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是數(shù)列｛qj為等差的充分

條件，而不是必要條件。

（2）等比數(shù)列中是沒有零這一項(xiàng)的；其通項(xiàng)可視為一個(gè)指數(shù)函數(shù)，不過其增減性得由2個(gè)

參數(shù)（q,q）來決定；例如：q<0時(shí)，等比數(shù)列沒有增減性，為典型的擺動(dòng)數(shù)列，而當(dāng)q〉0

時(shí)，又是要分%大于零、小于零，4大于1、小于1來決定增減；其前n項(xiàng)和的運(yùn)用最關(guān)

鍵的是要分q=1和q牛1兩種情況討論。

（3）常數(shù)數(shù)列是公差為零的等差數(shù)列，它是公比為1的等比數(shù)列嗎？（非零）

(4)等差加(減)等差還是等差，等比乘(除)等比還是等比。等差取指數(shù)得等比，正項(xiàng)

等比取對(duì)數(shù)得等差

2、等差、等比的運(yùn)算與技巧：(定義、公式與性質(zhì)的基本運(yùn)用)

(1)、知二求解：由已知列方程組：等差要用加減或代入消元，等比要用乘除消元。

(2013全國理)等差數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sio=O，S15=25,則nSn的最小值為

(2013四川理)在等差數(shù)列｛4｝中，％—4=8,且％為外和6的等比中項(xiàng)，求數(shù)列｛/｝的

首項(xiàng)、公差及前幾項(xiàng)和.

(2013山東理)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S“，且S4=4SZ，a2n=2an+\.(1)求數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和北，且北+氣壯=4(人為常數(shù))，令

cn=b2n(neN*),求數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和6。

(2)、知一求解：由己知運(yùn)用中項(xiàng)性質(zhì)解題；(這很重要，很多解不出的題要靈活用中項(xiàng)性

質(zhì))例1：等差數(shù)列｛〃篦｝中,2(〃2+&+。6)+。8+3(%1+43)=39，則)15=；

例2：(1)等比數(shù)列｛〃〃｝滿足：4+%=9,%-%=3，試求g的值。

(2)兩方程：兀+。=0,%2—1+匕二。的四個(gè)根恰好構(gòu)成一首項(xiàng)為L(zhǎng)的等差數(shù)列，則

4

a+b=

例3：已知等差數(shù)｛%｝共〃(幾24)項(xiàng)，前四項(xiàng)和為〃，最后四項(xiàng)和為6，S〃=S,則其項(xiàng)

QC

數(shù)〃為二^；[?=6,Z?=18,S=30]

a+b

例4：首項(xiàng)為正的等差數(shù)列｛a,J中，若S5=$2,則其前多少項(xiàng)和最大？

注：一般地：首項(xiàng)為正的等差數(shù)列｛4｝中，若S,,=Sm,則S"+〃,=0。

再如：等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S“，且%>0,若存在一個(gè)非零自然數(shù)上使得的左=S2ft，

那么一定有：(A)S左最大(B)S(最小(C)S*和S?]最大(D)S及和Si最大

3、幾公!t式,

⑴、普麥密■列,邑“_1=(2〃-l)a?；

S2

例電,已扣等姜版列(〃｛4｝、｛2｝的前n項(xiàng)和為S”、Tn,若2=」_,求生的值。

Tnn+3b5

(㈤S奇與S偶的關(guān)系，咨總項(xiàng)數(shù)名偶劇(^2n)時(shí)，S偶一S奇=成,

由總項(xiàng)數(shù)，奇數(shù)（電2〃+1）村，S奇一S偶=4+i=a中，且S奇+S偶=S2AHi=。〃利

田總項(xiàng)微名奇微（^>2n-1）時(shí)，S奇一S偶=4=/）/且S奇+S偶=S21=（2〃一I）4

例電：項(xiàng)數(shù)％奇數(shù)的等爰微列，若S偶=33,5奇=44,求此數(shù)列的中項(xiàng)狗項(xiàng)數(shù)。

（2）>得叱數(shù)列：若嘛8項(xiàng)制為S〃=9〃一。（〃wO且qwl）,則〃=7；

得晏照列；若麻”項(xiàng)右，，關(guān)于磔的二次備數(shù)且卒微項(xiàng)，零。/公差系，復(fù)/

若1帝數(shù)項(xiàng)，則表示第二項(xiàng)越的博差熬列。

（切、若S〃,得差（或等或J數(shù)列的嗡“項(xiàng)和，則處】SK，S2，一S/Ss”一S2"三微感等差（或

1a=

戚著叱J‘例冊(cè)”已知得比劇列｛〃〃｝中，S5=2,510=6,則％6+417"^~2O；

常電；已知博差裁列｛。"｝中，——=3,則——=/

$8§8

⑷伶咨的微；三皴氟暑麥微為a-d,a,a+d,四熬核，；a-3d,a-d,a+d,a+3d；

三數(shù)戚等比微名;“q,a,aq；四劇筱％;,aq.aqio

例為；市三數(shù)感等差，其布％72,若第三數(shù)加2,則三數(shù)感等比，求此三劇。

4、等差、等比的證明

證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列：可以用定義、中項(xiàng)性質(zhì)和通項(xiàng)公式這三個(gè)知識(shí)來解決。

例7、已知等差｛4｝數(shù)列，求證：（1）-^—+-^—++—^—+=^

⑶〃；一域+《―蠟++*—「*=7；—7（Q；_q；〃）。

2n-l

例2、若sin6,siiiz,cofi成等差數(shù)列，求證：2cos2。=cos2〃成立的充要條件是

sin仇sin/?,cos0成等比數(shù)列。

例3、已知｛g｝,S.為其前n項(xiàng)和，若q=L且Sm=4為+2(〃￡N*),(1)求證:

｛。用