高中數學B版4.2.1對數運算教學設計

教學課時：第1課時

教學目標：

1.通過事例使學生認識對數的模型，體會引入對數的必要性，理解對數的概

念，及常用對數和自然對數；

2.通過觀察分析得出了解對數運算與指數運算互逆關系，掌握對數式與指數

式的互化，理解對數的性質；

3.通過教學培養學生類比、分析、轉化、抽象概括能力，提高理解和運用數

學符號的能力。

教學重點：

引入對數的定義，熟練掌握指數式與對數式的互化。

教學難點：

理解對數的概念和性質。

教學過程：

一、情境與問題

請學生根據所學的指數函數的知識完成下表：（表格是開放性的，學生可以

填寫自己認為正確的數字）

X

y=2、

X.

一'

觀察學生填表，教師再給出示范：

X???-4-3-2一1012345

12_￡

y=r???12481632

16842

X.67.89,1()11.12131415

y=T6412825651210242048409681921638432768???

思考1:方程X5=32的一個實根是__________；（解答：X=2）

方程2x=128的一個實根是___________；（解答：x=7）

嘗試與發現：（1）若2*=1/32,則*=；（解答：-5）

（2）若2x=35”=；

（教師引導學生觀察指數函數的圖像尋找、估計方程中x的大?。?/p>

(3)在函數y=ax(a>0且awl)中,我們將靠指數x叫做以a為底y的

對數。

因此，(1)中-5是以2為底1/32的對數，那么,(2)中x是以2為底3

的對數。

思考2:滿足2x=3的x的值，我們用log23表示，即x=log23，并叫做“以

2為底3的對數"。那么滿足2x=16,4x=8的x的值可分別怎樣表示？

思考3:一般地，如果ax=N(a>0且awl),那么數x叫做什么?怎樣表

示？

【設計意圖】

回顧指數函數的概念，根據指數函數的圖像和性質，列表研究方程中未知數

的各種情形，引入對數的概念，激發學生學習對數的興趣，培養對數學習的科學

研究精神。

二、新課講授

1.對數的定義

一般地，如果ab=N(a>O,awl),那么數b叫做以a為底N的對數

(Logarithm)，記作:logaN，即b=logaN，其中,a—底數，N—真數JogaN

一對數式。

思考4:(1)在對數logaN中N有范圍限定嗎？為什么？

(2)loga(-2)、Iog20有沒有意義？

說明：(1)注意底數的限制a>0,且atl;

(2)負數和零沒有對數；

(3)注意對數的書寫格式。

log7M二

【設計意圖】正確理解對數定義中底數的限制，為以后對數型函數定義域的

確定作準備。

2.對數式與指數式的互化

x

a=N。10gaN=x.指數對數

指數式o對數式.幕數

展底數一a一對數底數.h

=N<=>logaN=b

指數一x一對數.

底數

賽一N-真數.

我們可以由指數式得到對數式，也可以由對數式得到指數式：

把下列指數式改寫成對數式：

72=49,5o=l,9-1/2=1/3

把下列對數式改寫成指數式：

log21/8=-3,log48=2/3

3.深入理解對數的定義

(1)對數式書寫的格式，體會loga(X+l)與logax+l的區別;

(2)對"log”的理解：就像我們在初中階段引入r,sin"等數學符號

一樣，是一個新的數學運算符號；

(3)回想：45的數學含義：①它表示一個非負實數；②它的平方等于5;

同理，Iog23這一數學符號的含義：

①它表示一個實數②以2為底這個實數做指數所得的幕的值恰好為3。

同理，logaN這一數學符號的含義：

①它表示一個實數②以a為底這個實數做指數所得的幕的值恰好為N。

(4)實質上，對數表達式是指數式的另一種表達形式。

4.兩個重要對數

思考5:滿足10x=N,ex=N(其中e=2.7182818459045...)中的x的值

可分別怎樣表示？這樣的對數有什么特殊名稱？

說明：(1)常用對數(commonlogarithm):以10為底的對數IgN;

(2)自然對數(naturallogarithm):以無理數e=2.71828…為底的

對數的對數lnNo

求值：

lg0.01=;lgl00=;lnl0=o

【設計意圖】學會表達特殊底的對數，并感受對數的大小，為以后對數運算

的準確作好準備。

三、探究活動、感悟數學

1.求下列各式的值：.

(1)log31=.

(2)logos1="

(3)In1=

發現結論：1的對數是零：log。1=0.

2.求下列各式的值：.

(1)log33=?、

(2)log030.3=-

(3)Ine="

發現結論：底數的對數是1：log〃a=l.

3.求下列各式的值：.

4

(1)log33=

2

(2)log090.9=.

(3)Ine8=

發現結論：對數恒等式：loga4"=".

4.求下列各式的值：“

(1)2bg”=.

(2).

(3)0.4*89=.

發現結論：對數恒等式：產利=N.

【設計意圖】讓學生獨立思考完成對數性質的研究,

歸納總結：(1)負數和零沒有對數；

(2)1的對數是零：logal=0；

(3)底數的對數是1:logaa=l;

(4)對數恒等式：logaan=n;

(5)對數恒等式：alogaN=No

四、課堂練習

1.計算下列各式的值：.

(1)log^22=-

/1'logo/

(2)-=”

UJ

(3)log拒81=~

(4)21O823-31O831+5lO85J=.

⑸l°gg(3+l)="

2.求下列各式中x的值.

2

(1)log2(X-2)=0

2

(2)log(2;(3x+2x-l)=1

(3)log2[log3(log4x)]=0

思考6:生物機體內碳14大約以每年0.012%衰減，湖南長沙馬王堆文物出

土時碳14的殘余量約是原始含量的76.7%,試推測馬王堆古墓距今有多少年?

【設計意圖】建立對數模型，解決實際問題，讓整節課從問題開始，又回到

問題解決中去，使學生在課堂上不斷思考新的問題，學會對數學概念展開學習的

方法。

五、對數的文化意義

對數發明是17世紀數學史上的重大事件為對數的發明與解析幾何的創立、

微積分的建立是17世紀數學史上的3大成就。伽利略說，給我空間、時間及

對數，我可以創造一個宇宙。布里格斯（常用對數表的發明者）說，對數的發

明，延長了天文學家的壽命。

對數的發明讓天文學家欣喜若狂，這是為什么？我們將會發現，對數可以將

乘除法變為加減法，把天文數字變為