中學必修5線性規劃

最快的方法

簡潔的線性規劃問題

一、學問梳理

1.目標函數：P=2x+y是一個含有兩個變量x和y的函數，稱為目標函數.

2.可行域:約束條件所表示的平面區域稱為可行域.

3.整點:坐標為整數的點叫做整點.

4.線性規劃問題:求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規劃

問題.只含有兩個變量的簡潔線性規劃問題可用圖解法來解決.

5.整數線性規劃:要求量取整數的線性規劃稱為整數線性規劃.

二、疑難學問導析

線性規劃是一門探討如何運用最少的人力、物力和財力去最優地完成科學探討、工業設計、經濟管

理中實際問題的特地學科.主要在以下兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、財務等資源肯定

的條件下，如何運用它們來完成最多的任務；二是給一項任務，如何合理支配和規劃，能以最少的

人力、物力、資金等資源來完成該項任務.

1.對于不含邊界的區域，要將邊界畫成虛線.

2.確定二元一次不等式所表示的平面區域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不

在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿意所給的不等式，若適合，則該點所在的一側即為不等式所表

示的平面區域；否則，直線的另一側為所求的平面區域.若直線不過原點，通常選擇原點

代入檢驗.

3.平移直線y=-kx+P時，直線必需經過可行域.

4.對于有實際背景的線性規劃問題，可行域通常是位于第一象限內的一個凸多邊形區域，此時變動

直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點.

5.簡潔線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際

問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）找尋線性約束條件，線性目標函數；（2）由二元

一次不等式表示的平面區域做出可行域；（3）在可行域內求目標函數的最優解.

積儲學問：

一.1.點P（xo,yo）在直線Ax+By+C=0上，則點P坐標適合方程，即Axo+By0+C=0

2.點P（xo,y0）在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當B>0時,Ax°+Byo+C>0;當B<0時，Axo+Byo+C<O

3.點P（x°,y。）在直線Ax+By+C=O下方（左下或右下），當B>0時,Ax°+Byo+C〈O;當B〈0時,Axo+Byc+OO

留意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側的全部點，把它的坐標（x,y）代入Ax+By+C,所得實數的符號都相同，

（2）在直線Ax+By+C=0的兩側的兩點，把它的坐標代入Ax+By+C,所得到實數的符號相反，

即：1.點P（xi,y）和點Q（xz,y?）在直線Ax+By+C=0的同側J,貝ij有（Axi+Byi+C）（Ax2+By2+C）>0

2.點P（xi,y）和點Q（xz,yz）在直線Ax+By+C=0的兩側,則有（Axi+Byi+OAxz+BG+C）<0

二.二元一次不等式表示平面區域：

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或〈0）在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側全部點組成的平面區

域.不包括邊界；

②二元?一次不等式Ax+By+C》0（或W0）在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側全部點組成的平面

區域且包括邊界；

留意：作圖時，不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.

三、推斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法：

方法一:取特殊點檢驗；“直線定界、特殊點定域

緣由：由于對在直線Ax+By+C=0的同一側的全部點（X,y）,把它的坐標（x,y）代入Ax+By+C,所得到的實數的符

號都相同,所以只需在此直線的某一側取一個特殊點（x。,y。），從Ax°+By0+C的正負即可推斷Ax+By+C>0表示直線

哪一側的平面區域.特殊地，當CW0時，常把原點作為特殊點，當C=0時，可用（0,1）或（1,0）當特殊點,

若點坐標代入適合不等式則此點所在的區域為需畫的區域，否則是另一側區域為需畫區域。

方法二：利用規律：

1.Ax+By+OO,當B>0時表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），

當B〈0時表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）；

2.Ax+By+C<0,當B>0時表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）

當B〈0時表示直線Ax+By+C=O上方(左上或右上)。

四、線性規劃的有關概念：

①線性約束條件：②線性目標函數：

③線性規劃問題：④可行解、可行域和最優解：

典型例題----------畫區域

1.用不等式表示以A(l,4),B(-3,0),C(-2,-2)為頂點的三角形內部的平面區域.

分析：首先要將三點中的隨意兩點所確定的直線方程寫出，然后結合圖形考慮三角形內部區域應怎樣表示。

解：直線A5的斜率為：心=4-0=],其方程為y=x+3.

AB1-(-3)

可求得直線8c的方程為y=-2x-6.直線AC的方程為y=2x+2.

A43C的內部在不等式x-y+3>0所表示平面區域內，同時在不等式

2x+y+6>0所表示的平面區域內，同時又在不等式2x—y+2<0所表

示的平面區域內(如圖).

x-y+3>0,

所以已知三角形內部的平面區域可由不等式組2x+y+6>0,表示?

2x-y+2<0

說明：用不等式組可以用來平面內的肯定區域，留意三角形區域內部不包括邊界線.

2畫出2x-3vy<3表示的區域，并求全部的正整數解(x,y).

x>0,y>0,

y>2x-3,XGz,yGz,

解：原不等式等價于而求正整數解則意味著x,y還有限制條件，即求,

y<3.y>2x-3,

”3?

依照二元一次不等式表示的平面區域，

知2x—3<yW3表示的區域如下圖：

對于2x—3<yW3的正整數解，簡潔求

得，在其區域內的整數解為

(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3).

3設xNO,y>0,z>0；p=-3x+y+2z,

q=x-2y+4z,x+y+z=1,用圖表示出點

(p,q)的范圍.

分析：題目中的p,q與x,y,z是線性關系.

可借助于x,y?z的范圍確定(p,4)的范圍.

x=^(8+g-6p),

3x-y-2z=_p,

解:

由<_2y+4z=g,得y:((14一5什3〃),

x+y+z=\,

z=—(5+4p+3g),

6p—q—8W0,

由xNO,yNO,z2()得?3p-5g+1420,畫出不等式組所示平面

3P+4q+520,

圖所示.

說明：題目的條件隱藏，應考慮到己有的x,y,z的取值范圍.借助于三元一次方程組分別求出x,y,z,

從而求出p,q所滿意的不等式組找出(p,q)的范圍.

4、已知x,y,a,b滿意條件：x>0,y>0,a>0,Z>>0,2x+y+a=6,x+2y+b=6

(1)試畫出(x,y)的存在的范圍；(2)求2x+3y的最大值。

典型例題二-----畫區域，求面積

y>lx+11-1

例3求不等式組《'1,,1所表示的平面區域的面積.

"W+1

分析：關鍵是能夠將不等式組所表示的平面區域作出來，推斷其形態進而求出其面積.而要將平面區域作出

來的關鍵又是能夠對不等式組中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對肯定值加以探討.

解：不等式y>卜+1|—1可化為y>x{x2-1)或y之-x-2(x<-1)；

不等式y4-|從+1可化為>4-工+1(》20)或'4》+1。<0).

在平面直角坐標系內作出四條射線：

AB：y=x(xN-l),AC：y=-x-2(x<-l)DE：y=-x+l(x>0),DF：y=x+l(x<0)

則不等式組所表示的平面區域如圖，由于A5與AC、OE與。戶相互垂直，所以平面區域是一個矩形.

依據兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為正和述.所以其面積為3.

22

典型例題三?求最值

一、與直線的截距有關的最值問題2=不+約，+。

1.如圖1所示，已知A3C中的三頂點A(2,4),8(-1,2),C(l,0),(-1,2)

點P(x,y)在ABC內部及邊界運動，請你探究并探討以下問題：

①z=x+y在點A處有最大值6,在邊界BC處有最小值1；

(1,0)

②z=x-y在點C處有最大值1,在點B處有最小值-3

(圖1)

ykx-y=-3

(2,4)

x-y=\

(-1,2)x+y=6

(1,0)

(圖2)

2x+y-12W0,

2若x、y滿意條件,3工_2)，+1020,求z=x+2y的最大值和最小值.

8(-2,2?

x-4y+10<0.

-2。2x

分析：畫出可行域，平移直線找最優解.

解：作出約束條件所表示的平面區域，即可行域，如圖所示.

作直線/:x+2y=z,即丫=一；X+；2,它表示斜率為7

縱截距為一的平行直線系,當它在可行

2

域內滑動時，由圖可知，直線/過點A時，z取得最大值，當/過點3時，z取得最小值.

z=2+2x8=18z.=—2+2x2=2

ITldAIII111

AzAZ

注：2=4+3)，可化為》=--x+—表示與直線y=--X平行的一組平行線，其中一為截距,特殊留意:

BBBB

斜率范圍及截距符號。即留意平移直線的傾斜度和平移方向。

變式：設x,y滿意約束條件(x-4y<-3

3x+5y<25

x>\

分別求：(Dz=6x+10y,(2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值，最小值。

二、與直線的斜率有關的最值問題

Z=二k表示定點P(X。,y0)與可行域內的動點M(x,y)連線的斜率.

x—y—2W0,,

例2設實數為y滿意x+2y-4》0,，則2=予的最大值是

2），-3W0,

解析：畫出不等式組所確定的三角形區域48C,z=2=2a表示兩點0(00),

P(x,y)確定的直線的斜率，耍

xx-0

求z的最大值，即求可行域內的點與原點連線的斜率的最大值.

可以看出直線切的斜率最大，故尸為x+2y-4=0與2y-3=0的交點,

即1點.故答案為g.

3.如圖1所示，已知A6c中的三頂點A(2,4),8(-l,2),C(l,0),

點P(x,y)在ABC內部及邊界運動，請你探究并探討以下問題：

(圖1)

若目標函數是z=』匚或z=3蟲，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何

意義求得Zmm和Zmax?

XX+1

三、與距離有關的最值問題

2-

z—x()}+(yy())~=(x-x0)**+(y-y())~=x~+y~+Ax+By+C(配方)的結構表不定點Q

(xo,y。)到可行域內的動點N(x,y)的距離的平方或距離。

1.已知x+y-520,x+y-10<0.求爐+產的最大、最小值.

分析-：令z=/+y2,目標函數是非線性的.而z=x2+y2=Q7Ip7可看做區域內的點到原點距離的平

方.問題轉化為點到直線的距離問題.

解：由，+)」520,得可行域(如圖所示)為

[x