中學數學導數學問點總結

導數作為探究函數的重要工具，也是進一步學習高二數學的根底，因此

同學們須要駕馭導數的重要學問點。下面是我整理的中學數學導數學問點

總結，歡送大家閱讀共享借鑒。

書目

中學數學導數學問點

中學數學導數要點

中學數學導數重點

團中學數學導數學問點

一、早期導數概念--特別的形式大約在1629年法國數學家費馬探究

了作曲線的切線和求函數極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大

值與最小值的方法》。在作切線時他構造了差分f(A+E)-f(A),發覺的因子E

就是我們所說的導數f(A)。

二、17世紀-一廣泛運用的〃流數術"17世紀生產力的開展推動了自然

科學和技術的開展在前人締造性探究的根底上大數學家牛頓、萊布尼茨等

從不同的角度起先系統地探究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術"

他稱變量為流量稱變量的變更率為流數相當于我們所說的導數。牛頓的有

關"流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》

和《流數術和無窮級數》流數理論的實質概括為他的重點在于一個變量的

函數而不在于多變量的方程在于自變量的變更與函數的變更的比的構成

最在于確定這個比當變更趨于零時的極限。

三、19世紀導數一-漸漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家

院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關于導數的一種觀

點可以用現代符號簡潔表示｛dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無窮

小分析概論》中定義導數假如函數y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間

保持連續并且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的

值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年頭以后魏爾斯特拉斯

締造了e-6語言對微積分中出現的各種類型的極限重加表達導數的定義也

就獲得了今日常見的形式。

四、實無限將異軍突起微積分其次輪初等化或成為可能微積分學理

論根底大體可以分為兩個局部。一個是實無限理論即無限是一個詳細的東

西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態上的過程比方無限接

近。就歷史來看兩種理論都有必需的道理。其中實無限用了150年后來極

限論就是此時此刻所運用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭辯

的問題后來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年

前的理論都不是最好的手段。

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團中學數學導數要點

1.求函數的單調性：

利用導數求函數單調性的根本方法：設函數yf(x)在區間(a,b)內可導,

(1)假如恒f(x)0,那么函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數;(2)假如恒f(x)0,那

么函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數；⑶假如恒f(x)0,那么函數yf(x)在區間

(a,b)上為常數函數。

利用導數求函數單調性的根本步驟：①求函數yf(x)的定義域;②求導

數f(x);③解不等式f(x)O,解集在定義域內的不連續區間為增區間;④解不

等式f(x)O,解集在定義域內的不連續區間為減區間。

反過來，也可以利用導數由函數的單調性解決相關問題(如確定參數

的取值范圍)：設函數yf(x)在區間(a,b)內可導，

⑴假如函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數，那么f(x)O(其中使f(x)O的x值

不構成區間)；

(2)假如函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數，那么f(x)O(其中使f(x)O的x

值不構成區間)；

(3)假如函數yg<)在區間(a,b)上為常數函數，那么f(x)O恒成立。2.求

函數的極值：

設函數yf(x)在xO及其旁邊有定義，假如對xO旁邊的全部的點都有

f(x)f(xO)(或f(x)f(xO)),那么稱f(xO)是函數f(x)的微小值(或極大值)。

可導函數的極值，可通過探究函數的單調性求得，根本步驟是：

⑴確定函數f(x)的定義域;(2)求導數f(x);⑶求方程f(x)O的全部實根，

xlx2xn,順次將定義域分成假設干個小區間，并列表：x變更時，f(x)和f(x)

值的

變更狀況：

⑷檢查f(x)的符號并由表格判定極值。3,求函數的最大值與最小值:

假如函數f(x)在定義域I內存在xO,使得對隨意的xl,總有f(x)f(xO),

那么稱f(xO)為函數在定義域上的最大值。函數在定義域內的極值不必需唯

一，但在定義域內的最值是唯一的。

求函數f(x)在區間［a,b］上的最大值和最小值的步驟：(1)求f(x)在區間

(a,b)上的極值;

(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比擬，得到f(x)在區間［a,b］上的最

大值與最小值。

4.解決不等式的有關問題：

(1)不等式恒成立問題(確定不等式問題)可考慮值域。

f(xXxA)的值域是［a,b］時,

不等式f(x)O恒成立的充要條件是f(x)maxO,即bO;

不等式f(x)O恒成立的充要條件是f(x)minO,即aO。

f(x)(xA)的值域是(a,b)時,

不等式f(x)O恒成立的充要條件是bO;不等式f(x)O恒成立的充要條件

是aOo

(2)證明不等式f(x)O可轉化為證明f(x)maxO,或利用函數f(x)的單調性,

轉化為證明f(x)f(xO)Oo

5.導數在實際生活中的應用：

實際生活求解最大(小)值問題，通常都可轉化為函數的最值.在利用

導數來求函數最值時，必須要留意，極值點唯一的單峰函數，極值點就是

最值點，在解題時要加以說明。

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團中學數學導數重點

一、求導數的方法

⑴根本求導公式

(2)導數的四那么運算

(3)復合函數的導數

設在點x處可導，y=在點處可導，那么復合函數在點x處可導，且即

二、關于極限

.1.數列的極限：

粗略地說，就是當數列的項n無限增大時，數列的項無限趨向于A,

這就是數列極限的描述性定義。記作：=Ao如：

2函數的極限：

當自變量x無限趨近于常數時，假如函數無限趨近于一個常數，就說

當x趨近于時，函數的極限是，記作

三、導數的概念

1、在處的導數.

2、在的導數.

3.函數在點處的導數的幾何意義：

函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，

即k=,相應的切線方程是

注：函數的導函數在時的函數值，就是在處的導數。

例、假設=2,那么=()A-1B-2C1D

四、導數的綜合運用