Page182024-2025學(xué)年高三第一學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別化簡和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,所以，即因?yàn)椋?即,所以存在兩種情況：且，且，因此推不出,同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，換元后可知只要滿足即可，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B5.已知球的半徑為1，其內(nèi)接圓錐的高為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑與母線，再由圓錐的側(cè)面積公式計算可得.【詳解】因?yàn)榍虻陌霃剑鋬?nèi)接圓錐的高為，所以圓錐的底面圓半徑為，母線長為，所以側(cè)面積為．故選：C．6.若為偶函數(shù)，則（）．A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；由為偶函數(shù)，得的圖象關(guān)于直線軸對稱；根據(jù)對稱性求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱；又當(dāng)時，，所以，故選：A.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點(diǎn)情況，進(jìn)而確定方程解的情況.【詳解】由已知，則，則，可知函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期，又當(dāng)時，，可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域?yàn)椋P(guān)于的方程至少有兩解，可得函數(shù)y=fx與函數(shù)的圖象至少有兩個交點(diǎn)，如圖所示，可知當(dāng)時，，解得，即，當(dāng)時，，解得，即，綜上所述，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點(diǎn)，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD10.如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（）A.B.C.四邊形的面積為D.平行六面體的體積為【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項(xiàng)通過空間向量的模長及數(shù)量積進(jìn)行判斷即可；C選項(xiàng)通過空間向量求出，進(jìn)而求出面積即可；D選項(xiàng)作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長，即可求出體積.【詳解】，則，故，A正確；，，，故，B正確；連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，C錯誤；過作面，易知在直線上，過作于，連接，由得面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，D正確.故選：ABD.11.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】分析】利用基本不等式和重要不等式將放縮后，求解不等式即可.【詳解】根據(jù)基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，因此，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；根據(jù)重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)異號時，，所以，選項(xiàng)D不正確；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)，，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.13.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.14.已知：函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若，且對任意，不等式)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，由，解不等式即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，則定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，當(dāng)時，g'x=f'x當(dāng)，，則有，即，所以，由，可得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程：（2）是函數(shù)兩個極值點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，從而表達(dá)出切線方程，再代入切線經(jīng)過的已知點(diǎn)，從而求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求出切線方程.（2）先求出函數(shù)的極值點(diǎn)（用參數(shù)a表示），再代入的計算式即可證出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，則導(dǎo)數(shù)．設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為．又切線過點(diǎn)，則，整理得，，解得．所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為．【小問2詳解】證明：依題意，，令，得．f00極大值極小值不妨設(shè)，則．所以為定值．16.在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān)．根據(jù)統(tǒng)計得下表：月份123456銷量122133415263（1）根據(jù)往年的統(tǒng)計得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程．請預(yù)測當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺？（2）該銷售商從當(dāng)年的前6個月中隨機(jī)選取3個月，記為銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）72臺（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計算出與后，借助回歸直線過樣本中心點(diǎn)即可得回歸直線方程，再借助回歸直線方程代入計算即可得解；（2）得出的所有可能取值后，計算每種取值對應(yīng)概率即可得其分布列，借助分布列計算即可得其期望.【小問1詳解】，，又回歸直線過樣本中心點(diǎn)，所以，得，所以，當(dāng)時，，所以預(yù)測當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售72臺.【小問2詳解】因?yàn)椋凿N量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)為4，5，6，所以，，，，，所以的分布列為：0123.17.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【小問1詳解】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)椋耘c均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．【小問2詳解】不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)椋裕从校。裕唬。裕裕瑥亩远娼堑恼抑禐椋?8.已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．【答案】（1）（2）存在，使得恒成立.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.【小問2詳解】若過點(diǎn)的動直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因恒成立，故，解得.若過點(diǎn)的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時注意直線方程的合理假設(shè).19.已知函數(shù)．（1）若，求的極小值．（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：有且只有個零點(diǎn)．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點(diǎn)，求出極小值.（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.（3）由導(dǎo)數(shù)為零，可找出極