試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學沖刺練習：利用矩形的性質求角度1．已知，在矩形中，，動點M從點A出發沿邊向點D運動．(1)如圖1，當，點M運動到邊的中點時，請證明；(2)如圖2，當時，點M在運動的過程中，是否存在，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由．2．如圖，正方形和正方形，連接，．易得線段（數量關系），（位置關系）．(1)[發現]：當正方形繞點旋轉，如圖，線段與之間的數量關系是；位置關系是；(2)[探究]：如圖，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數量關系與位置關系，并說明理由．3．如圖，矩形中，對角線與交于點，若．求的度數．

4．綜合與實踐如圖1，在矩形中，，，點，分別是邊，上的兩點，連接，交于點，且．數學思考：（1）求的值．類比探究：（2）如圖2，當四邊形為平行四邊形時，其他條件不變，求的值．拓展延伸：（3）在（2）的基礎上，若，，請直接寫出此時的長．5．如圖，在矩形中，、相交于點，于點．若，求的度數．6．如圖，矩形的對角線，相交于點，若，求的度數．7．如圖，矩形的對角線相交于點O，平分，交于點E，，求的度數．8．在矩形中，，平分，連接．(1)如圖1，求的度數；(2)如圖2，點F是延長線上的一點，與交于點G，于點H，的延長線交于點P，連接，探究之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，取的中點Q，連接，求的最小值．9．如圖，在矩形中，對角線相交于點O，于點E，于點F，連接與．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求度數．10．如圖，矩形中，為對角線，將以點為中心逆時針旋轉，點的對應點在邊上，點的對應點為點，連接交于點．(1)若，求的度數；(2)求證：為的中點；(3)若，求矩形的周長．11．已知：如圖，的對角線、相交于點O，E、F是上的兩點，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若四邊形是矩形，，求的度數．12．如圖，，P為中點，點M為射線上（不與點A重合）的任意一點，連接，并使的延長線交射線于點N，連接，設．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當四邊形是矩形時，求a的度數．(3)當時，a的取值范圍是______．（直接寫出答案）13．“三等分一個任意角”是數學史上一個著名問題．今天，人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中，是長方形，是延長線上一點，是上一點，并且．(1)求證：；(2)若，長方形面積為4，請直接寫出的周長______．14．如圖①，矩形的邊，，將矩形繞點逆時針旋轉角得到矩形，與交于點．數學思考：（1）填空：圖①中__________；（用含的代數式表示）深入探究：（2）如圖②，當點在對角線的垂直平分線上時，連接，求證：．15．如圖，矩形中，，點是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學沖刺練習：利用矩形的性質求角度》參考答案1．(1)見詳解(2)存在，理由見詳解【分析】（1）根據，點M是的中點，可得，再由矩形的性質，即可求證；（2）假設，則，可先證得，從而得到，然后設，則，可得到，再由，可得到，進而得到方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于0，即可求解．本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，一元二次方程根的判別式的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理，一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，，，點M是的中點，∴，∵∴，∴；（2）解：存在，理由如下：若，則，又∵，∴又∵，∴，∴，設，則，整理得：，∵，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于0，符合題意，∴當時，點在運動的過程中，存在．2．(1)，(2)，，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形和矩形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）證明得，，又，，得，所以，既可求解；（2）延長交于，交于，證明得，，所以，結合，可得，所以，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長交于，交于，四邊形和四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：如圖，延長交于，交于，四邊形與四邊形都為矩形，，，即，，，，，，，，，，，，，．3．【分析】本題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，解題關鍵是熟練掌握矩形的對角線相等且相互平分的性質．先由矩形的對角線相等且互相平分推知，結合三角形外角的性質和等腰三角形的性質即求解．【詳解】解：四邊形是矩形，對角線與交于點，，，，，∴．．，．，．．4．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據矩形的性質證明，可得，即可求出；（2）如圖，在上取點Q，使得，連接，根據平行四邊形的性質可證，可得，即可求出；（3）過A作于H，則，由平行四邊形的性質和含的直角三角形的特征求出，再根據勾股定理求出，根據（2）的結論求值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，，，，，，，，；（2）解：如圖，在上取點Q，使得，連接．，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，；（3）解：過A作于H，則，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，在中，，在中，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，綜合運用以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．【分析】本題主要考查了矩形的性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質等知識；熟練掌握矩形的性質和等腰三角形的性質是解題的關鍵．由矩形的性質得出，得出，由直角三角形的性質求出，即可得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；∴的度數為．6．【分析】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，鄰補角．熟練掌握矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，鄰補角是解題的關鍵．證明是等邊三角形，則，進而可求．【詳解】解：∵矩形的對角線，相交于點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的度數為．7．【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，矩形的性質，平行線的性質，能識別其中的特殊圖形是解此題的關鍵．根據矩形的性質和角平分線的定義得到，根據等邊三角形的判定和性質可得，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：在矩形中，，，∵，平分，∴，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴，又∵，∴．8．(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據矩形的性質，角平分線的定義，推出均為等腰直角三角形，再利用平角的定義，求出的度數即可；（2）延長交于點，先證明，得到，，進而證明，得到，再根據，結合等量代換，即可得出結論；（3）取的中點，連接，勾股定理求出的長，斜邊上的中線求出的長，根據，求出的最小值即可．【詳解】（1）解：∵在矩形中，，∴∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：延長交于點，由（1）知：，，，∴，∴，，∵矩形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點，連接，則：，∵為的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∵為的中點，∴，∵，∴的最小值為．【點睛】本題考查矩形的性質，斜邊上的中線，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判斷和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造全等三角形，是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)【分析】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質：（1）證明，得到，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得證；（2）矩形，得到，平行四邊形的性質，推出，，再利用角的和差關系求解即可．【詳解】（1）證明：∵，

∴∵四邊形是矩形

∴∵在△AOF和△COE中∴

∴∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是矩形

∴∵在中，

又∵

∴∵，

∴∵在中，∴．10．(1)；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）根據矩形的性質可得，進而由旋轉的性質可得，即可求解；（）過點作于點，證明得到即可求證；（）證明得到，設，則，，即得，求出即可求解；本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：在矩形中，，是由旋轉所得，，，；（2）證明：過點作于點，如圖，由（）知，，又∵，∴，在和中，，，，即為的中點；（3）解：，為的中點，，∴為等腰三角形，又∵，∴為等腰三角形，∵兩個等腰三角形有公共底角，，由（）知，，設，則，，，解得，∴，，∴，在中，，，，∴，矩形的周長為．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，矩形的性質，熟記特殊四邊形的性質是解本題的關鍵；（1）先證明，，再證明，從而可得結論；（2）證明，再進一步利用等腰三角形的性質與內角和定理可得答案．【詳解】（1）證明：在中，，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵四邊形是矩形∴，∴，∵，∴，∴；12．(1)見解析(2).(3)或，【分析】（1）根據平行線的判定可知，再根據全等三角形的判定與性質可知，最后根據平行四邊形的判定即可解答；（2）根據矩形的性質可知是等腰三角形，再根據等腰三角形的性質解答即可．（3）根據菱形的性質和三角形內角和定理進行分析即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵為中點，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴是等腰三角形，∴，∴在中，，即．（3）∵，四邊形是平行四邊形∴四邊形不可能是菱形，∴不可能是直角，即不可能是直角三角形，當時，，此時是鈍角三角形，當時，，此時是銳角三角形，當時，，此時是鈍角三角形，綜上可知，當時，a的取值范圍是或，故答案為：或，【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，菱形的性質、矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和，掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質、勾股定理等知識點，熟記相關幾何結論是解題關鍵．（1）根據題意得，結合即可求解；（2）根據題意可得，據此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，，的周長，故答案為：．14．（1）；（2）見解析【分析】本題考查矩形的性質、旋轉的性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）根據旋轉得到，結合矩形對邊平行即可得到答案；（2）證明即可得到答案．【詳解】解：（1）∵矩形繞點逆時針旋轉角得到矩形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故答案為：；（2）證明：∵點在對角線的垂直平分線上，邊經