試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學三輪總復習矩形與折疊問題解答題專項練習題1．綜合與實踐：如圖，矩形是一張紙，其中，小亮用該紙玩折紙游戲.操作：將紙對折，使、重合，折痕為，展開后，連接；操作：沿過點的直線折疊，使點落在上的點處，折痕為，展開后，連接MN；(1)若，求的長；(2)求證：點為的中點.2．將矩形紙片放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，，．(1)如圖①，沿折疊矩形，點落在處，交于點，求點F的坐標；(2)如圖②，點D是中點，點E在上，求的最小值；(3)如圖③，折疊該紙片，使點C落在邊上的點為，折痕為，點M在邊上，求直線的函數解析式．3．如圖，在矩形中，、交于點，將沿直線翻折得到．(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求點、之間的距離．4．已知在長方形中，，．按下列要求折疊，試求出所要求的結果．(1)如圖（1）所示，把長方形沿對角線折疊得，交于點F，求：(2)如圖（2）所示，折疊長方形，使落在對角線上，求折痕的長；(3)如圖（3）所示，折疊長方形，使點D與點B重合，求折痕的長．5．如圖，在矩形中，，，分別是邊上的點，將四邊形沿翻折，兩點的對應點分別為．(1)如圖1，當點落在上時，求證：；(2)如圖2，若，點與點重合，求的長；(3)如圖3，當點恰好落在的中點，交于點，連接，若為等腰三角形，求折痕的長．6．如圖，在矩形中，，，點E是邊上一點．(1)請用尺規作圖的方法，在邊上作出點F，使得三角形沿折疊時，點D的對稱點恰好落在點F處；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，標出點E，連接，求線段的長．7．【問題情境】已知在四邊形中，為邊上一點（不與點重合），連接，將沿折疊得到，點的對應點為點．【問題初探】（1）如圖（1），若四邊形是正方形，點落在對角線上，連接并延長交于點，直接寫出的度數：___________和的度數：___________．【拓展變式】（2）如圖（2），若四邊形是矩形，點恰好落在的垂直平分線上，與交于點．求證：是等邊三角形；【問題解決】（3）如圖（3），若四邊形是平行四邊形，，點落在線段上，為的中點，連接，求的面積．8．如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A的坐標是，頂點C在y軸上，頂點B在第一象限，對角線，交于點D，將沿翻折使點O的對應點落在坐標平面內的點E處，與交于點F．(1)求證：；(2)若，求的長；(3)若，點P在對角線上運動，當以P，A，E為頂點的三角形是等腰三角形時，求點P的坐標．9．如圖1，矩形中，，點E是上一點，連接，過點E作射線，交于點．(1)若．則的長為________；(2)如圖2，將沿翻折得到．連接．①若點在同一直線上，求的長度．②若是以為腰的等腰三角形，求的長度．10．如圖，已知在矩形中，，，點為邊上一點（不與點，點重合），先將矩形沿折疊，使點落在點處，(1)如圖，設，，請判斷與的數量關系，并說明理由；(2)若為中點，求的值；(3)若點落在矩形的對角線上，求的長．11．發現：如圖（1）所示，在正方形中，E是邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點G．(1)求證：；(2)探究：如圖（2），在矩形中，E為邊上一點，且，．將沿翻折到處，延長交邊于點H，且，求的長；(3)拓展應用：正方形的邊長為8，點E在邊上，將沿翻折到處，連接并延長交正方形一邊于點G．當時，求的長．12．【問題背景】矩形紙片中，，，點在邊上，點在邊上，將紙片沿折疊，使頂點落在點處．【初步認識】（1）如圖1，折痕的端點與點重合．①當時，______；②若點恰好在線段上，則的長為______；【深入思考】（2）若點恰好落在邊上．①如圖2，過點作交于點，交于點，連接．請根據題意，補全圖2并證明四邊形是菱形；②在①的條件下，當時，求四邊形的面積；【拓展提升】（3）如圖3，若，連接，若是以為腰的等腰三角形，直接寫出的長．13．【知識技能】（1）如圖1，在三角形紙片中，，點D在上，將沿直線翻折后，點B落在點E處，如果，那么線段的長為多少？【數學理解】（2）如圖2矩形中，，點E為上一點：且，將沿翻折，得到，連接并延長，與相交于點F，則的值為：【拓展探索】（3）如圖3，在矩形紙片中，，點E為射線上的一個動點，把沿直線折疊，當點A的對應點F剛好落在線段的垂直平分線上時，求的長．14．實踐操作：（1）在矩形中，，，點在上，連接繞點順時針旋轉90度點的對應點恰好在上．求的值；（2）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點在上，折痕為（點、是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原，當點在上，點在上時（如圖②），求證：四邊形為菱形，并求當時的菱形的面積；拓展延伸：（3）在矩形中，，，現將紙片折疊，點的對應點，折痕為，點與點重合，點在直線上且，線段與射線交于點，射線與射線交于點．直接寫出線段的長度．15．在矩形中，點E，F

分別在邊，上，將矩形沿折疊．

(1)若點A的對應點P落在邊上，點B的對應點為點G，交于點H．①如圖1，當P為的中點，且，時，則的長為；②如圖2，連接，當P，H分別為，的中點時，求的值．(2)若點A的對應點P落在邊上，如圖3，點B的對應點為點G．當，時，則的最小值為，的最大值為．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學三輪總復習矩形與折疊問題解答題專項練習題》參考答案1．(1)(2)見解析【分析】本題主要考查矩形性質、折疊性質、勾股定理以及方程思想。解題關鍵在于利用折疊性質得到相等線段，通過勾股定理建立等式（方程），進而求解線段長度或證明線段間的關系．（1）要求的長．需先根據矩形和折疊性質求出相關線段長度，再利用勾股定理求出，最后根據來計算．（2）要證明點為中點，可設長度為，長度為，通過折疊性質和勾股定理建立關于和的方程，求解得出與的數量關系．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，且，∴．，∴操作，對折后，，．在中，根據勾股定理．∵操作，根據折疊性質，∴．（2）解：設，則，設，∴．∴折疊性質知，．根據勾股定理得，∴．在中，根據勾股定理，即．∴．解得．∵，∴，∴點為的中點．2．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根據平行線和折疊的性質得：，設，根據勾股定理得解出可解答；（2）作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即的長，根據勾股定理可解答；（3）過作軸于，設，根據勾股定理列方程得求得點，然后利用待定系數法求得的解析式．【詳解】（1）解：由折疊得：，四邊形是矩形，，，，，，設，則，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如圖②，作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即，過作軸于，，是的中點，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如圖③，過作軸于，，，設，則，，在中，由勾股定理得：，，，．設的解析式為，將，代入得：，解得：，的解析式為．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質、矩形的性質及最短路徑的知識，綜合性較強，難度適中，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，本題輔助線的作法是關鍵．3．(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)8【分析】此題考查矩形的性質，菱形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握菱形的判定與性質是解答的關鍵．（1）先根據矩形的性質得，再根據翻折性質得到，根據菱形的判定即可得出結論；（2）根據菱形的性質和平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，進而得，再利用勾股定理求出即可解題．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵四邊形是矩形，對角線，相交于點O，∴，，，∴，∵將沿直線翻折得到，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，即，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是矩形，∴，，又，，∴，∴，即點、之間的距離為8．4．(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查了折疊求值，勾股定理，矩形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是運用勾股定理列方程．（1）可推出，設，則，在中，根據勾股定理得出，求得x的值，進一步得出結果；（2）可求得，的值，設，則，在中，根據勾股定理列出，求得x的值，進一步得出結果；（3）由（1）的結論可知：，，從而，，利用勾股定理即可求得的值．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊得：，∴，∴，設，則，在中，由得，，∴，∴；∴；（2）解：∵，，，∴，由折疊得：，，，∴，設，則，在中，由得，，∴，∴，∴；（3）解：作于點，則，∴四邊形是矩形，∵點D與點B重合，∴垂直平分，∴，由（1）知：，又點O是長方形中心，∴，同（1），∴，，∴．5．(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了矩形與折疊，解題關鍵是熟練運用矩形的性質、勾股定理和折疊的性質及等腰三角形的判定進行推理證明與計算；（1）根據折疊和平行證明即可；（2）設，則，根據勾股定理列出方程即可求；（3）過點P作于H，證明，設，則，由勾股定理列出方程即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，將四邊形沿翻折，，，，，；（2）解：四邊形是矩形，，，，設，則，在中，根據勾股定理，，即，解得，；（3）解：如圖3，過點P作于H，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，為的中點，，將四邊形沿翻折，，，，，為等腰三角形，，，，，，，，，，設，則，在中，根據勾股定理，，即，解得，即，，在中，根據勾股定理，．6．(1)見解析(2)5【分析】（1）以點A為圓心，為半徑畫弧交于點F即為所求；證明出，進而求解即可；（2）勾股定理求出，然后設，則，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示，點F即為所求；作平分∴又∵，∴∴，∴和關于對稱；（2）∵四邊形在矩形中，，，∴，由折疊得，∴∴∵，∴設，則∴在中，∴∴∴．【點睛】此題考查了矩形的性質，勾股定理，尺規作圖，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．7．（1），；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據正方形的性質，得到，由折疊的性質可知，，，進而推出，即可求出的度數；再根據等邊對等角和三角形外角的性質，即可求出的度數；（2）根據垂直平分線的性質和折疊的性質，得到，取的中點，連接，證明是等邊三角形，得出，進而推出，即可證明結論；（3）連接，延長、交于點G，先證明為等邊三角形，再解直角三角形，得到，，根據平行四邊形的性質證明，從而得出，即可求出的面積．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，由折疊的性質可知，，，，，，由折疊的性質可知，，，，故答案為：，；（2）證明：垂直平分線段，，，，由折疊的性質可知，，，，如圖，取的中點，連接，，，是等邊三角形，，，即，，，，，為等邊三角形；（3）解：如圖，連接，延長、交于點G，，，由折疊的性質得，，為等邊三角形，為的中點，，在中，，，，四邊形是平行四邊形，，∴，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，掌握相關知識點是解題關鍵．8．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）根據矩形的性質可知，根據平行線的性質得出，根據折疊得出，得出，即可證明結論；（2）根據矩形的性質得出，，，證明為等邊三角形，得出，求出，得出，求出；（3）分兩種情況：當時，當時，分別畫出圖形，求出結果即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，根據折疊可知：，∴，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴．∵將沿翻折后得到，∴，，，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴．（3）解：∵，∴當點P在線段上運動且不與點A重合時，．∴當是等腰三角形時，或．

如圖2，當時，點P與點D重合，作于點G．∵，∴．

∵，∴，∴，．∴．∴，如圖3，當時，作于點H．則，∴，∴，∴，綜上可知，點P的坐標為或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，平行線的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質，作出輔助線，注意進行分類討論．9．(1)；(2)①的長度為；②的長度為或．【分析】（1）根據矩形的性質，證明，得到，，即可求解；（2）①根據矩形的性質和翻折的性質證明，設，則，根據勾股定理即可求解；②分兩種情況討論：當時，當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：；（2）解：①由（1）知，，，，由翻折可得：，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴的長度為；②設，則，由翻折可得：，當時，，在中，，∴，解得：，當時，如圖，于點，∵，∴，，∵沿翻折得到，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，綜上，的長度為或．【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．10．(1)，理由見解析(2)(3)或【分析】（1）由矩形的性質得，由翻折的性質得，推得，將、代入即可求解；（2）延長與的延長線交于點G，證得，得，設，代入，得，利用勾股定理可求得、的值，通過即可求解．（3）分類討論：①利用勾股定理推得點不會落在對角線的交點上；②當點落在上時，利用矩形的性質推得，結合三角函數即可求解的值；③當點F落在上時，利用翻折的性質結合三角函數可得，即可求解的值．【詳解】（1）解：∵，∴，由翻折的性質可知，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如圖所示，延長與的延長線交于點G，故∵E為中點，∴，設，∵，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，化簡得，解得或（舍去），∴，∴，∵，∴．（3）解：①∵，，∴，∴，，∴點不會落在對角線的交點上；②當點落在上時，如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；③當點F落在上時，如圖所示，由翻折的性質可知，為的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了翻折圖形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，解一元二次方程，三角函數，線段垂直平分線的性質，熟練掌握翻折圖形的各種性質是解題關鍵．11．(1)見解析(2)(3)4或【分析】（1）先證明，，結合公共邊從而可得結論；（2）根據勾股定理求出，根據翻折，得出，，，，設，則，，在中，根據勾股定理得出，在中，根據勾股定理得出，則，解方程即可求解；（3）分G在和上討論，然后根據等腰三角形的性質，平行線分線段成比例，勾股定理等求解即．【詳解】（1）證明：∵將沿翻折到處，四邊形是正方形，∴，，∴，∵，，∴；（2）解∶在矩形中，，，∴，，∵，∴，．∴，∵翻折，∴，，，∴，設，則，，在中，，在中，，∴，解得，即；（3）解：當G在時，如圖，∵在矩形中，，，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵翻折，∴，∴，∴，∴；當G在時，如圖，連接，過作，∵，，∴，又，，∴，∴，∵翻折，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，設，則，∴，設，則，∴，∴，解得，∴，∴，綜上，的值為4或．【點睛】本題考查了矩形的折疊，正方形的折疊，勾股定理，平行線分線段成比例等知識．明確體，合理分類討論是解題的關鍵．12．（1）①；②2；（2）①見解析；②見解析；；（3）的長為或．【分析】（1）①根據折疊的性質直接計算即可；②根據折疊可知，，，，根據勾股定理求出，根據勾股定理得出，求出結果即可；（2）①先證明四邊形為平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出答案；②根據勾股定理列出方程求解，最后菱形面積等于矩形面積減去兩個三角形的面積計算即可；（3）分兩種情況：當時，當時，過點D作于點F，根據勾股定理和三角形全等的判定和性質，分別求出結果即可．【詳解】解：（1）①根據折疊可知，，∵，∴；故答案為：；②根據折疊可知，，，，∵四邊形為矩形，∴，，∴，在中，根據勾股定理得：，即，解得：，∴；故答案為：2；（3）①如圖，∵，∴，由折疊可知，，，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形；③由折疊可知，，∵，∴，在中，，即，解得：，∴，∴，；（3）由折疊可知，，設，則，，當時，在中，，解得：，∴此時；當時，過點D作于點F，如圖所示：∴，由折疊可知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，∴此時；綜上分析可知，的長為或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊性質，勾股定理，菱形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，余角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關性質，作出圖形，數形結合，并注意分類討論．13．（1）；（2）；（3）2.5或10【分析】（1）解得到，根據翻折的性質得到，則，那么；（2）由矩形得到，由沿翻折，得到，可知，過點作于M，可得，在中，則，，則，可得，求出，在中，即可求解；（3）當點F在矩形內部時，由折疊的性質得，在中，由勾股定理得，則，設，則，在中，由勾股定理即可求解；當點F在矩形外部時，由折疊的性質得，同①得，則，設，則，同理在中，由勾股定理即可求．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵由沿直線翻折后，可知∴，

∵，

∴，

∴，∴，∵，∴，∴，

∴；

（2）解：∵四邊形是矩形∴，由沿翻折，得到，可知：，如圖過點作于M，∵，∴，在中，∴，，∴，

∵，∴，又∵，∴，∴∴∴

在中，，，，∴；（3）解：∵四邊形是矩形，∴，設線段的垂直平分線交于點M，交于點N，則，∴四邊形為矩形，則，，

分兩種情況：①如圖，當點F在矩形內部時，由折疊的性質得，在中，由勾股定理得，∴，

設，則，在中，由勾股定理得，即，解得即的長為；

②如圖，當點F在矩形外部時，由折疊的性質得，同①得，∴，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即的長10，

綜上所述，當點F剛好落在線段的垂直平分線上時，的長為或10．【點睛】本題考查了解直角三角形，折疊的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．14．（1）；（2）證明見解析，菱形的面積為；（3）線段的長度為或【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，矩形與折疊，旋轉的性質，勾股定理等知識點；（1）由矩形和旋轉可證明，，，求出，再利用勾股定理計算的長度即可；（2）由折疊可得垂直平分，得到，，，再證明得到，即可得到，則四邊形為菱形，設，當時，，在中，由勾股定理列方程求解即可；（3）根據點在線段和線段外分情況討論，由折疊可得，，，得到，得到，再代入解方程即可．【詳解】解：（1）∵矩形中，，，∴，，，∵繞點順時針旋轉