專題強化訓練(五)

1.(2022?河北唐山一模)已知函數f(x)=—.

x+l

⑴討論f(x)的單調性；

⑵證明：f(x)雪.

(1)解:f(x)的定義域為(-8,T)U(-1,+8),f'(Xh盧口.

(l+x)

當X<-1時,(x)<0,f(x)單調遞減;當-l〈x〈0時，伊(x)<0,f(x)單

調遞減；

當x>0時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.故f(x)在(-8,-1)和(T,0)上單

調遞減，在(0,+8)上單調遞增.

⑵證明：令g(x)二(x+l)2尸,x20,

貝ijg'(x)=e1-x(l-x2),

所以當0Wx〈l時,g'(x)>O,g(x)單調遞增；

當x>l時,gz(x)<0,g(x)單調遞減,

所以g(x*g(l)=4,即(x+lTey,

從而二2中，所以f(x)2燮.

x+l44

又%+1_依(丘1)2>0

424

所以號2當且僅當x=l時取等號,故f(x)2

2.(2022?福建模擬預測)已知函數f(x)=e'-ax?-x-L

(1)當a=l時,求曲線y=f(x)在點(1,f(D)處的切線方程；

⑵若f(x)20,求實數a的取值范圍.

解：(1)S^f(x)=e-x2-x-l,當x=l時,切點為(1,e-3),

求導得f'(x)=e，-2x-l,故切線斜率為f，所以所求切線方

程為y-(e-3)=(e-3)(x-1),即(e-3)x-y=O.

(2)f(x)20等價于e'Nax'x+l恒成立，

當a>0時:上式不恒成立,證明如下：

當x<0時,ex<l,當x<-2時,ax2+x+1=x(ax+1)+1>1,從而e"2ax?+x+l不

a

恒成立,不符合題意；

當a<0時，ax?+x+lWx+1,下面先證明e'2x+l,令h(x)=ex-x-l,

則h'(x)=ex-l,

當x<0時,h'(x)<0,h(x)單調遞減；當x>0時,h'(x)>O,h(x)單調

遞增，

2

所以h(x)min=h(0)=0,即h(x)20,所以e"2x+l,而ax+x+Kx+l,

故ex>ax2+x+l,

綜上,若f(x)20,則實數a的取值范圍為(-8,0］.

3.(2022?河北模擬預測)已知函數f(x)=x-ae\aeR.

(1)當x20時，討論函數f(x)的單調性；

(2)若方程f(x)=0有兩個不相等的實數根xbX2(x《X2),證明：X1+X2>2.

⑴解:因為f(x)=x-ae\x^O,所以f'(x)=l-aex.

①當a《0時，f'(x)>0,f(x)在［0,+8)上單調遞增.

②當a>0時，令f'(x)=0,解得x=ln±

a

當a21時，In^WO,f'(x)WO,f(x)在［0,+8)上單調遞減；

a

當0<a<l時，1小>0,當x￡(0,Inb時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;

aa

當xe(Ini+8)時、f7(x)<0,f(x)單調遞減.

綜上，當aWO時，f(x)在[0,+8)上單調遞增；當a'l時，f(x)在

[0,+8)上單調遞減；

當°〈水1時，f(x)在(。,1*)上單調遞增，在(1卷+8)上單調遞減?

(2)證明：由(1)可知，當aWO時,f(x)單調遞增，當a>0時,f(x)在

(-8,5與上單調遞增,在(1￡+8)上單調遞減.所以若方程f(x)=0

aa

有兩個不相等的實數根Xhx2,則a>0,且f(lni)>0,所以(0,-).

ae

X1

ae=%]Xi-xX1+X

'即a=22

所以X2xx,a=-xxf

ae%2,ei-e2e1+e2

右3i+%2_e*i+e*2育％i+%2_e*2*i+i

一冗1一a2e"i一e"2‘x1~X2

(x-xi)(l+ex2-xi)

有Xi+X2二2

e2一4i-]

t

令X-Xj=t(t>0),有X1+X2二t(l+e)

2ef-l

(t-2)

(L2)et+t+2.；+2+l

又由XI+X-2=-，令g(x)=^|^+l(x>0),

2ef-lec-i人I乙

t+2

2x

有g'(X)二v由o獨

可知函數g(x)單調遞增,有g(x)>0,故有X1+X2>2.

4.(2022?廣東韶關一模)已知函數f(x)=logax-^,a>0且aWl.

⑴若a二e,求曲線y二f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)討論函數f(x)的零點個數.

解：(1)若a=e,則f(x)=lnx--,f(l)=0,又f'(x),一？所以

x+lx(X+1)

f'(1)與所以曲線y二f(x)在點(l,f(D)處的切線方程為y-o號(x-l),

即x-2y-l=0.

⑵函數f(x)的定義域為(0,+8),又f(x)=logkWF—W，所以函

x+lInax+l

數f(x)的零點個數,即方程Inx-(lna-0的解的個數，記h(x)=

x+l

Inx-(lna)W■，顯然x=l是函數h(x)的零點，h'(x)二':皿：

x+lx(x+l)

產+1,記g(x)=x2+(2-21na)x+l,方程g(x)=O中，△=

x(x+l)

(2-2Ina)2-4=41na(lna-2).

若△WO,則0<lnaW2,即l<a^e2,g(x)NO,

所以卜(x)20,所以函數h(x)在(0,+8)上單調遞增，函數h(x)有唯

一零點1.

若0<a<l,此時Ina<0,則g(x)>0,所以h'(x)>0,所以函數h(x)在

(0,+8)上單調遞增，函數h(x)有唯一零點1,

i-l

若a>e；由于h(x)+h(3=]nx-(lna)二"+ln二-(Ina)f—=0,

Xx+lX-+1

X

所以函數h(x)在(0,1)上的零點個數與在(1,+8)上的零點個數相同,

當x￡(0,1)時，g(0)=D0,g(l)=4-21na<0,所以我。￡(0,1),使得

g(xo)=0,

當x￡(0,Xo)時,g(x)>0,所以函數h(x)在(0,Xo)上單調遞增，

當Xe(X。,1)時,g(x)<0,所以函數h(x)在(x。,1)上單調遞減.

所以h(Xo)>h(l)=O,

又h(與二一Ina-lna(f-^-)=-lna