PAGEPAGE8課時作業(yè)15萬有引力與航天(二)時間：45分鐘1．2024年4月，我國勝利放射的天舟一號貨運飛船與天宮二號空間試驗室完成了首次交會對接，對接形成的組合體仍沿天宮二號原來的軌道(可視為圓軌道)運行．與天宮二號單獨運行時相比，組合體運行的(C)A．周期變大 B．速率變大C．動能變大 D．向心加速度變大解析：天宮二號單獨運行時的軌道半徑與組合體運行的軌道半徑相同．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可見周期與m無關(guān)，周期不變，A項錯誤．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知速率v與m無關(guān)，故速率不變，B項錯誤．組合體質(zhì)量m1＋m2>天宮二號質(zhì)量m1，則動能變大，C項正確．由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，可知向心加速度與m無關(guān)，故不變，D項錯誤．2．(多選)荷蘭某探討所推出了2024年讓志愿者登陸火星、建立人類聚居地的安排．登陸火星需經(jīng)驗如圖所示的變軌過程，已知引力常量為G，則下列說法正確的是(ACD)A．飛船在軌道上運動時，運行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠB．飛船在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能C．飛船在P點從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，須要在P點朝速度方向噴氣D．若軌道Ⅰ貼近火星表面，已知飛船在軌道Ⅰ上運動的角速度，可以推知火星的密度解析：依據(jù)開普勒第三定律可知，飛船在軌道上運動時，運行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠ，選項A正確；飛船在P點從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，須要在P點朝速度方向噴氣，從而使飛船減速到達軌道Ⅰ，則飛船在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅱ上的機械能，選項B錯誤，C正確；依據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mω2R以及M＝eq\f(4,3)πR3ρ，解得ρ＝eq\f(3ω2,4πG)，已知飛船在軌道Ⅰ上運動的角速度，可以推知火星的密度，選項D正確．故選A、C、D.3．如圖所示，a、b、c、d為四顆地球衛(wèi)星，a靜止在地球赤道表面還未放射，b是近地軌道衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星．若b、c、d的運動均可看成勻速圓周運動，下列說法正確的是(A)A．a(chǎn)的向心加速度小于a所在處的重力加速度B．在相同時間內(nèi)b、c、d轉(zhuǎn)過的弧長相等C．c在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為eq\f(π,6)D．d的運動周期可能為20小時解析：靜止在地球表面還沒有放射的衛(wèi)星，萬有引力與支持力的合力供應(yīng)其隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，即eq\f(GMm,R2)－FN＝ma0，而eq\f(GMm,R2)＝mg，所以a的向心加速度小于a所在處的重力加速度，選項A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得線速度與半徑的關(guān)系v＝eq\r(\f(GM,r))，由于b衛(wèi)星的軌道半徑最小，其線速度最大，d衛(wèi)星的軌道半徑最大，其線速度最小，所以在相同時間內(nèi)b衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的弧長最長，d衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的弧長最短，選項B錯誤；地球同步衛(wèi)星c運動周期為24小時，在4小時內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為eq\f(π,3)，選項C錯誤；高空探測衛(wèi)星的軌道半徑大于同步衛(wèi)星的軌道半徑，依據(jù)開普勒第三定律，其運動周期肯定大于24小時，選項D錯誤．4．2017年9月25日至9月28日期間，微信啟動新界面，其畫面視角從人類起源的非洲(左)變成華夏大地中國(右)．新照片由我國新一代靜止軌道衛(wèi)星“風云四號”拍攝，見證著科學家15年的辛苦和努力．下列說法正確的是(B)A．“風云四號”可能經(jīng)過無錫正上空B．“風云四號”的向心加速度大于月球的向心加速度C．與“風云四號”同軌道的衛(wèi)星運動的動能都相等D．“風云四號”的運行速度大于7.9km/s解析：由題可知，“風云四號”衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，而同步衛(wèi)星只能在赤道正上空，且高度保持不變，故A錯誤；依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝man，得an＝eq\f(GM,r2)，其中G為引力常量，M為地球質(zhì)量，r為軌道半徑，因“風云四號”衛(wèi)星的軌道半徑小于月球的軌道半徑，故“風云四號”的向心加速度大于月球的向心加速度，故B正確；與“風云四號”同軌道的衛(wèi)星都是同步衛(wèi)星，故線速度肯定相同，但不知道各個衛(wèi)星的質(zhì)量是否相等，依據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2知動能不肯定相等，故C錯誤；7.9km/s是衛(wèi)星圍繞地球表面運行的最大線速度，它的軌道半徑等于地球半徑，而“風云四號”的軌道半徑大于地球半徑，依據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))可知，其線速度小于7.9km/s，故D錯誤．5．2018年2月12日我國以“一箭雙星”方式勝利放射“北斗三號工程”的兩顆組網(wǎng)衛(wèi)星．已知某北斗導(dǎo)航衛(wèi)星在離地高度21500km的圓形軌道上運行，地球同步衛(wèi)星離地的高度約為36000km.下列說法正確的是(B)A．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球運動的周期大于24小時B．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度C．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的線速度小于地球同步衛(wèi)星的線速度D．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的加速度小于地球同步衛(wèi)星的加速度解析：依據(jù)題意可知北斗衛(wèi)星的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以依據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知半徑越大，周期越大，所以北斗的周期小于同步衛(wèi)星周期，即北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球運動的周期小于24小時，選項A錯誤；依據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，軌道半徑越大，角速度越小，所以北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，選項B正確；依據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知軌道半徑越大，線速度越小，所以北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的線速度大于地球同步衛(wèi)星的線速度，選項C錯誤；依據(jù)公式Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，軌道半徑越大，向心加速度越小，故此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的加速度大于地球同步衛(wèi)星的加速度，選項D錯誤．6．(多選)如圖所示，圓a和橢圓b是位于地球赤道平面上的衛(wèi)星軌道，其中圓a是地球同步軌道．現(xiàn)在有A、B兩顆衛(wèi)星分別位于a、b軌道運行，但運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相反，已知A、B的運行周期分別為T1、T2，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，P為軌道b的近地點．則下列說法正確的是(BC)A．衛(wèi)星A是地球同步衛(wèi)星B．衛(wèi)星B在P點時動能最大C．T0＝T1D．T1<T2解析：圓a是地球同步軌道，衛(wèi)星A的運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相反，所以不是地球同步衛(wèi)星，選項A錯誤；衛(wèi)星B在橢圓軌道上，在近地點P速度最大，動能最大，選項B正確；依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，可知衛(wèi)星A與地球同步衛(wèi)星距離地面高度相等，周期相同，選項C正確；橢圓軌道與圓軌道對比周期，依據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k(常數(shù))，衛(wèi)星A的軌道半徑大于衛(wèi)星B的軌道半長軸，所以T1>T2，選項D錯誤．7．“北斗”衛(wèi)星定位系統(tǒng)是中國自主研發(fā)，利用地球同步衛(wèi)星為用戶供應(yīng)全天候、區(qū)域性的衛(wèi)星定位系統(tǒng).2017年11月5日，兩顆北斗三號全球組網(wǎng)衛(wèi)星1號和2號在西昌“一箭雙星”放射升空，其中的1號衛(wèi)星軌道距離地面高度為h.把地球看作質(zhì)量分布勻稱的球體，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G.(1)求1號衛(wèi)星繞地球的線速度v的大小；(2)求1號衛(wèi)星繞地球運行周期T.解析：(1)設(shè)1號衛(wèi)星繞地球的線速度是v由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)解得v＝eq\r(\f(GM,R＋h))(2)設(shè)1號衛(wèi)星周期為T，萬有引力供應(yīng)向心力，由牛頓其次定律可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)解得T＝2π(R＋h)eq\r(\f(R＋h,GM))答案：(1)eq\r(\f(GM,R＋h))(2)2π(R＋h)eq\r(\f(R＋h,GM))8．(2024·天津卷)(多選)2018年2月2日，我國勝利將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星“張衡一號”放射升空，標記我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一．通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運動看作是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，依據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的(CD)A．密度 B．向心力的大小C．離地高度 D．線速度的大小解析：本題考查萬有引力定律的應(yīng)用，敏捷駕馭衛(wèi)星向心加速度的不同表達式是解題關(guān)鍵．萬有引力供應(yīng)衛(wèi)星圓周運動的向心力，則有Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma＝meq\f(v2,R＋h)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，其中GM＝gR2，可以求得衛(wèi)星離地面的高度h和衛(wèi)星線速度v；由于不知道衛(wèi)星的質(zhì)量m，無法求出衛(wèi)星所受向心力和衛(wèi)星的密度．故選項A、B錯誤，選項C、D正確．

9．(2024·江蘇省淮安、宿遷聯(lián)考)(多選)2024年4月，我國第一艘貨運飛船天舟一號順當升空，隨后與天宮二號交會對接．假設(shè)天舟一號從B點放射經(jīng)過橢圓軌道運動到天宮二號的圓軌道上完成交會，如圖所示．已知天宮二號的軌道半徑為r，天舟一號沿橢圓軌道運動的周期為T，A、B兩點分別為橢圓軌道的遠地點和近地點，地球半徑為R，引力常量為G.則(AC)A．天宮二號的運行速度小于7.9km/sB．天舟一號的放射速度大于11.2km/sC．依據(jù)題中信息可以求出地球的質(zhì)量D．天舟一號在A點的速度大于天宮二號的運行速度解析：7.9km/s是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，衛(wèi)星越高，線速度越小，則天宮二號的運行速度小于7.9km/s，選項A正確；11.2km/s是其次宇宙速度，是衛(wèi)星脫離地球引力的最小速度，則天舟一號的放射速度小于11.2km/s，選項B錯誤；依據(jù)開普勒第三定律知，eq\f(r3,T2)為常數(shù)，已知天宮二號的軌道半徑r，天舟一號的周期T以及半長軸eq\f(1,2)(r＋R)，可求出天宮二號的周期T1，再依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))r可求解地球的質(zhì)量，選項C正確；天舟一號在A點加速才能進入天宮二號所在的軌道，則天舟一號在A點的速度小于天宮二號的運行速度，選項D錯誤；故選AC.10．(2024·河南鄭州一模)(多選)2024年8月，我國在酒泉衛(wèi)星放射中心用長征二號丁運載火箭勝利將世界首顆量子科學試驗衛(wèi)星“墨子號”放射升空．如圖所示為“墨子號”衛(wèi)星在距離地球表面500km高的軌道上實現(xiàn)兩地通信的示意圖．若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是(BD)A．工作時，兩地放射和接收信號的雷達方向始終是固定的B．衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的速度小于7.9km/sC．可以估算出“墨子號”衛(wèi)星所受到的萬有引力大小D．可以估算出地球的平均密度解析：由于地球自轉(zhuǎn)的周期和“墨子號”的周期不同，轉(zhuǎn)動的角速度不同，所以工作時，兩地放射和接收信號的雷達方向不是固定的，故A錯誤.7.9km/s是衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大環(huán)繞速度，則該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的速度小于7.9km/s，故B正確．由于“墨子號”衛(wèi)星的質(zhì)量未知，則無法計算“墨子號”所受到的萬有引力大小，故C錯誤．由eq\f(GMm,R2)＝mg可求出地球的質(zhì)量，已知地球半徑可求出其體積，進而可以求地球的密度，故D正確．11．(多選)如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ.下列說法正確的是(AC)A．軌道半徑越大，周期越長B．軌道半徑越大，速度越大C．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度解析：萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，軌道半徑越大，周期越長，A項正確；萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，軌道半徑越大，速度越小，B項錯誤；假如測出周期，則有M＝eq\f(4π2R3,GT2)，假如再知道張角θ，則能通過幾何關(guān)系求得該星球半徑為r＝Rsineq\f(θ,2)，從而求出星球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)πR3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3，兩者結(jié)合可求得星球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)，C項正確；而D項中由軌道半徑無法求得星球半徑，故不能得到星球的平均密度，D項錯誤．12．(2024·江西紅色七校聯(lián)考)兩個天體(包括人造天體)間存在萬有引力，并具有由相對位置確定的引力勢能．假如兩個天體的質(zhì)量分別為m1和m2，當它們相距無窮遠時勢能為零，則它們距離為r時，引力勢能為Ep＝－Geq\f(m1m2,r).放射地球同步衛(wèi)星時一般是把它先送入較低的圓形軌道，如圖中Ⅰ軌道，再經(jīng)過兩次“點火”，即先在圖中a點處啟動發(fā)動機，向后噴出高壓氣體，衛(wèi)星得到加速，進入圖中的橢圓軌道Ⅱ，在軌道Ⅱ的遠地點b處其次次“點火”，衛(wèi)星再次被加速，此后，沿圖中的圓形軌道Ⅲ(即同步軌道)運動．設(shè)某同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為R，軌道Ⅰ距地面特別近，軌道Ⅲ距地面的距離近似為6R，地面處的重力加速度為g，并且每次點火經(jīng)驗的時間都很短，點