中央電大11—12學(xué)年度第一學(xué)期“開放本科”期末考試〔半開卷）

工程數(shù)學(xué)〔本〕試題

一、單項(xiàng)選擇邈[冬題3分，共15分）

1.設(shè)A、B為三階可逆矩陣，且A>0,那么以下成立的是〔B〕

A.|A+B|=|A|+|B|B,|AB|=|ABFIc.|AB-1|=|A||BID.|kK\-k|A|

2.設(shè)A是n階方陣，當(dāng)條件[A）成立時(shí)，n元線性方程組AX=b有唯一解。

A.r[A]=nB.r（A）<nC.|A|=0D.b=0

3.設(shè)矩解A?一-1的特征值為。，2那么3A的特征伍為〔B〕

1-1"

A.0,2B.0,6C.0,0D.2,6

4.假設(shè)隨機(jī)變量X?N[0,1）,那么隨機(jī)變量Y=3X-2?〔D〕

A.N[-2,3)B,N(-4,3〕C.N〔-4,3?〕D.N(-2,32〕

5對正態(tài)總體方差的檢臉用〔C）

A.U撿膾法B.t檢臉法C.72檢驗(yàn)法D.F檢驗(yàn)法

二、埃空題〔毋通3分，共15分）

（oA-'V'（O8]

6.設(shè)A、B均為二階可逆矩陣，那么，=

此O）0）

X1+工2+工3+工4=3

7.線性方程組，％+3工2+2芻+4%=6一般解的自由未知量的個(gè)數(shù)為仁

2%+x3-x4=3

8.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，假設(shè)P〔AB〕二P〔A〕P〔B〕，那么稱A與B相互獨(dú)立

9.假設(shè)隨機(jī)變量X?U[0,2],那么D〔X〕=l/5

io.假設(shè)a，”都是夕的無嗚估計(jì)，且滿足。（，）<。（，），那么稱q比a更有效。

三、計(jì)算題〔每題16分，共64分〕

,234、p11]

11.設(shè)矩陣A=123B=111，那么A-B可逆嗎？假設(shè)可逆，求逆矩陣

<231,、230,

123

解：因?yàn)閨A-B|=o12=1。0,由P70定理2.2可知，矩陣A-B可逆.

001

用初等行變換求矩陣A-B的逆矩陣:

」-21、

所以，(A—8尸=01-2

<001,

X]+2X2+3X3=2

12.在線性方程組(一玉+看=3一2中2取何值時(shí)，此方程組有解。在有解的情況下，求出通解

2x+

}3X2+5X3=1

解：線性方程的增廣矩陣化為階橋形矩陣

當(dāng)aw1時(shí)，方程組無解；當(dāng)2=1時(shí)，方程組有解,

x=-1

此時(shí)，原方程組化后，得方程組的一般解為《■，其中&是自由未知量

lx2-~X3+1

令芻二0,得方程組的一個(gè)特解X。=(-1,1,0)',

對應(yīng)的齊次線,性方程組化為

令玉=1,對應(yīng)的齊次線性方程組的根底解系X1=(-i-i,iy,

所以，原方程組的通解為：x=x0+k]x]=.

13.設(shè)隨機(jī)變量X?N(8,4〕求P〔|x-8|<1)和P〔XW12〕。(①〔0.5〕=0.6915,

①(1.0]=0.8413,6(2.0)=0.9773]

V_Q

解：因?yàn)閄?N(8,4),y--------------N(O,1).

2

所以，p(|x-8I<1)=P(|x-81<0.5)=P(-0.5<y<0.5)

2

Y_Q1_Q

P(X<12)=P(-^—<-^―^)=P(Y<2)=0(2)=0.9773

22

14.某切割機(jī)在正常工作時(shí)，切割的每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度

為10.5。〃，標(biāo)準(zhǔn)差為0.150"。從一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取4段進(jìn)行測量，測得的結(jié)果如下：【單位：J

10.4,10.610.110.4

問該機(jī)工作是否正常？(a=0.05,z%=〃0975=L96)

解：金屬棒長服從正態(tài)分布，JLI=1O.5??7/?7,cr=0.15,

假設(shè)Ho:.=10.5,H:〃w10.5

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量四數(shù)U=與巴=叱“5=-=-1.667

加"％0075

IUI=1.667<；/0975=1.96

/.接受”()，即該機(jī)工作正常.

四、證明題〔此題6分〕

15.設(shè)n階方程A滿足A?=I,AA'=/,試證A為對稱矩陣

證明：因?yàn)锳2=Z,AA=Z,

所以A!=IA：=A1A!=y4(^)=AI=A

即A為對稱矩陣.

工程數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇邈〔每邀3分，共15分〕

的一/=

1.方程組,04-X=相容的充分必要條件是B〕，其中〃jHO,i=1,2,3

3a2

“十七=%

A.a}+/+%=0B.%+a2-a3=0

C.《一。2+。3=0D.-q+/+%=0

2.設(shè)A,B都有是〃階方陣,那么以下等式中正確的選項(xiàng)是(C〕

A.|A+8|=|A|+|B|B.|A-+『|=|4尸+|B-

c.\AB\=\A\\B\D.|/LA|=2|A|

3.以下例題中不正確的選項(xiàng)是〔A〕

A.A與A”有相同的特征值B.A與4'有相同的特征多項(xiàng)式

C.假設(shè)A可逆，那么零不是A的特征值D.A與A'有相同的特征值

4.假設(shè)事件A與B互訴，那么以下等式中正確的選項(xiàng)是〔D〕

A.P(A)+P〔B〕=1B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A)=P[A|B)D.P(A+B]=P[A]+P[B]

5設(shè)隨機(jī)變量X,那么以下等式中不正確的選項(xiàng)是〔A〕

A.E(2X+1)=2E(X)B.O(2X+1)=4D(X)

c.D(X)=E(X2)-(E(X))2D.D(-X)=D\X)

二、填空題〔每題3分，共15分〕

-100-

6.假設(shè)3階方陣A=0-1-2,那么IA?一川=0

236

7.設(shè)4為〃階方陣，假設(shè)存在數(shù)4和非零〃維向量X,使得AX=2X,那么稱數(shù)4為4的

游征值

8.0(A)=0.2,P(8)=0.4,那么當(dāng)事件A,8相互獨(dú)立時(shí)，P(AB)=0.08

1234

9.設(shè)隨機(jī)變量X?那么〃=0.1

0.10.30.5a

10.不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量

三、計(jì)算題〔每題16分，共64分〕

1

11.設(shè)矩陣A=-1AX=B,^X.

1

12

解：:A=-1-1

3)

(/、

122100、100-5-42

??.(*/)=-1--10010T01053-2

111-2-11

3500/I.0

/

5-42、-5-42、"12)-1-6、

/.A-1=53-2.?.X=A-B=53-2-11—25

_

\2-11,-2-11704/；-I

—2x,+4X3—-5

2x,+3x?+%=4

12.求線性方程組《1JJ的通解.

3x1+8X2-2/=13

14陽

-X2+M=-6

解：增廣矩陣

原方程組化為：〈,令與=。得特解為：X。=(一1,2,0)'

令元得根底解系為：乂一

原方程組對應(yīng)的齊次方程組為：，-13,3=11=(2,1,1)'

X2=馬

所以原方程組的通解為：

X=Xo+AX|

13.設(shè)X?N(2,25),試求：[1]P(12<X<17)；〔2〕P(X>-3).

(0(1)=0.8413,①⑵=0.9772,中⑶=0.9987)

X-JLIX-2

解：4=2,5=5，令丫=?N(o,D

55

12-2、/17-2

.?.⑴P(12<X<17)=P(-------<Y<--------)=P(2<y<3)

55

=①⑶一(D(2)=0.9987-0.9772=0.0215