專題6.6計數原理全章十一大壓軸題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1涂色問題1．（2023下·江蘇宿遷·高二統考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．6002．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1，2，3，…，8.現準備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區域(如區域1與區域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種3．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？4．（2023下·山西運城·高二校考階段練習）一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖①，圓環分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？（2）如圖②，圓環分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？題型2題型2兩個計數原理的綜合應用1．（2023上·河南·高三校聯考開學考試）高二1、2、3班各有升旗班同學人數分別為：1、3、3人，現從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數為（

）A．12 B．15 C．20 D．212．（2023·全國·模擬預測）在正方形ABCD的每一個頂點處分別標上1,2,3,4中的某一個數字（可以重復），則頂點A,B處的數字都大于頂點C,D處的數字的標注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種3．（2023下·高二課時練習）為了確保電子郵箱的安全，在注冊時，通常要設置電子郵箱密碼．在某網站設置的郵箱中，(1)若密碼為4位，每位均為0?9這10個數字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？(2)若密碼為4?6位，每位均為0?9這10個數字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？4．（2023上·高二課時練習）某校數學課外活動小組有高一學生10人，高二學生8人，高三學生7人．(1)選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？(2)每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？(3)推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？題型3題型3元素（位置）有限制的排列問題1．（2023·全國·模擬預測）某中學進行數學競賽選拔考試，A，B，C，D，E共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名次.A和B去向教練詢問比賽結果，教練對A說：“你和B都沒有得到冠軍．”對B說：“你不是最后一名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種2．（2023上·浙江·高三校聯考期中）今年8月份貴州村籃球總決賽期間，在某場比賽的三個地點需要志愿者服務，現有甲、乙、丙、丁四人報名參加，每個地點僅需1名志愿者，每人至多在一個地點服務，若甲不能到第一個地點服務，則不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．643．（2023上·遼寧朝陽·高二校考期末）將0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的五位數，則：(1)可以組成多少個偶數？(2)可以組成多少個比13123大的數？4．（2023下·吉林四平·高一校考期中）某中學預計在“五?四”青年節當天，為高三學生舉辦成人禮活動，用以激勵在備考中的高三學生．學工處共準備了五首勵志歌曲，一個往屆優秀學生視頻發言，一個教師代表發言，一個應屆學生代表發言．根據不同的要求，求本次活動的安排方法．(1)三個發言不能相鄰，有多少種安排方法？(2)勵志歌曲甲不排在第一個，勵志歌曲乙不排在最后一個，有多少種安排方法？(3)往屆優秀學生視頻發言必須在應屆學生代表發言之前，有多少種安排方法？（結果用數字作答）題型4題型4相鄰、不相鄰排列問題1．（2023·河南信陽·信陽高中校考模擬預測）畢業典禮上，某班有a,b,c,d,e,f六人站一排照相，要求a，b兩人均不在排頭，且e,f兩人不相鄰，則不同的排法種數為（

）A．160 B．288 C．336 D．4802．（2023·四川涼山·統考一模）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種3．（2023上·高二課時練習）4名男生、3名女生站成一排，分別求滿足下列條件的站法種數．(1)男生和女生均相鄰；(2)男生均相鄰；(3)女生均不相鄰；(4)男生與男生、女生與女生均不相鄰；(5)至少有兩個女生相鄰．4．（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班級迎接元旦晚會有3個唱歌節目、2個相聲節目和1個魔術節目，要求排出一個節目單．(1)2個相聲節目要排在一起，有多少種排法？(2)相聲節目不排在第一個節目、魔術節目不排在最后一個節目，有多少種排法？(3)現在臨時增加1個魔術節目，要求重新編排節目單，要求2個相聲節目不相鄰且2個魔術節目也不相鄰，有多少種排法？題型5題型5分組分配問題1．（2023上·重慶永川·高三校考階段練習）為了全面推進鄉村振興，加快農村、農業現代化建設，某市準備派6位鄉村振興指導員到A，B，C，3地指導工作；每地上午和下午各安排一位鄉村振興指導員，且每位鄉村振興指導員只能被安排一次，其中張指導員不安排到C地，李指導員不安排在下午，則不同的安排方案共有（

）A．180種 B．240種 C．480種 D．540種2．（2023上·重慶·高三校聯考階段練習）加強學生心理健康工作已經上升為國家戰略，為響應國家號召，W區心理協會派遣具有社會心理工作資格的3位專家去定點幫助5名心理特異學生.若要求每名學生只需一位專家負責，每位專家至多幫助兩名學生，則不同的安排方法共有（

）種A．90 B．125 C．180 D．2433．（2023下·高二校考單元測試）6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種方法?(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分為三份，每份2本；(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.4．（2023上·高二課時練習）按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；(4)6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒．題型6題型6排列與組合的綜合應用1．（2023·四川雅安·統考一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有A,B,C,D,E五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有（

）A．420 B．460 C．480 D．5202．（2023上·遼寧丹東·高三校聯考階段練習）三個家庭的3位媽媽帶著2名女寶和2名男寶共7人踏春，在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；2名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數共有（

）A．192種 B．288種 C．144種 D．96種3．（2023下·天津北辰·高二校考階段練習）從1、3、5、7、9這五個數字中任取兩個數字，從0、2、4、6這四個數字中任取兩個數字.(1)共可組成多少個沒有重復數字的四位數?(2)共可組成多少個沒有重復數字的四位偶數?4．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期中）為慶祝3.8婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.(1)一共有多少不同的分組方案？(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了A、B、C、D、E、F六名女老師進行訓練，經訓練發現E不能站在5號位，若A、B同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？題型7題型7用賦值法求系數和問題1．（2023·全國·模擬預測）若(1?2x)2023=a0+A．?2 B．?1 C．0 D．22．（2023下·甘肅金昌·高二校考期中）若5x?42023=aA．a0=4C．a0+a3．（2023下·重慶榮昌·高二校考階段練習）已知1?2x7(1)a1(2)a0(3)a04．（2023上·高二課時練習）設2?3(1)a0(2)a1(3)a0題型8題型8求展開式中系數最大（小）的項1．（2023·全國·高三專題練習）在x?12A．52x92 B．154x2．（2023·全國·高二專題練習）若2+axna≠0的展開式中各項的二項式系數之和為512，且第6項的系數最大，則a的取值范圍為（A．?∞,0∪2,3 C．2,3 D．13．（2023上·高二課時練習）在3x?2y20(1)二項式系數最大的項；(2)系數絕對值最大的項；(3)系數最大的項．4．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）已知m,n是正整數，(1+x)m+(1+x)(1)當展開式中x2的系數最小時，求出此時x(2)已知12+2xm+n?12的展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為題型9題型9利用二項式定理證明整除問題或求余數1．（2024上·河北廊坊·高三校聯考期末）設a∈Z，且?7≤a<0，若152023?a能被7整除，則a=A．4 B．5 C．6 D．72．（2022下·重慶·高二校聯考階段練習）已知M=C301+C302+CA．6 B．7 C．11 D．123．（2023下·湖北黃岡·高二校考階段練習）已知fx=(1)求a2(2)求f(20)?20被6整除的余數.4．（2023下·安徽滁州·高二校考期中）已知在2x+33xn的展開式中，第3項的二項式系數與第(1)求n的值；(2)求展開式中含x2(3)用二項式定理證明：99n?1能被題型10題型10楊輝三角問題1．（2023上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，比歐洲早393年發現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和”猜想CB．由“第n行所有數之和為2n”猜想：C．第20行中，第10個數最大D．第15行中，第7個數與第8個數的比為7：92．（2023下·山東青島·高二校聯考期中）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（

）

A．1+B．第2023行的第1012個和第1013個數最大C．第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第7個數D．第34行中從左到右第14個數與第15個數之比為2：33．（2023上·湖南岳陽·高一校考開學考試）閱讀材料，完成相應任務：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”(如圖所示)，它揭示了(a+b)n(n為非負數根據上述規律，完成下列問題：(1)直接寫出(a+b)5(2)(a+1)8的展開式中a(3)利用上述規律求1154．（2023·江蘇·高二專題練習）在1+x+x2n(1)當n=2時，寫出三項式的系數的值；(2)類比a+bn,n∈N,n≥1的二項式展開式(楊輝三角)的規律，當1≤n≤4時，寫出三項式的(楊輝三角)數字表，并求出(3)求D2022題型11題型11\o"二項式定理與數列求和"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd29551/_