第二十講復雜抽屜原理在《簡單抽屜原理》中，我們學習了運用抽屜原理處理一些簡單問題，以及最不利原則的一些簡單應用．抽屜原理：把m個蘋果放入n個抽屜（m大于n），結果有兩種可能：如果沒有余數，那么一定有抽屜至少放了“”個蘋果；如果有余數，那么一定有抽屜至少放了“的商再加1”個蘋果．例題1（1）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一定有兩個顏色相同？（2）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一定有四個顏色相同？「分析」第（1）題中，好好思考一下，如果要想取出的球顏色都不相同，那么最多可以取出多少個球呢？

練習1箱子里有12種形狀不同的積木，每種都足夠多，一次至少要取幾個，才能保證其中一定有三個形狀相同？本講，我們要學習抽屜原理在計數、數字、表格、圖形等具體問題中較復雜的應用．要能根據已知條件合理地選取和設計“抽屜”與“蘋果”，有時還要構造出能達到最佳效果的例子．例題2盒子里有四色球各100個，每次從中摸出2個球，請問：至少要摸幾次，才能保證其中有三次摸出球的顏色情況是相同的？「分析」從盒子中取出2個球，顏色情況一共有多少種可能呢？練習2小高把一副圍棋混裝在一個盒子里，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，請問：他至少要摸幾次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？（圍棋子有黑、白兩種顏色）例題3將下圖3行7列的方格紙的每格染成紅色、黃色或綠色，要求每列的三個方格所染的顏色互不相同．請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的．「分析」題目要求我們說明有兩列的染色方法一樣，因此我們應該先考慮每列能夠怎么染色．方格紙一共有5列，根據抽屜原理，只要每列染色的方法少于5種，就會有兩列染色方式一樣．那每列有哪些不同的染色方式呢？練習3將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的．有很多抽屜原理的題目是與數字結合的，運用數字相關的一些知識來構造抽屜，這也是我們本講要學習的重要內容．例題41至30這30個自然數中，至少取出多少個數，才能保證其中一定有兩個數的和等于31？至少取出多少個數，才能保證其中一定有兩個數的差等于3？「分析」第（1）要求取出的數中，才能保證一定有兩個數和為31，那么我們應該首先考慮一下，要想使得任意兩數之和都不等于31，我們最多可以取出多少數呢？

練習41至20這20個自然數中，至少取出多少個數，才能保證其中一定有兩個數的和等于21？至少取出多少個數，才能保證其中一定有兩個數的差等于5？除了利用與數字相關的知識來構造抽屜之外，還有一些與圖形周長、面積相關的問題．這類問題往往需要根據圖形特點進行分割，從而構造出抽屜．例題5（1）在一個邊長為2的正方形里隨意放入3個點，這3個點所能連出的三角形面積最大是多少？（2）在邊長為4的正方形中隨意放入9個點，這9個點中任何三點不共線，請說明：這9個點中一定有3個點構成的三角形面積不超過2．（本題中的點都可以放在正方形的邊界上）「分析」（1）在邊長為2的正方形中放入3個點，我們比較容易想到正方形的三個頂點，三個頂點構成的三角形面積為2．那能否說明放在任意位置三角形面積都不超過2呢？

（2）由（1）的結論，正方形內3個點構成的三角形面積不超過正方形面積的一半．應該如何來構造抽屜呢？

例題6試說明：任意六個人中，一定可以找到三個互相認識的人，或者三個互不認識的人．「分析」我們不妨畫個圖來分析一下六個人之間的關系，用實線表示認識，用虛線表示不認識．思考一下，根據抽屜原理，你會發現其中的一個人“甲”與其他5個人的關系可能會是什么情況呢？課堂內外狄利克雷狄利克雷（Dirichilet，PeterGustayLejeune）德國數學家，1805年2月13日生于德國迪倫，1859年5月5日卒于格丁根．狄利克雷生活的時代，德國的數學正經歷著以高斯為前導的、由落后逐漸轉為興旺發達的時期．狄利克雷以其出色的數學教學才能，以及在數論、分析和數學物理等領域的杰出成果，稱為高斯之后與C.G.J.雅強比（Jacobi）齊名的德國數學界的一位核心人物．狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長．狄利克雷少年時即表現出對數學的濃厚興趣，據說他在12歲前就自己攢零錢購買數學圖書．1987年入波恩的一所中學，除數學外，他對近代史有特殊愛好，人們稱道他是個能專心致志又品行優良的學生．兩年后，他遵照父母的意愿轉學到科隆的一所教會學校，在那里曾師從物理學家歐姆，學到了必要的物理學基礎知識．16歲通過中學畢業考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數學為其終身職業．當時的德國數學界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學，于是狄利克雷決定到數學中心巴黎上大學，那里有一批燦如明星的數學家．1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學院和巴黎理學院攻讀．1825年，狄利克雷向法國科學院提交他的第一篇數學論文；1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學研究而奔走的A.洪堡的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學獲講師資格，后升任編外教授．1828年，狄利克雷又經洪堡的幫助來到學術氛圍較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學院．同年，他又被聘為柏林大學編外教授，開始了他在柏林長達27年的教學與研究生涯．由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，淳淳善誘，培養了一批優秀數學家，對德國成為19世紀后期國際上又一個數學中心產生了巨大影響．1831年，狄利克雷稱為柏林科學院院士．1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到格丁根大學任教．1858年夏，他去瑞士蒙特勒開會，做紀念高斯的演講，突發心臟病．他安全返回了格丁根，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭．作業1. 箱子里有5種顏色相同的積木，每種都足夠多，那么一次至少要取多少個，才能保證一定有5個顏色相同？2. 小高把一副圍棋棋子混裝在一個盒子里，然后每次從盒子里左右手各摸出1枚棋子，那么他至少要摸多少次，才能保證其中有三次摸出棋子的顏色情況是相同的？（圍棋子有黑、白兩種顏色）3. 從1至50中，至少取出多少個數，才能保證一定有兩個數的和是奇數？4. 能否在4行4