3.2.2函數的奇偶性（精講）一．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱1.奇函數?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函數?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.2.x具有對稱性．因為函數y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)與f(x)的關系，所以f(x)與f(－x)都有意義，即x與－x都應在函數的定義域內，所以定義域在數軸上關于原點對稱．否則，這個函數一定不具有奇偶性，例3.若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.4.既是奇函數又是偶函數的函數只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關于原點對稱的非空數集.二.函數的奇偶性與單調性1.若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a<b)上為增函數，則f(x)在[－b，－a]上為增函數，即在對稱區間上單調性一致(相同).2.若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a<b)上為增函數，則f(x)在[－b，－a]上為減函數，即在對稱區間上單調性相反.三.奇偶函數的運算性質在公共定義域內：1.兩個奇函數的和函數是奇函數，兩個奇函數的積函數是偶函數；2.兩個偶函數的和函數、積函數都是偶函數；3.一個奇函數、一個偶函數的積函數是奇函數.四.函數的對稱軸與對稱中心(拓展)(1)若函數f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T為常數)，則x＝T是f(x)的對稱軸.(2)若函數f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數)，則(a，b)是f(x)的對稱中心.一．判斷函數奇偶性的方法1.定義法：一求二看三判斷2.圖象法3.性質法設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函數奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪個區間上的解析式，x就設在那個區間上；(2)把x對稱轉化到已知區間上，代入到已知區間上的函數解析式中；2.利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).三．利用函數奇偶性和單調性解不等式1.利用圖象解不等式．2.轉化為簡單不等式求解．（1）利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上的單調性相反，去掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解．注意：列不等式(組)時不要忘掉函數定義域．四．比較大小的1.在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小．2.不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大小．五．函數的周期性、奇偶性與單調性的綜合應用函數周期性的概念：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數f(x)就叫作周期函數，非零常數T叫作這個函數的周期，T的最小正數取值稱為函數f(x)的最小正周期．考點一函數奇偶性的判斷【例11】（2023·山西）判斷下列函數的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【一隅三反】1．（2023春·上海寶山）函數的奇偶性為（

）A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數2．（2023·高一課時練習）函數的奇偶性是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數3．（2023·北京）下列函數中，是偶函數的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津濱海）下列判斷正確的是（）A．是奇函數 B．是偶函數C．是偶函數 D．既是奇函數又是偶函數5．（2023·全國·高一假期作業）對于兩個定義域關于原點對稱的函數和在它們的公共定義域內，下列說法中正確的是（

）A．若和都是奇函數，則是奇函數B．若和都是偶函數，則是偶函數C．若是奇函數，是偶函數，則是偶函數D．若和都是奇函數，則不一定是奇函數考點二奇偶函數的圖像特征【例2】（2022秋·安徽馬鞍山）已知定義在R上的函數是奇函數，且當時，．(1)求和的值；(2)求函數的解析式；(3)作函數的圖象，并寫出它的單調區間和值域．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一統考階段練習）已知．(1)判斷并證明函數的奇偶性；(2)判斷并證明函數在區間上的單調性；(3)根據函數的性質，畫出函數的大致圖像．2．（2023·河南三門峽·高一統考期末）已知函數的圖象關于原點對稱，且當時，．

(1)試求在上的解析式；(2)畫出函數的圖象，根據圖象寫出它的單調區間．3．（2022秋·福建福州·高一校聯考期中）已知函數是定義在R上的偶函數，如圖所示，現已畫出函數在y軸左側的圖象，

(1)請畫出y軸右側的圖像，并寫出函數的解析式和單調減區間；(2)若函數，求函數的最大值．考點三利用奇偶性求函數值【例31】（2023春·云南紅河）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則___.【例32】（2023·廣東）已知函數，且，則______．【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業）已知是上的奇函數，當時，，則（

）A．4 B． C．7 D．2．（2023·全國·高一假期作業）已知是定義在上的奇函數，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·湖南）已知函數，且，則______．考點四利用奇偶性求函數解析式【例41】（2022秋·江西景德鎮·高一統考期中）若是上的奇函數，且當時，，則當，______．【例42】（2023·廣西）已知函數是定義在R上的偶函數，當時，，則函數在R上的表達式為______．【一隅三反】1．（2023·重慶璧山）已知函數在上為偶函數，且當時，，則當時，的解析式是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高一假期作業）已知是定義域為R的奇函數，當時，，則當時，的表達式為_________．3．（2023·山東）已知奇函數則__________．考點五函數奇偶性的應用【例51】（2022秋·江西宜春·高一校考階段練習）設是定義在上偶函數，則在區間上是（

）A．增函數 B．減函數 C．先增后減函數 D．與，有關，不能確定【例52】（2023安徽）定義在上的偶函數滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（）A． B．C． D．【例53】（2023春·河南）已知函數為定義在上的奇函數，且當時，則關于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【例54】（2023春·江蘇揚州·高一統考開學考試）已知是定義在上的偶函數，對于任意的，（），都有成立．若，則實數m的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【一隅三反】1．（2023·江蘇鹽城）設是定義在上的奇函數，則＝（

）A． B． C． D．2．（2023福建）已知是奇函數且對任意正實數，恒有，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一單元測試）設偶函數在區間上單調遞增，則（

）A． B．C． D．4．（2023·廣東深圳）定義在上的偶函數在單調遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·高一課時練習）若函數在上是偶函數，在上單調遞增，則，，的大小關系是___________.6．（2023·貴州黔西·高一統考期末）已知定義域為的函數是奇函數且.若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_______.考點六函數性質的綜合運用【例61】（2023·北京）函數是定義在上的奇函數，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調性，并證明你的結論；(3)解關于的不等式．【例62】（2023春·廣西南寧·高一校聯考開學考試）設函數是定義在上的增函數，對于任意都有．(1)證明是奇函數；(2)解不等式．【一隅三反】1．（2023·江蘇蘇州）已知函數是定義在上的奇函數，且.(1)求函數的解析式；(2)判斷在上的單調性，并用單調性定義證明；(3)解不等式.2．（2023·陜西渭南）已知二次函數.(1)若函數是偶函數，求實數