1.1.1二課時(shí)空間向量的數(shù)量積TOC\o"13"\h\u題型1數(shù)量積的概念 ③求余弦值:利用數(shù)量積求余弦值或角的大小④定結(jié)果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大小【例題3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在三棱錐V?ABC中，VA⊥BC,A．60° B．90° C．30° D．不確定【變式31】1．（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐A?BCD中，AB、CD所成的角為A．cosB．cosC．cosD．cos【變式31】2．（多選）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1A．AB．AC．直線AC與直線BDD．BD1【變式31】3．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為_____________【變式31】4．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖：正三棱錐ABCD中，E?F分別在棱AB?AD上，AE:【變式31】5.（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．題型4利用空間向量的數(shù)量積求距離(線段長(zhǎng)度)【方法總結(jié)】利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|=aa【例題4】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD

【變式41】1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知a，b，c均為空間單位向量，它們之間的夾角均為90°，那么aA．2 B．13C．14 D．6【變式41】2．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB

A．25 B．26 C．36【變式41】3．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角A?EF?C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長(zhǎng)為1

A．2 B．3 C．3?2 D．【變式41】4．（多選）（2023·湖北武漢·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體P?ABC中，D、E分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），F(xiàn)為A．DE+EF的最小值為B．DF的最小值為2；C．若四棱錐F?BDEC的體積為24，則D．若BE?FE【變式41】5.（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，中心為點(diǎn)O，則以O(shè)為球心，1為半徑的球面上任意一點(diǎn)P與該正四面體各頂點(diǎn)間的距離的平方和：PA【變式41】6．己知二面角α?l?β為60°，A，B是棱l上的兩點(diǎn)，AC，BD分別在半平面α,β內(nèi)，(1)試用a,b,(2)求：異面直線CD與BA所夾角的余弦值．題型5投影向量【方法總結(jié)】類比平面向量投影的概念，借助圖形，敘述作出向量AB，在軸l上投影（空間稱為射影）的過(guò)程已知圖形向量AB=a，l為軸，向量e是l上與軸l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A’,作點(diǎn)B在l上的射影B’，則A'B’稱為向量AB在軸l上或在e的方向上的正射影；可以證明A’B’=|ABzhuyi注意：軸l上的正射影A'B’AB與l的方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，大小代表在l上射影的長(zhǎng)度.【例題5】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?913A．?91313b B．91313【變式51】1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1【變式51】2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB【變式51】3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在標(biāo)準(zhǔn)正交基i,j,k下，已知向量a=?2i+8j+3【變式51】4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2【變式51】5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB(1)確定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC?(2)確定PC在AB上的投影向量，并求PC?題型6最值與范圍問(wèn)題【例題6】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c是空間中兩兩不同的三個(gè)單位向量，且a?b:【變式61】1.（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期中）在三棱錐D?ABC中，已知AB=2,AC?A．1 B．2 C．3 D．4【變式61】2.（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EFA．?2,0 B．?1,0 C．0,1 D．0,2【變式61】3.（2022秋·福建·高二校聯(lián)考期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為6，P是四面體ABCD外接球的球面上任意一點(diǎn)，則PA?A．6?66,6+66C．33?36【變式61】4.（2022秋·貴州·高二統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2ABA．0,3 B．12,3 C．12【變式61】5.（2023秋·江西