北師大版高二寒假作業5：概率【基礎鞏固】單選題1.(2024·安徽省合肥市·月考試卷)袋中共放有6個僅顏色不同的小球，其中3個紅球，3個白球，每次隨機任取1個球，共取2次，則下列不可作為隨機變量的是(

)A.取到紅球的次數 B.取到白球的次數 C.2次取到的紅球總數 D.取球的總次數2.(2024·江西省南昌市·期末考試)夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為和，且兩地同時下雨的概率為，則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為

A. B. C. D.3.(2024·甘肅省隴南市·期末考試)在某地區的高三第一次聯考中，數學考試成績近似服從正態分布，試卷滿分150分，統計結果顯示數學成績高于120分的人數占總人數的，數學考試成績在80分到100分含80分和100分之間的人數為800，則可以估計參加本次聯考的總人數約為

A.1600 B.1800 C.2100 D.24004.(2024·河北省滄州市·期末考試)設隨機變量X的分布列，則

A. B. C. D.5.(2024·山東省濟南市·期末考試)隨機變量X的分布列為，，若，則

A. B. C. D.6.(2024·安徽省蚌埠市·期末考試)已知事件A，B，，，，則

A. B. C. D.二、多選題7.(2024·吉林省長春市·入學測驗)某計算機程序每運行一次都隨機出現一個十位二進制數例如，已知出現“0”的概率為，出現“1”的概率為，記，則當程序運行一次時

A.X服從二項分布 B.

C. D.8.(2024·江蘇省蘇州市·其他類型)高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆打子，上一層的每個釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子．如此繼續下去．直到滾到底版的一個格子內為止．現從入口放進一個白球，則(

)

A.小球從起點到第③個格子一共跳6次 B.小球從起點到第③個格子一共跳7次

C.小球落在第③個格子的概率為 D.小球落在第③個格子的概率為三、填空題9.(2024·安徽省六安市·期末考試)已知某種零件的尺寸單位：在內的為合格品．某企業生產的該種零件的尺寸X服從正態分布，且，則估計該企業生產的1000個零件中合格品的個數為

.10.(2024·廣西壯族自治區欽州市·其他類型)已知，，隨機變量X的分布列是：X012Pab若，則

；

.四、解答題11.(2024·廣東省深圳市·期末考試)某同學參加射擊比賽，每人配發3顆子彈.射擊靶由內環和外環組成，若擊中內環得8分，擊中外環得4分，脫靶得0分.該同學每次射擊，脫靶的概率為，擊中內環的概率為，擊中外環的概率為，每次射擊結果相互獨立.只有前一發中靶，才能繼續射擊，否則結束比賽.若已知該同學得分為8分的情況下，求該同學只射擊了2發子彈的概率；設該同學最終得分為X，求X的分布列和數學期望【拓展提升】一、多選題12.多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．若選項中有其中個選項符合題目要求，隨機作答該題時至少選擇一個選項所得的分數為隨機變量其中，則

A. B.

C. D.二、填空題13.(2024·江蘇省蘇州市·其他類型)某籃球隊為提高隊員的訓練積極性，進行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組.游戲規則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數之和為4次的稱為“神投小組”，獲得二次“神投小組”的隊員可以結束訓練.已知甲、乙兩名隊員每次投進籃球的概率分別為，，若，在游戲中，甲乙兩名隊員想結束訓練，理論上他們小組要進行

輪游戲才行.三、解答題14.(2024·江蘇省南京市·聯考題)某城市人口數量950萬人左右，共900個社區．在實施垃圾分類之前，隨機抽取300個社區，并對這300個社區某天產生的垃圾量單位：噸進行了調查，每個社區在這一天的垃圾量X大致服從正態分布將垃圾量超過32噸/天的社區確定為“超標”社區．請利用正態分布知識估計這900個社區中“超標”社區的個數；結果取整數部分通過研究樣本原始數據發現，抽取的300個社區中這一天共有7個“超標”社區，市政府決定對7個“超標”社區的垃圾來源進行跟蹤調查．現計劃在這7個“超標”社區中任取4個進行跟蹤調查，已知這7個社區中有3個社區在這一天的垃圾量超過35噸．設Y為抽到的這一天的垃圾量超過35噸的社區個數，求Y的概率分布與數學期望；用樣本的頻率代替總體的概率，現從該市所有社區中隨機抽取50個社區，記Z為這一天垃圾量超過32噸的小區的個數，求的值．參考數據：；；；15.(2024·廣東省深圳市·模擬題)一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.

求第2次摸到紅球的概率；

設第1，2，3次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為求，，，；

對于事件A，B，C，當時，寫出，，，的等量關系式，并加以證明.

1.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了隨機變量的概念和性質，屬于基礎題.

隨機變量具有不確定性，取球的總次數是2次，具有確定性，所以取球的總次數，不可作為隨機變量.【解答】

解：隨機變量具有不確定性，

而取球的總次數是2次，具有確定性，

取球的總次數，不可作為隨機變量.

故選2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查條件概率，屬于基礎題.

利用條件概率的概率公式即可求解.【解答】

解：設事件A表示“甲地區下雨”，事件B表示“乙地區下雨”，

則，，，

則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為：

故選3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查正態分布的實際應用，屬于基礎題.

根據給定條件，結合正態分布的對稱性求出成績在80分到100分的概率，即可求解作答.【解答】解：依題意，隨機變量，有，即正態曲線的對稱軸為，由，得，80分到100分含80分和100分之間的人數為800，所以設參加本次聯考的總人數約為n，則，解得：故選：4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查離散型隨機變量分布列的性質及應用，裂項相消法求和，屬于中檔題.

根據分布列的性質，概率之和為1可求出參數m，計算概率之和時用數列的裂項相消求和，進而求出【解答】解：，

，，則，

故選：5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查離散型隨機變量分布的性質以及方差公式，屬于基礎題．

由分布列的性質，可得，再根據期望公式，可推得，即可得a、b的值，再由方差公式即可求解．【解答】解：由題意可得，，所以

，所以

所以，

所以

故選：6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查條件概率的乘法公式，條件概率的概念與計算，屬于中檔題.

由條件概率公式得到，，再結合

，列式求解即可.【解答】

解：因為，

則，

因為，

則，

又，

則，

又，

所以，

可得

故選：7.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查二項分布的均值與方差，n次獨立重復試驗及其概率計算，屬于中檔題.

根據二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用二項分布的均值與方差即可得到X的期望和方差，從而判斷【解答】

解：由二進制數A的特點知，每一個數位上的數字只能填0，1，且每個數位上的數字互不影響，故X的可能取值有，且X的取值表示1出現的次數，由二項分布的定義可得：，故A正確；故，故B錯誤；因為，所以，，故C正確，D錯誤．故選：8.【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查了n次獨立重復試驗及其概率計算，屬于中檔題.

落在第③個格子的情況是下落過程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，由此能求出其落在第③個格子的概率.【解答】

解：從入口放進一個白球，

則落在第③個格子的情況是下落過程中的7次碰撞中，5次向左，2次向右，

而向左或向右的概率均為，

則向右的次數服從二項分布，

小球落在第③個格子的概率

故選9.【答案】840

【解析】【分析】本題考查正態分布的實際應用，屬于基礎題.

利用正態分布曲線的對稱性求解．【解答】解：，且，，估計該企業生產的1000個該種零件中合格品的個數為故答案為：10.【答案】

；

5

【解析】【分析】本題考查概率、方差的求法，考查隨機變量的分布列的性質、數學期望等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

利用隨機變量的分布列的性質、數學期望列出方程組，求出a，b，從而求出方差，進而能求出結果．【解答】

解：，，，

由隨機變量X的分布列知：

，

解得，，

，

故答案為：，11.【答案】解：記事件A：該同學得分為8分，事件B：該同學只射擊了2發子彈，由題知，，所以由題知X可能取值為，，，，，，，，所以X的分布列為X04812162024P

【解析】本題考查相互獨立事件的概念，條件概率，隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

記事件A：該同學得分為8分，事件B：該同學只射擊了2發子彈，利用相互獨立事件同時發生的概率公式得，，再利用條件概率公式即可求出結果；由題知X可能取值為，利用相互獨立事件同時發生的概率公式，分別求出X每個取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求出結果.12.【答案】BD

【解析】【分析】本題主要考查古典概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式以及數學期望，屬于較難題.

選擇情況共有情況：，分類討論，①時，的取值分別為；②時，的取值分別為③時，的取值分別為，利用古典概率計算公式、相互對立事件概率計算公式，即可求得概率，進而得出數學期望，即可求解.【解答】

解：選擇情況共有情況：，分類討論，

①時，的取值分別為，

所以，

，

所以；

②時，的取值分別為，

所以，

，

所以；

③時，的取值分別為，

所以，

所以；

所以，

所以，故B正確，A錯誤；

所以，

所以，故C錯誤，D正確；

故選13.【答案】32

【解析】【分析】本題考查獨立事件概率計算，二項分布的均值，屬于綜合題.

在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為，由二項分布的期望可得結果.【解答】

解：他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為

因為，且，

所以，當且僅當時取等號，

所以，

他們小組在n輪游戲中獲“神投小組”次數滿足，

由，，則，所以理論上至少要進行32輪游戲．14.【答案】解：每個社區在這一天的垃圾量X大致服從正態分布，

，

，

所以這900個社區中“超標”社區的個數為20；

由題可知隨機變量Y的取值為：0，1，2，3，

，，

，，

的分布列為：Y0123P則；

由可知隨機變量，

的值約為

【解析】本題考查正態分布的實際應用，考查超幾何分布的分布列與數學期望，屬于中檔題.

利用正態分布求解即可；

由