第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省西安交通大學蘇州附屬中學高一下學期期中數學試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.已知向量a，b滿足a=b=a?A.1 B.2 C.3 2.若cosπ6?α=1A.?79 B.79 C.?3.已知?ABC中，O為BC的中點，且AB=4,AB+AC=AB?A.14AB B.13AB C.4.在?ABC中，A為銳角，若sinA=35，cosB=A.1665 B.5665 C.5665或165.在?ABC中，若cosA?cosB+a?bcA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知函數f(x)=Asin(ω?x+φ)A>0,ω>A.ω=2，φ=π3 B.函數f(x)的圖象關于直線x=5π12對稱

C.函數f(x)的圖象關于?2π37.函數f(x)=2cosωx+π3?2(ω>0)，若y=f(x)A.6512,7112 B.6512,8.在三角形ABC中，已知AB?AC+BC=0，sinA=13，D是BC的中點，三角形ABCA.2192 B.512 C.二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.下列說法正確的是(

)A.?ABC中，D為BC的中點，則AB?AC=AD2?BD2

B.向量a=(1,2)，b=(2,4)可以作為平面向量的一組基底

C.若非零向量AB與AC滿足ABAB+ACAC?BC10.在?ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，下列敘述正確的是(

)A.若acosB=bcosA，則?ABC為等腰三角形

B.已知a=2，A=60°，則b+2csinB+2sinC=11.如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位：米)(在水面下則d為負數)，若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t(單位：秒)之間的關系為d=Asin(ωt+φ)+KA>0,ω>A.A=3

B.φ=?π6

C.盛水筒出水后至少經過403秒就可到達最低點

D.盛水筒P在轉動一圈的過程中，三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，A=60°，a=2，b=x，若三角形有兩解，則實數x的取值范圍是

．13.把函數f(x)=3sinωx+cosωx0<ω<2π的圖象向左平移π6個單位長度，得到的函數是奇函數，則ω的值為

14.記?ABC的三個內角A,B,C，且AB=4，AC=6，若O是?ABC的外心，AD是角A的平分線，D在線段BC上，則AO?AD四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知向量a，b滿足：a=2，b=3，2(1)求a與b的夾角θ的余弦值；(2)若λa+2b⊥16.已知在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acos(1)求A；(2)若?ABC為銳角三角形，且c=2，求?ABC17.如圖，一個直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒欲通過該直角走廊，求：(1)鐵棒長度L(用含θ的表達式表示)；(2)當a=b=2m時，能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值．18.在?ABC中，已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為邊BC上一點．(1)若acosB=3bcos(2)若∠BAC=2π3,AD平分19.已知函數f(x)=sin(2x+φ)(0(1)設g(x)=f(x)?fx+π3，f(x)為偶函數，若存在x∈0,(2)已知函數f(x)的圖象過點π6,1，設?(x)=cos2x+2asinx，若對任意的x1∈參考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.B

8.A

9.AC

10.BC

11.ABD

12.2,413.5；a≥π1514.12

15.【詳解】(1)由題可得2a因為a=2，b=3，代入可得cosa,b=a?bab(2)因為λa+2b化簡可得λa將a=2，b=3，a?b=4代入可得2

16.【詳解】(1)因為acos所以acos即asin由正弦定理，得sinA易知sinC>0,sinB因為A∈0,π(2)由題設及(1)可知，?ABC的面積S∵A=∵△ABC為銳角三角形，∴0<C∴tanC又∵S∴S

17.【詳解】(1)作出示意圖，鐵棒AB=L，∠ACD=∠在?ACD中，AC=在?BCE中，BC=所以AB=L=AC+BC=(2)當a=b=2mL=b=4令t=1sin2θ，因為θ所以sin所以L=41sin所以當t=1時，即θ=π4時，L的最小值為所以能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值為4

18.【詳解】(1)由acosB=3bcos又a2?b可得c?2bcos即sin(A+B)?2sinB即sinAcosB?cosAsinB=sinB結合tanA=3tanB，則tan因為B∈0,π，tanB≠0，解得(2)因為∠BAC=2π3,AD由S?ABC=即bc=(b+c)?由余弦定理a2則12=(b+c)2?bc.設b+c=t(t>0),12=t又b+c>23(令y=t?12t,t∈23

19.【詳解】(1)由f(x)為偶函數，則φ=π2+kπ，k∈Z所以f(x)=cos2x=3存在x∈0,π2，使不等式所以g(x)<2?m在2x+π所以2?m>?(2)由題設fπ6=sinπ所以f(x)=sin而x2∈0,π2對任意的x