/專題18.47矩形、菱形、正方形（最值問題）（專項練習）一、單選題1．如圖，在中，，，，點D在上，以為對角線的所有平行四邊形中，的最小值是（

）A．3 B．6 C．8 D．2．如圖，矩形中，點、分別為邊、上兩動點，且，，沿翻折矩形，使得點恰好落在邊（含端點）上，記作點，翻折后點對應點，則的最小值為（

）A． B． C． D．23．如圖，平面內三點A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．4．如圖所示，四邊形是正方形，邊長為6，點分別在軸、軸的正半軸上，點D在OA上，且點的坐標為，是上一動點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．5．如圖所示，正方形的面積為9，是等邊三角形，點E在正方形內，在對角線上有一點P，使的和最小，則這個最小值為（

）A．4.5 B．9 C．2.5 D．36．如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個動點，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，正方形的邊長為2，為對角線上一動點，，，當點從點運動到點的過程中，的周長的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，菱形中，對角線，，、分別是、上的動點，是線段上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．59．如圖，矩形中，，，E為上一點，且，F為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側作等邊，連接，則的最小值為（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.510．如圖，正方形中，，動點在邊上，以為直角邊向上作正方形，連接，則在運動過程中最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在邊長為2的等邊中，是上一動點，連接，以、為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為__________．12．如圖，在周長為16的菱形中，點E、F分別在邊上，，P為上一動點，則線段長度的最小值為____________．13．如圖．在矩形中，，．點P在線段上運動（含B、C兩點），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉到，連接，則線段的最小值為________．14．如圖，在菱形中，點是的中點，，，點為上一動點，求的最小值______．15．如圖，在矩形中，，將矩形沿直線折疊，使得點A恰好落在邊上的點G處，且點E、F分別在邊上（含端點），連接，當取得最小值時，折痕的長為___________．16．如圖，在矩形中，，，點在邊上，點在邊上，且，連接，則的最小值為______．17．如圖，正方形的邊長為8，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側作等邊，連接，則的最小值為__．18．如圖，正方形的邊長為2，點E為正方形內部一點，連接，且，點F是邊上一點，連接，則長度的最小值為___________．19．如圖，正方形中，，E是邊的中點，F是正方形內一動點，且，連接，，，并將繞點D逆時針旋轉得到（點M，N分別為點E，F的對應點）．連接，則線段長度的最小值為_____________．20．如圖，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值為______．三、解答題21．如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接、．(1)求證：；(2)求的面積；(3)在的條件下，求周長的最小值．22．如圖，在正方形中，點E在對角線上，點F在射線上，且四邊形是正方形，連接．(1)求證：．(2)______．(3)著，當點E在上移動時，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．23．如圖，正方形中，點為邊的上一動點，作交、分別于、點，連接．(1)若點為的中點，求證：點為的中點；(2)若點為的中點，，，求的長；(3)若正方形邊長為4，直接寫出的最小值________．24．【推理】如圖1，在邊長為10的正方形中，點是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連結，，延長交于點，與交于點．求證：．【運用】如圖2，在【推理】條件下，延長交于點．若，求線段DH的長．【拓展】如圖3，在【推理】條件下，連結．則線段的最小值為．參考答案1．A【分析】根據點到直線垂線段最短及平行線間距離處處相等，結合勾股定理即可得到答案．解：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴當時，最小，∵，∴四邊形是矩形，∴，故選A．【點撥】本題考查矩形判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理及點到直線垂線段最短，解題的關鍵是掌握點到直線垂線段最短．2．C【分析】連接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，則，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出當點G與點B重合時，GN最小，設，則，根據勾股定理即可求解．解：連接，，，以翻折后，點與點重合，，，，，四邊形為矩形，，，當的最小時，最小，由圖可知，當點與點重合時，最小，設，則，，在中，，，解得：，的最小值為．故選：C．【點撥】本題主要考查折疊問題、勾股定理，解答本題的關鍵是能找到點G與點B重合時，NH最小，這是解答本題的突破口．3．D【分析】如圖將繞點順時針旋轉得到．由旋轉不變性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，當的值最大時，的值最大，根據三角形的三邊關系求出的最大值即可解決問題．解：如圖，將繞點順時針旋轉得到，由旋轉不變性可知：，，，是等腰直角三角形，，當的值最大時，的值最大，，，的最大值為11，的最大值為．故選：D．【點撥】本題考查正方形的性質，動點問題，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題．4．B【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化，的值，從而找出其最小值求解．解：連接，交于，則就是和的最小值，∵再直角中，，，，∴，∴，∴和的最小值是，故選：B．【點撥】本題考查了最短路徑問題，涉及了正方形的性質、軸對稱、勾股定理等知識，解題關鍵是對這些知識的理解與綜合應用．5．D【分析】由于點B與D關于對稱，所以連接，與的交點即為P點．此時最小，而是等邊E的邊，，由正方形的面積為9，可求出的長，從而得出結果．解：設BE與交于點，連接，，∵點B與D關于對稱，∴，∴最?。哒叫蔚拿娣e為9，∴，又∵是等邊三角形，∴．故選：D【點撥】本題主要考查正方形的性質，軸對稱的性質，等邊三角形的性質，找到對稱點，添加輔助線是關鍵．6．C【分析】如圖作點關于的對稱點，連接，，由，推出，又是定值，即可推出當、、、共線時，定值最小，最小值．解：如圖作點關于的對稱點，連接，．在中，，，．，，，是定值，當、、、共線時，定值最小，最小值，的最小值為，故選：C．【點撥】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱，根據兩點之間線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．7．A【分析】先證明△ADE≌△CDP（SAS），求出AE＝CP，可得當DE⊥AC時，△EPC的周長有最小值，求出DE的最小值為，即可得出答案．解：正方形的邊長為2，，，，中，，，，在和中，，（SAS），，，∴當時，DE有最小值，此時EP有最小值，的周長有最小值，又，，，中，，，，周長的最小值．故選：A．【點撥】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理等知識．分析得出當DE⊥AC時，△CEP的周長最小是解題的關鍵．8．C【分析】根據勾股定理得到AB=5，過N作NQ⊥AB于Q交BD于P，過P作PM⊥BC于M，則PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，根據菱形的面積公式即可得到結論．解：設AC與BD交于點O，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，，，∴OA=3，OB=4，∴AB==5，過N作NQ⊥AB于Q交BD于P，過P作PM⊥BC于M，則PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，∵，∴NQ=，即PM+PN的最小值是，故選：C．【點撥】本題考查了軸對稱-最短距離問題，菱形的性質，菱形的面積的計算，正確的作出圖形是解題的關鍵．9．B【分析】以為邊作等邊，過點H作于N，于M，可證四邊形是矩形，可證，證明，可得，當時，有最小值，即有最小值，即可求解．解：如圖，以為邊作等邊，過點H作于N，于M，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴當時，有最小值，即有最小值，∴點F與點M重合時，，故選：B．【點撥】本題考查了旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10．B【分析】過點作，交的延長線于點，根據題意，首先證出，得到，，進而證出為等腰直角三角形，得到，當在上移動時，點在的角平分線上移動，當時，最短．再證得為等腰直角三角形，解這個直角三角形得，進一步再求出的最小值，從而得解．解：過點作，交的延長線于點，∵四邊形是正方形∴∴∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴∵∴∴∴，，∴，∴∴為等腰直角三角形∴∵∴∴當在上移動時，點在的角平分線上移動，當時，最短∵∴為等腰直角三角形∴∴∴∵，，∴故選：B．【點撥】本題主要考查的是線段的最小值的問題，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，解直角三角形，熟練掌握各種圖形的性質與判定，確定點的運動軌跡是解本題的關鍵．11．【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當時，線段取最小值．解：如圖，與相交于點，在中，，四邊形是平行四邊形，，．當取最小值時，線段最短，此時．點是的中點，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，以及垂線段最短．解答該題時，利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質．12．【分析】在上截取，連接，則與的交點為，的長就是的最小值，據此即可求解．解：∵菱形的周長為，∴，在上截取，連接，則與的交點為．∴，∴，即的長就是的最小值，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱，理解菱形的性質，對角線所在的直線是菱形的對稱軸是關鍵．13．【分析】以為邊向右作等邊三角形，作射線交于點E，過點D作于H，連接，根據矩形的性質得，根據，都是等邊三角形得，，，可得，用SAS可證明，得，根據得，根據，，在中，設，則，根據勾股定理得，，進行計算得，，即可得點Q在射線上運動，根據得，根據，，得，根據垂線段最短，即可得當點與點重合時，的值最小，最小值為．解：如圖所示，以為邊向右作等邊三角形，作射線交于點E，過點D作于H，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵，都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴在中，設，則，根據勾股定理得，，，，，（舍），∴，，∴點Q在射線上運動，∵，∴，∵，，∴，∵垂線段最短，∴當點與點重合時，的值最小，最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是構造全等三角形，添加輔助線，本題是中考選擇題中的壓軸題．14．4【分析】連接，，，對角線相交于點O，根據菱形的軸對稱性可知是的垂直平分線，則，故當點D、E、P三點共線時，的最小值為的長，再根據等邊三角形的判定和性質即可求解．解：連接，，，對角線相交于點O，∵四邊形是菱形，∴是的垂直平分線，，，∴，∴，∴當點D、E、P三點共線時，的最小值為的長，∵，∴，∴是等邊三角形，∵點E是的中點，∴，∴和都是等邊三角形的高，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．【點撥】本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，兩點之間，線段最短等知識，將的最小值轉化為的長是解題的關鍵．15．【分析】由時的值最小，即此時能取得最小值，顯然四邊形是正方形，從而根據勾股定理可得答案．解：由折疊易知：，∵當時，的值最小，∴此時能取得最小值，又∵當時，點E與點B重合，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴四邊形是矩形，根據折疊可知，，∴四邊形是正方形，∴，∴折痕．故答案為：．【點撥】本題考查了折疊變換的性質、矩形的性質、勾股定理、正方形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．16．【分析】先連接，將轉化為，再利用將軍飲馬解決問題即可．解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，如圖，作點關于點的對稱點，連接，即為的最小值，∵，，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質等內容，綜合性較強，將轉化為是解題的關鍵．17．5【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等關系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得最小值．解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，于，又，四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，當時，有最小值，即有最小值，點與點重合時，，故答案為5．【點撥】本題考查了線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉構造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，是本題的關鍵．18．【分析】根據正方形的性質得到，推出，得到點E在以為直徑的半圓上運動，設點O為的中點，作正方形關于直線對稱的正方形，則點D的對稱點為M，連接，交于點F，交半圓于E，則線段的長即為的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論．解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的半圓上運動，如圖，設點O為的中點，作正方形關于直線對稱的正方形，則點D的對稱點為M，連接，交于點F，交半圓于E，則線段的長即為的長度最小值，，∵，，∴，∴長度的最小值為，故答案為：．【點撥】此題考查了軸對稱—最短路徑問題，正方形的性質，勾股定理的綜合運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決問題，多數情況要作點關于直線的對稱點．19．【分析】過點M作，垂足為P，連接，由旋轉的性質得到，，，根據正方形的性質求出，證明，得到，，利用勾股定理求出，根據即可求出的最小值．解：過點M作，垂足為P，連接，由旋轉可得：，，，在正方形中，，E為中點，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵C，M位置固定，∴，即，∴，即的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，兩點之間線段最短，知識點較多，解題的關鍵是構造全等三角形，求出的長，得到．20．【分析】在的下方作，在上截取，使得，連接，證明，推出，，根據求解即可．解：如圖，在的下方作，在上截取，使得，連接．∵四邊形是菱形，，∴，，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．21．(1)見分析 (2) (3)【分析】（1）根據正方形性質證明，根據對折性質得到，從而證明，根據“斜邊，直角邊”即可證明；（2）先求出，進而得到，設，則，根據得到，根據勾股定理求出，從而得到，即可得出，最后求出的面積，根據即可求解；（3）根據，可得的周長，再根據當點A、F、C三點共線是，最小，根據勾股定理求出，即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵沿對折至，∴，∴，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，設，則，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，即，解得：．（3）∵沿對折至，∴，∴，∴的周長，∴當最小時，的周長最小，如圖：當點A、F、C三點共線是，最小，根據勾股定理得：，∴，∴的周長最小值．【點撥】本題為四邊形綜合題，考查了正方形的性質，翻折變換，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性質，綜合性較強，熟知相關定理，根據已知條件靈活應用是解題關鍵．22．(1)證明見分析 (2)90° (3)有最小值，最小值為8【分析】（1）證明可得結論；（2）利用全等三角形的性質，正方形的性質解決問題；（3）有最小值．連接，是直角三角形，，推出，求出的最小值即可解決問題．解：（1）證明：如圖1中，∵四邊形，四邊形都是正方形，∴，，，∴，∴，∴；（2）；證明：∵四邊形是正方形，，，，；（3）解：有最小值．連接，是直角三角形，，，∵四邊形是正方形，,的值最小時，的值最小，根據垂線段最短可知，當，時，的值最小，最小值為．【點撥】本題主要考查正方形的性質，全