/專題18.14平面直角坐標系背景下的平行四邊形（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．平行四邊形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，則點B的坐標為（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)2．如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把沿x軸向右平移到，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為（

）A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）3．如圖，△OAB的頂點O、A、B的坐標分別是（0，0）（3，0），（1，1），下列點M中，O、A、B、M為頂點的四邊形不是平行四邊形的是（

）A．（1，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（4，1）4．在平面直角坐標系中，以為頂點構成平行四邊形，下列各點不能作為平行四邊形頂點的是（

）A． B． C． D．5．如圖，已知?ABCD三個頂點坐標是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個頂點D的坐標是（

）A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）6．如圖，已知的頂點，，點B在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB、AD于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，作射線CM交邊CD于點G．則G的坐標為(

)A． B． C． D．7．如圖，已知平行四邊形ABCO的頂點O（0，0），A（1，2），點C在x軸負半軸上，OF平分∠AOC交AB于G，則點G的坐標為（

）A．（－1，2） B． C． D．8．如圖，A為y軸上一點，B點坐標為（1，0），連接AB，分別以OB、AB為邊構造等邊和等邊，且點D恰好落在AB上，點P為平面內一點，當四邊形PBCD為平行四邊形時，點P坐標為（

）A． B． C． D．9．如圖1，在中，，，動點從出發，沿勻速運動到點．圖2是點運動時，的面積隨點運動路程變化的關系圖像，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．610．如圖，點，的坐標分別為，，點為平面直角坐標系內一點，，點為線段的中點，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，已知?ABCD三個頂點坐標是A(﹣1,0)、B(﹣2,﹣3)、C(2,﹣1)，那么第四個頂點D的坐標是______．12．在平面直角坐標系中，A（﹣1，3），B（2，3），C（1，﹣3）．若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標可能是___________________________．13．已知，平行四邊形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點A在x軸上，對角線AC，OB交于點D．分別以點O，點B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接DE交BC于點F．若點A（6，0），點C（2，4），則點F的坐標為_________．14．如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O（0，0），點A在x軸的正半軸上，∠COA的平分線OD交BC于點D（2，3），則點C的坐標為____．15．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點B在x軸上，點A坐標為，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E，再分別以點D，點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內相交于點F，作射線OF交AC于點P．則點P的坐標是______．16．如圖，在?的頂點A、C分別在直線x=1和x=6上，O是坐標原點，則對角線OB的最小值是________17．如圖所示，已知的頂點A的坐標為，頂點B，D分別在x軸和直線上，則對角線的最小值是_____________．18．如圖1，中兩條對角線交于點O，，點P從頂點B出發，沿以每秒的速度勻速運動到點D，圖2是點P運動過程中線段的長度y與時間t的函數關系圖象，其中M、N分別是兩段曲線的最低點，則點M的橫坐標為______________，點N的縱坐標為______________．三、解答題19．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別為，，，，現將四邊形經過平移后得到四邊形，點的對應點的坐標為．(1)請直接寫點、、的坐標；(2)求四邊形與四邊形重疊部分的面積；(3)在軸上是否存在一點，連接、，使，若存在這樣一點，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖1，平面直角坐標系中，軸，，C是點A關于x軸的對稱點，，交x軸于點E，連接．(1)求證：①平分；②是等邊三角形；如圖2，若F在上，，連接，點B的坐標為，直接寫出點F的坐標（用a、b表示）．21．如圖，已知點、、．(1)將繞點О逆時針旋轉90°得，畫出，并寫出點C的對應點的坐標為__________．(2)畫出關于原點成中心對稱的圖形．(3)在平面直角坐標系內找點D，使得A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標為__________．22．如圖在平面直角坐標系中，，，軸且，點從點出發，以1個單位長度的速度向點運動；點從點同時出發，以2個單位長度的速度向點運動，規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動的時間為秒．(1)當四邊形是平行四邊形時，求的值；(2)當時，求的值；(3)當恰好垂直平分時，求的值．23．如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別是（m，0）和（0，n），m、n滿足，點C在y軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點E．(1)直接寫出A、B兩點的坐標；(2)如圖1，若點C在y軸負半軸上，且AB＝BC，求點E的坐標；(3)如圖2，若點C與原點O重合，OH⊥BD于H，M為AB的中點，求MH的長．24．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為現同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．(1)寫出點C，D的坐標，并求出四邊形ABDC的面積；(2)在x軸上是否存在一點F，使得的面積是面積的2倍，若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點P是線段BD上一個動點（不包括端點），連接PC，PO，當點P在線段BD上運動時，請寫出的數量關系并證明．參考答案1．C【分析】作，求得、的長度，即可求解．解：作，如下圖：則在平行四邊形中，，∴∴為等腰直角三角形則，解得∴故選：C【點撥】此題考查了平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解．2．D【分析】根據平移的性質得出四邊形ABDC是平行四邊形，從而得A和C的縱坐標相同，根據四邊形ABDC的面積求得AC的長，即可求得C的坐標．解：∵把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC=BD，A和C的縱坐標相同，∵四邊形ABDC的面積為9，點A的坐標為（1，3），∴3AC=9，∴AC=3，∴C（4，3），故選：D．【點撥】本題考查了坐標與圖形的變換-平移，平移的性質，平行四邊形的性質，求得平移的距離是解題的關鍵．3．A【分析】分三種情況討論：①AB為對角線時，②OB為對角線時，③OA為對角線時；分別求出點的坐標，即可得出答案．解：分三種情況：①AB為對角線時，∵BM∥OA，點O、A、B的坐標分別是（0，0）（3，0），（1，1），∴M的坐標為（3+1，1），即M（4，1）；②OB為對角線時，∵，點O、A、B的坐標分別是（0，0）（3，0），（1，1），∴的坐標為（1﹣3，1），即M（﹣2，1）；③OA為對角線時，點與關于原點O對稱，∴的坐標為（2，﹣1），即M（2，-1）；綜上所述，點M的坐標為（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故選：A．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、坐標與圖形性質以及分類討論等知識；正確畫出圖形是解題的關鍵．4．B【分析】分別以AC、AB、BC為對角線畫平行四邊形，再分別寫出個點的坐標，即可選出答案．解：如圖所示：①以AC為對角線，可以畫出?AFCB，F（-3，1）；②以AB為對角線，可以畫出?ACBE，E（5，1）；③以BC為對角線，可以畫出?ACDB，D（1，-1）；故選：B．【點撥】此題主要考查了平行四邊形的判定，坐標與圖形，關鍵是分類討論，正確畫出圖形．5．B【分析】過B作BE⊥x軸于E，過D作DM⊥x軸于M，過C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根據全等三角形的性質得出BE=DN，AE=CN，根據A、B、C的坐標求出OM和DM即可．解：過B作BE⊥x軸于E，過D作DM⊥x軸于M，過C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，則四邊形EFNM是矩形，所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，∴∠EAB＝∠AQC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠AQC＝∠DCN，∴∠DCN＝∠EAB，在△DCN和△BAE中，∴△DCN≌△BAE（AAS），∴BE＝DN，AE＝CN，∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，∴D的坐標為（3，2），故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，點的坐標與圖形性質等知識點，能正確作出輔助線是解題的關鍵．6．D【分析】先根據平行四邊形的性質和角平分線的作圖方法證得AD=DG，結合坐標與圖形性質求得OA、OD，再根據勾股定理求得AD即可求解．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠DGA=∠BAG，由作圖過程知，AM平分∠DAB，∴∠DAG=∠BAG，∴∠DAG=∠DGA，∴DG=AD，∵，，∴OA=6，D（0,8）即OD=8，∴在Rt△AOD中，AD==10，∴DG=10，∴G的坐標為（10，8），故選：D．【點撥】本題考查尺規作圖-作角平分線、平行四邊形的性質、平行線的性質、等角對等邊、勾股定理、坐標與圖形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．7．C【分析】過點G作GD⊥x軸，根據點的坐標得出AO=，利用平行四邊形的性質及角平分線得出∠AOG=∠AGO，由等角對等邊得出AO=AG=，結合圖形確定GE=，yG=yA=2，即可確定點的坐標．解：過點G作GD⊥x軸，同時標注字母如圖所示：∵A（1,2），∴AO=，∵四邊形AOCB為平行四邊形，∴AB∥OC，∴∠AGO=∠COG，∵OF平分∠AOC，∴∠AOG=∠COG，∴∠AOG=∠AGO，∴AO=AG=，∴GE=，yG=yA=2，點G在第二象限，G()，故選：C．【點撥】題目主要考查坐標與圖形，平行四邊形的性質，勾股定理，角平分線的定義，等角對等邊等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．8．B【分析】利用等邊三角形的性質可得點D和C的坐標，再利用平行四邊形的性質可得P的坐標．解：如圖，以OB、AB為邊構造等邊△OBD和等邊△ABC，∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，∴∠OAB=30°，∴∠OAD=∠DOA=30°，∴OD=AD=1，∵點D為AB的中點，∴AB=2，AO=，∴，∴∠CAO=90°，∴，∵四邊形PBCD是平行四邊形，∴DPBC，DP=BC，由平移可知，故選：B．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，平移的性質等知識，利用平移的性質得出點P的坐標是解題的關鍵．9．D【分析】過D點作DE⊥BC于點F，根據圖像可得平行四邊形的邊長CD為4，再利用平行四邊形的面積可求a．解：如圖，當點運動到與點重合時，過點作的垂線，交的延長線于點．由題意知，當點在上運動時，的面積不變，此時，．∵，，∴，∴．【點撥】本題主要考查平行四邊形動點問題，函數圖像，平行四邊形的性質，解題的關鍵是結合兩個圖像，隨著動點的運動找到對應的函數圖像．10．D【分析】連接，取中點，連接，根據三角形任意兩邊之和大于第三邊求最值即可．解：連接，取中點，連接，∵，∴當取最大值時，三點共線，即在之間，即，∵分別是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點撥】本題考查三角形的三邊關系，中位線定理，平面直角坐標系中的點與幾何，勾股定理，能夠熟練掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．11．(3,2)【分析】連接AC，BD，兩線交于點M，設D點坐標為，利用中點坐標公式即可求解．解：連接AC，BD，兩線交于點M，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴對角線AC、BD的交點M為AC、BD的中點，∵，，，設D點坐標為，∴根據中點坐標公式有：，解得，∴D點坐標為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質、中點坐標公式的知識，掌握中點坐標公式是解答本題的關鍵．12．（4，﹣3）或（0，9）或（﹣2，﹣3）【分析】分三種情況：①BC為對角線時，②AB為對角線時，③AC為對角線時，由平行四邊形的性質容易得出點D的坐標．解：∵A（-1，3），B（2，3），∴AB=3，軸，分三種情況：①BC為對角線時，如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB=CD，∴軸，∵AB=3，C（1，-3），∴點D的坐標為（4，-3）②AC為對角線時，如圖2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB=CD，∴軸，∵AB=3，C（1，﹣3），∴點D的坐標為（﹣2，﹣3）③AB為對角線時，如圖3，連接CD交AB于E，設D的坐標為（x，y），∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴E分別為AB、CD的中點，∵A（-1，3），B（2，3），C（1，-3），∴，解得，∴點D的坐標為（0，9），綜上所述，點D的坐標可能是（4，-3）或（0，9）或（-2，-3）．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形的性質；熟練掌握平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．13．（3，4）【分析】連接OF，延長BC交y軸于點M，則軸，由題意可知，，，．根據平行四邊形的性質及作圖過程，可知DE垂直平分線段OB，即有，設，則，，然后在中，利用勾股定理可列方程，解得，即，結合圖形即可確定F點坐標．解：如圖，連接OF，延長BC交y軸于點M，則軸，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴D為對角線OB中點，由題意可知，，，，由作圖可知，DE垂直平分線段OB，∴，設，則，，在中，，即，解得，∴，∴點F的坐標為（3，4）．故答案為：（3，4）．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質、圖形與坐標、垂直平分線和勾股定理的知識，解題關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質．14．【分析】先利用平行四邊形的性質和角平分線定義得到CO=CD，再設出C點坐標，建立方程即可．解：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BCOA，∴∠CDO=∠DOA，∵OD平分∠COA，∴∠COD=∠DOA，∠COD=∠CDO，∴CO=CD，∴設C（m，3），∴，解得：，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了角平分線的定義和平行四邊形的性質，涉及到了勾股定理建立方程的知識，解題關鍵是正確建立方程并求解，本題蘊含了數形結合的思想．15．##【分析】利用勾股定理先求解再證明從而可得答案．解：∵點A坐標為，∴∵，由作圖可得：平分故答案為：【點撥】本題考查的是平行四邊形的性質，勾股定理的應用，角平分線的作圖與計算，等腰三角形的判定，理解題意，證明是解本題的關鍵．16．7【分析】過點B作BD⊥直線x=6，交直線x=6于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E．則由于四邊形OABC是平行四邊形，所以OA=BC，又由平行四邊形的性質可推得∠OAF=∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以OE的長固定不變，當BE最小時，OB取得最小值，即可得出答案．解：過點B作BD⊥直線x=6，交直線x=6于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x=1與OC交于點M，與x軸交于點F，直線x=6與AB交于點N，如圖：∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠OAB=∠BCO，OCAB，OA=BC，∵直線x=1與直線x=6均垂直于x軸，∴AMCN，∴四邊形ANCM是平行四邊形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD=OF=1，∴OE=6+1=7，∴∵OE的長不變，∴當BE最小時（即B點在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB=OE=7．故答案為7．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質、坐標與圖形性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質，勾股定理，證明三角形全等是解決問題的關鍵．17．##【分析】設點C坐標為（a，b），由平行四邊形的性質可求b＝，可得點C在直線y＝上運動，再根據點C在y軸上時，AC的長度有最小值求解即可．解：設點C坐標為（a，b），∵頂點B、D分別在x軸和直線y＝?3上，∴點B，點D的縱坐標分別為0，?3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC與BD互相平分，∴，∴b＝，∴點C在直線y＝上運動，∴當點C在y軸上時，AC的長度有最小值，∴對角線AC的最小值為：，故答案為：．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，坐標與圖形性質，確定點C的運動軌跡是本題的關鍵．18．

10

【分析】由圖可知點P在BC上運動時，OP先變小后變大，求出OP的最大值和最小值，過O作于點，則可求得OB=OD=，OC=；而從C向D運動時，OP先變小后變大，過點O作于點，利用勾股定理求解即可．解：由圖可知點P在BC上運動時，OP先變小后變大，由圖象可知：點P從B向C運動時，OP的最大值為，最小值為5，，∴，由于M是曲線部分的最低點，∴此時OP最小，如下圖，過O作于點，，∴由勾股定理可知：，∴點M的橫坐標為10；過點O作于點，如下圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB，CD=AB，由圖象可知：點P從C向D運動時，，又，∴設，則，∴，∴，即，∴，∴點N的縱坐標為．故答案為：10，．【點撥】本題考查了動點與函數圖象的理解和應用、平行四邊形的性質、勾股定理．把圖形和圖象結合理解得到線段長度是解決本題的關鍵．19．(1) (2) (3)存在，或【分析】（1）先確定平移的規則，然后根據平移的規則求出點、、的坐標即可；（2）由平移的性質可知重疊部分為平行四邊形且高為2，再根據相似三角形的判定與性質求得底，然后求出面積即可；（3）設點的坐標為，先求出平行四邊形ABCD的面積，然后利用三角形的面積公式即可求出b的值．（1）解：∵，，∴平移的規則為：向右平移2個單位，向上平移一個單位；∵，，，∴；（2）解：如圖，延長交x軸于點E，過點做由平移可知，重疊部分為平行四邊形，底邊長為3，高為2∵即∴重疊部分的面積為（3）解：存在；設點的坐標為，∵，，∴，∴點的坐標為或．【點撥】本題主要考查了平移的性質、平行四邊形的性質、坐標與圖形、求陰影部分的面積等知識點，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．20．(1)①見分析；②見分析；(2)．【分析】（1）①利用平行線的性質和等腰三角形的性質證明即可證明結論；②先根據對稱性得到，進而證明，．證明∴．得到，即可證明是等邊三角形；（2）如圖所示，過點B作軸于G，過點F作于H，由等邊三角形的性質得到，證明四邊形是平行四邊形，得到，，再由，，證明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質求出，則，，同理，據此即可得到答案．解：（1）證明：（1）①∵，∴．∵軸，∴．∴．∴平分；②C是點A關于x軸的對稱點，∴．∵∴．∴．∴．在和中∴．∴．∴是等邊三角形．（2）解：如圖所示，過點B作軸于G，過點F作于H，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理，即，∴；【點撥】本題主要考查了坐標與圖形，平行線的性質，三角形內角和定理，等邊對等角，全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．21．(1)見分析， (2)見分析 (3)或或【分析】（1）根據網格結構找出點繞O點逆時針旋轉后的對應點的位置，然后順次連接即可，再根據平面直角坐標系寫出點的坐標；（2）利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出點的對應點的坐標，然后描點即可得到；（3）根據平行四邊形的判定進行求解即可．解：（1）如圖，即為所求，點的坐標為．故答案為：（2）即為所求；（3）如圖，滿足條件的點D的坐標為或或．故答案為或或．【點撥】本題考查旋轉變換，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．22．(1) (2)或 (3)【分析】（1）利用平行四邊形的性質構建方程即可解決問題．（2）分兩種情形：四邊形是平行四邊形，四邊形是等腰梯形，分別求解即可．（3）利用線段垂直平分線的性質構建方程即可解決問題．解：（1）∵，∴當時，四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴（2）①當四邊形是平行四邊形時，，∴，∴②當四邊形是等腰梯形時，，此時，∵，∴，∴，∴綜上，或（3）∵，∴．當垂直平分時，則，∴，解得【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰梯