/專題18.20平行四邊形最短路徑問題（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長(zhǎng)度的最小值為（

）A．6 B．8 C． D．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．4．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）A． B．6 C．4 D．5．在平行四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，過(guò)點(diǎn)A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M、N，連接MN，則MN的最小值為（）A． B．3 C．2 D．26．如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．47．如圖，在等腰和等腰，，，為的中點(diǎn)，則線段的最小值為（）A． B． C． D．8．在邊長(zhǎng)為的等邊中，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：，且，那么四邊形周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．10．如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．12．如圖所示，已知的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)B，D分別在x軸和直線上，則對(duì)角線的最小值是_____________．13．如圖，在中，，點(diǎn)、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），，連接、，若，則周長(zhǎng)的最小值為______．14．如圖，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于點(diǎn)Q，則四邊形APCQ的形狀是______，連接PQ，當(dāng)PQ取得最小值時(shí)，四邊形APCQ的周長(zhǎng)為_____．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在線段AD上取一點(diǎn)E，使得DE＝2，連接BE，在線段AE，BE上分別取一點(diǎn)P，Q，則的最小值為______．16．如圖，在中，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，則的最小值是________．17．如圖，在平行四邊形中，，，將線段沿著直線上下平移得到線段，連接，，則的最小值是______．18．如圖，在中，，，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．三、解答題19．如圖，在平行四邊形中，，，，(1)平行四邊形的面積為________．(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABDC的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），（0，2），點(diǎn)M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為_______；CN+DN的最小值為_________(2)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向上平移運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若四邊形OMDB的面積是8，求t的值；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向左平移運(yùn)動(dòng)，設(shè)射線DN交y軸于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：S△EMD-S△OEN的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是以為斜邊的直角三角形，是的中點(diǎn)，連接，，且．證明：、、三點(diǎn)共線；連接．①試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②當(dāng)，且線段取到最小值時(shí)，求的長(zhǎng)度．22．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，且a，b滿足．平移OA至CB（點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），連接OC，AB．(1)填空：，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)D，E分別是OA，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，DE，M，N分別為DC，DE的中點(diǎn)，連接MN．當(dāng)D，E分別在OA，AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，將線段CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CF，連接OF．P為線段OF上一點(diǎn)，以CP為直角邊作等腰直角三角形CPQ，其中．試猜想，，三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．23．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射線AD上一點(diǎn)，連接PB，沿PB將△APB折疊，得△A'PB．(1)如圖1所示，當(dāng)∠DPA'＝10°時(shí)，∠A'PB＝度；(2)如圖2所示，當(dāng)PA'⊥BC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F是邊AB上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APF沿PF折疊，得到△A'PF，連接BA'，求△BA'F周長(zhǎng)的最小值．24．在學(xué)習(xí)完了《18.1平行四邊形的性質(zhì)》之后，王老師在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上對(duì)下面一個(gè)問題讓學(xué)生展開探究活動(dòng)．問題情境：圖1，在?ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，直線PO交AD于E．問題發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)智慧小組”通過(guò)積極的動(dòng)手操作，觀察，猜想，提出了如下問題：（1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終存在PO＝OE，為什么？（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PO⊥AC時(shí)，四邊形ABPE是平行四邊形，為什么？此時(shí)BP的長(zhǎng)度是多少？（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABPE的周長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)的最小值是cm；BP的長(zhǎng)度為cm．問題解決：“數(shù)學(xué)智慧小組”歡迎您的加入，請(qǐng)開啟您的“問題解決之旅”吧！參考答案1．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，可以得到當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，此時(shí)CP的值就是AQ的最小值，從而可以解答本題．解：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AQ＝PC，∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP取得最小值，∵∠BAC＝45°，，設(shè)，在Rt△APC中，AB＝AC＝8，則，即，解得，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．C【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)，使得D＝BD＝2，連接E，則點(diǎn)P在E與AD的交點(diǎn)時(shí)，PE＋PB的值最小，給出證明，再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥B于點(diǎn)F，由勾股定理求出EF的長(zhǎng)，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．解：∵∴∠ADB＝90°∵，∴AB＝2由勾股定理得BD＝∴AD＝BD＝2∴∠BAD＝∠ABD＝45°∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE＝AE＝AB＝延長(zhǎng)BD至點(diǎn)，使得D＝BD＝2，連接E，則點(diǎn)P在E與AD的交點(diǎn)時(shí)，PE＋PB的值最小，如下圖，理由如下：∵’，D＝BD＝2，∴AD垂直平分B∴AD上任意一點(diǎn)P,總有PB＝P，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，點(diǎn)P在E與AD的交點(diǎn)處時(shí)，PE＋PB的值最小，最小值為E的長(zhǎng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥B于點(diǎn)F，如上圖，則∠EFB＝∠EF＝90°，∵∠ABD＝45°∴EF＝BF∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2∴EF＝BF＝＝1∴F＝BD＋D－BE＝3在Rt△EF中，由勾股定理得E＝＝＝即的最小值為故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑問題、勾股定理、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握最短路徑的確定方法、靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，根據(jù)，，，運(yùn)用勾股定理的逆定理，證明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根據(jù)平移性質(zhì)證明四邊形ADEC是平行四邊形，得到CE∥AD，根據(jù)當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最小，此時(shí)，根據(jù)∠DEC=∠ECG=90°，證明四邊形EDGC是矩形，得到DE=CG，運(yùn)用面積法得到，求出，得到DE的最小值為．解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，則∠AGC=90°，∵中，，，，∴，∴是直角三角形，∠ACB=90°，由平移知，AE∥CD，AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE∥AD，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最小，此時(shí)，∠DEC=∠ECG=90°，∴四邊形EDGC是矩形，∴DE=CG，∵∴∴，∴，∴DE的最小值為．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四邊形，三角形面積，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，垂線段最短的性質(zhì)．4．D【分析】點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以E為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑的圓，則當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)利用勾股定理即可求解．解：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以E為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑的圓，則當(dāng)點(diǎn)落在DE上時(shí)，取最小值，如圖所示：∵AB=4，E是AB邊的中點(diǎn)，∴AE=BE=2，由沿所在直線折疊得到，∴，在平行四邊形ABCD中，∵∠B=60°，∴∠BEG=∠AEH=30°，∴BG=AH=1，，∴DH=AD=AH=6+1=7，在Rt△DHE中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值是，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的綜合應(yīng)用，勾股定理，含30°角的直角三角形，確定點(diǎn)的位置，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求FC，AN，EN，AE的長(zhǎng)，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AD于E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∠B＝∠D＝60°，∵CF⊥AB，AN⊥CD，∴，∠BCF＝30°，∴四邊形AFCN是平行四邊形，BFBC＝2，CFBF＝2，∴AN＝CF＝2，∵AN⊥CD，∠D＝60°，∴∠NAD＝30°，∴ENAN，AEEN＝3，∵AM⊥BC，NE⊥AD，∴，∴當(dāng)MN⊥EN時(shí)，MN有最小值為3，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接AG．首先證明∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接GF，證FG⊥BC，則FG的長(zhǎng)即為PB+PQ的最小值．解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接GF，

交AC于點(diǎn)P，由對(duì)稱可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長(zhǎng)即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)P，Q的位置是解答此題的關(guān)鍵．7．B【分析】取AB的中點(diǎn)G，接DG，CG，過(guò)C作于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理解答即可．解：取AB得中點(diǎn)G，連接DG，CG，過(guò)點(diǎn)C作交AB延長(zhǎng)線與H．∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴AD=ED，AG=BG，∴DG是的中位線，∴DG=BE，∵AB=BC=BE=2，∴DG=1，BG=1，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴HG=BG+BH=2，在中，，∵，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)D、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD取最小值為．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查勾股定理，關(guān)解題的鍵是根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答．8．C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出DE=2OD，則可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，DO的值最小，即DE的值最小，過(guò)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，利用等邊三角形及直角三角形性質(zhì)可求得AF=OA=，則可利用勾股定理求得OF的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．解：設(shè)AB與DE相交于點(diǎn)O，∵四邊形是平行四邊形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴OA=OB=AB=1，OD=OE=DE．即DE=2OD．∴當(dāng)OD⊥AC時(shí)，DO的值最小，即DE的值最?。鐖D，過(guò)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AFO=90°．∵是等邊三角形，∴∠BAC=60°．∴∠AOF=30°．∴AF=OA=．∴OF=．當(dāng)OD=OF時(shí)，DO的值最小，即DE的值最小，∴DE=2OF=．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形、等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】如圖，把向上平移一個(gè)單位得：，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)連接，交直線于

連接，則此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最短，再利用勾股定理可得：，利用從而可得答案．解：如圖，把向上平移一個(gè)單位得：，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)連接，交直線于

連接，，由四邊形是平行四邊形，所以此時(shí)：四邊形的周長(zhǎng)最短，故選：【點(diǎn)撥】本題考查的是圖形與坐標(biāo)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求最值即可．解：連接，取中點(diǎn)，連接，∵，∴當(dāng)取最大值時(shí)，三點(diǎn)共線，即在之間，即，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的三邊關(guān)系，中位線定理，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與幾何，勾股定理，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．11．3【分析】如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推出，從而得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的和最小，利用所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可得解．解：如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，以及含的直角三角形．通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造含的直角三角形，利用垂線段最短進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題是胡不歸模型，平時(shí)多歸納總結(jié)，可以快速解題．12．##【分析】設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，b），由平行四邊形的性質(zhì)可求b＝，可得點(diǎn)C在直線y＝上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，AC的長(zhǎng)度有最小值求解即可．解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，b），∵頂點(diǎn)B、D分別在x軸和直線y＝?3上，∴點(diǎn)B，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)分別為0，?3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC與BD互相平分，∴，∴b＝，∴點(diǎn)C在直線y＝上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，AC的長(zhǎng)度有最小值，∴對(duì)角線AC的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．13．18【分析】作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG交AB于點(diǎn)H，連接BG，F(xiàn)G，則EG⊥AB，GH=EH，BE=BG，可得當(dāng)點(diǎn)G，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，BG+BF最小，即為FG的長(zhǎng)，此時(shí)周長(zhǎng)的最小，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，GH=EH=6，進(jìn)而得到EG=12，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG交AB于點(diǎn)H，連接BG，F(xiàn)G，則EG⊥AB，GH=EH，BE=BG，∴周長(zhǎng)為BE+BF+EF=BG+BF+EF，∴當(dāng)點(diǎn)G，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，BG+BF最小，即為FG的長(zhǎng)，此時(shí)周長(zhǎng)的最小，四邊形是平行四邊形，，，∴EG⊥CD，，∴，∴GH=EH=6，∴EG=12，∴，的最小值為，的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，屬于中考常見題．14．

平行四邊形

##【分析】根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可求解；當(dāng)PQ是AQ和BC間距離時(shí)PQ取得最小值，計(jì)算四邊形APCQ的周長(zhǎng)即可．解：如圖，∵AQBC，CQAP，∴四邊形APCQ是平行四邊形．當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，PQ取得最小值，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=，∴PQ=，∴QC=，∴四邊形APCQ的周長(zhǎng)為：2PC+2QC=2×+2×=，故答案為：平行四邊形；．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂線段最短的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．15．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠EBC=30°，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即為PN的長(zhǎng)，根據(jù)平行線之間的距離相等，可得PN=AH，根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)即可．解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵AB=6，BC=8，DE=2，∴AE=8-2=6，∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∴∠ABE=∠EBC，∵∠ABC=60°，∴∠EBC=30°，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示：則QM=BQ，∴PQ+BQ最小值即為PN的長(zhǎng)，∵AD∥BC，∵PN=AH，∵∠BAH=30°，AB=6，∴BH=3，根據(jù)勾股定理，可得AH=PN=，∴PQ+BQ的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即為PN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接CD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理得出FG=，由勾股定理求出BC，再根據(jù)三角形等面積法求出CD，即可得出結(jié)果．解：連接CD，∵F、G分別是ED、EC的中點(diǎn)，∴FG是△FDC的中位線，∴FG=，當(dāng)CD最小時(shí)，F(xiàn)G最小，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最小，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，則BC=，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，，∴，解得：CD=，∴FG的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】題目主要考查三角形中位線定理，勾股定理解三角形，垂線段最短，掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．17．13【分析】先由平移性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，從而得，進(jìn)而使得，再作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可．解：連接，由平移性質(zhì)得：，，四邊形為平行四邊形，，，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交延長(zhǎng)線于，由對(duì)稱性得：，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解決此題的關(guān)鍵是證明四邊形為平行四邊形、再作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，將的最小值轉(zhuǎn)化為．18．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD//BC，且AD＝MN，連接MD，則四邊形ADMN是平行四邊形，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′交BC于點(diǎn)O，連接A′M，三點(diǎn)D、M、A′共線時(shí)，最小為A′D的長(zhǎng)，利用勾股定理求A′D的長(zhǎng)度即可解決問題．解：過(guò)點(diǎn)A作AD//BC，且AD＝MN，連接MD，則四邊形ADMN是平行四邊形，∴MD＝AN，AD＝MN，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′交BC于點(diǎn)O，連接A′M，則AM＝A′M，∴AM＋AN＝A′M＋DM，∴三點(diǎn)D、M、A′共線時(shí)，A′M＋DM最小為A′D的長(zhǎng)，∵AD//BC，AO⊥BC，∴∠DA＝90°，∵，，，∴BC＝BO＝CO＝AO＝，∴，在Rt△AD中，由勾股定理得：D＝∴的最小是值為：，故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造平行四邊形將AN轉(zhuǎn)化為DM是解題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求得四邊形的面積；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)直線線段最短可得到，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，根據(jù)勾股定理即可求解．解：（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形的面積；故答案為：；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；四邊形為平行四邊形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，由勾股定理得：，，由翻折變換的性質(zhì)得：，，，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，此時(shí)，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段最值問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)（4，2），4(2)t的值是；(3)）S△EMD-S△OEN的值不會(huì)發(fā)生變化，S△EMD-S△OEN的值是3．【分析】（1）作C（0，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（0，-2），連接DC'交x軸于N，此時(shí)CN+DN最小，最小值為C'D的長(zhǎng)，由A（-1，0），B（3，0），四邊形ABDC是平行四邊形，可得DC=AB=4，D（4，2），在Rt△DCC'中，利用勾股定理求得DC'=4，即得CN+DN的最小值為4；（2）根據(jù)S四邊形OCDB=7，四邊形OMDB的面積是8，知M在C的上方，且S△CDM=8-7=1，故CM?DC=1，即（t-2）×4=1，可解得t的值；（3）連接OD，由S△EMD-S△OEN=S△MOD+S△NOD=OM?CD+ON?OC=3，可得S△EMD-S△OEN的值是3，不會(huì)變化．（1）解：作C（0，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（0，-2），連接DC'交x軸于N，此時(shí)CN+DN最小，最小值為C'D的長(zhǎng)，如圖：∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4，∵四邊形ABDC是平行四邊形，∴DC=AB=4，∴D（4，2），在Rt△DCC'中，DC'=，∴CN+DN的最小值為4，故答案為：（4，2），4；（2）解：如圖：∵S四邊形OCDB=×（4+3）×2=7，又四邊形OMDB的面積是8，∴M在C的上方，且S△CDM=8-7=1，∴CM?DC=1，即（t-2）×4=1，解得t=，答：t的值是；（3）解：S△EMD-S△OEN的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：連接OD，如圖：∵S△EMD-S△OEN=S四邊形MOND，∴S△EMD-S△OEN=S△MOD+S△NOD=OM?CD+ON?OC=t×4+（3-2t）×2=2t+3-2t=3，∴S△EMD-S△OEN的值是3，不會(huì)變化．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及平移的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(1)見分析；(2)①EC=OA，證明見分析；②．【分析】（1）證明∠AFE+∠AFB=180°，可得結(jié)論；（2）①結(jié)論：EC=AO．連接EO，OC，證明△EOC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；②如圖2中，取AE的中點(diǎn)J，連接OJ．證明OJ∥EB，推出OF⊥OJ時(shí)，OF的值最小，此時(shí)四邊形OFEJ是矩形，利用勾股定理求出OA，可得結(jié)論．（1）證明：∵∠AEF=90°，AE=EF，∴∠EAF=∠EFA=45°，∵2∠CBF+∠EAF=135°，∴∠CBF=45°，∵∠C=90°，∴∠CFB=90°-45°=45°，∴∠CFB=∠AFE，∵∠CFB+∠AFB=180°，∴∠AFE+∠AFB=180°，∴E、F、B共線．（2）解：①結(jié)論：EC=OA．理由：如圖1中，連接EO，CO．∵∠AEB=∠ACB=90°，OA=OB，∴OE=OA=OB=OC，∴∠OAC=∠OCA，∠OEB=∠OBE，∵∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠OBE，∴∠BOC+∠AOE=2∠CAO+2∠OBE=2（∠OAC+∠OBE）=2∠CFB=90°，∴∠EOC=90°，∴△EOC是等腰直角三角形，∴EC=EO=OA；②如圖2中，取AE的中點(diǎn)J，連接OJ．∵AJ=EJ，AO=OB，∴OJ∥EB，∴OF⊥OJ時(shí)，OF的值最小，此時(shí)四邊形OFEJ是矩形，∴EF=AE=OJ=2，AJ=EJ=1，∴，∴EC=OA=．【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形中位線定理，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．22．(1)6，4，（9，4）(2)存在，(3)，證明見分析【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件和絕對(duì)值的意義求解即可；（2）連接CE，根據(jù)中位線定理可知MN=CE，當(dāng)時(shí)，CE有最小值，根據(jù)三角形面積可求CE的值，即可求解；（3）連接QF，可證△OCP≌△FCQ，得OP=QF，在直角三角形QFP中，，可求解．（1）解：∵，，，∴，∴6-a=0，b-4=0，∴a=6，b=4．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9，4)．故答案為：6，4，（9，4）．（2）解：MN存在最小值，理由是：連接CE，如圖1，∵M(jìn)、N分別是CD、DE的中點(diǎn)，∴MN=CE．當(dāng)時(shí)，CE有最小值，∵C(3，4)，A(6，0)，∴OA=6，AB=OC=5，∴，∴MN=．（3）解：連接QF，如圖2，由旋轉(zhuǎn)可知，OC=OF，∠OCF=90°，∠O=∠CFO=45°．∵△CPQ為等腰直角三角形CPQ，∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∠QCP=45°，∴∠OCF=∠PCQ，∴∠OCF-∠PCF=∠PCQ-∠PCF，即∠OCP=∠FCQ，在△OCP和△FCQ中，∴△OCP≌△FCQ（SAS），∴OP=QF，∠QFP=∠QFC+∠CFO=45°+45°=90°，∴，∵OP=QF，∴【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．(1)85(2)5+5(3)2+2【分析】（1）根據(jù)平角的定義，翻折的性質(zhì)求解即可；（2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC，可得∠APA′＝90°，PH＝BH，根據(jù)PA＝AH+PH即可求解；（3）作BH⊥AD于H，連接BP．勾股定理求得PB，當(dāng)BA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，△BFA′的周長(zhǎng)最小，由BA′≥PB﹣PA′，求得，然后即可求得△BFA′的周長(zhǎng)的最小值．（1）如圖1中，∵∠DPA′＝10°，∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10