第四輯圖形的相似………………………01銳角三角函數……………………10投影與視圖………………………20中考易錯題（60題）……………31中考臨考押題模擬卷（通用）…………………420101圖形的相似考點考情分析比例有關的概念和性質選擇題和填空題常考查比例的基本性質、平行線分線段成比例定理的簡單應用、黃金分割的概念等；解答題可能與三角形、四邊形、相似圖形等知識綜合考查。相似三角形的性質與判定選擇題和填空題通常直接考查相似三角形的基本概念、判定條件或簡單的性質應用；解答題可能與三角形、四邊形等幾何圖形結合；與函數(如一次函數、二次函數)結合；在一些實際問題中，利用相似的性質來求解未知量。位似常出現在選擇題、填空題中，也可能在解答題中與其他知識點結合考查，整體難度中等或偏下考查分值：分值在3-19分之間，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：相似三角形的基本性質與判定:仍是重點內容。位似圖形:考查位似中心的確定、位似比的計算，以及在平面直角坐標系中根據位似變換求點的坐標。相似與其他知識的綜合:與函數(如一次函數、二次函數)結合，通過函數圖象上的點構造相似三角形，解決函數中的幾何問題，與圓結合，利用圓中的圓周角、弦切角等關系構造相似三角形，求解與圓相關的線段長度、角度問題:在實際問題中構建相似三角形模型，如測量物體高度、河寬等問題。知識點1：比例有關的概念和性質線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，【高分技巧】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質：1）基本性質：ab=2）變形：ab=c3）合、分比性質：a4）等比性質：如果ab=cd=5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一條線段的黃金分割點有兩個.【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經過點B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現下面的兩種情況：推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例．知識點2：相似三角形的性質與判定相似多邊形的的概念：若兩個邊數相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質：1）相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.2)相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.知識點3：位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.位似圖形的性質：1)位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點；2）位似圖形的對應邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點.2）確定位似比.3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線.4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形.真題1（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁真題2（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F

A．165 B．167 C．2 D真題3（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5-真題4（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD=CA，過點D作DE∥CB，且DE=DC，連接AE交BC于點F．若真題5（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2真題6（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，連接BD，過點C作CE⊥AB，垂足為E，CE交BD于點(1)求證：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①請判斷線段BC，BD的數量關系，并證明你的結論；②若BC=13，AD=5，求真題7（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內接于⊙O，CD=DB，AB(1)求證：△CAD(2)求∠ADC真題8（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上．若∠BAD=∠（2）【靈活運用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，點D為邊BC的中點，CA=CD=2，點E在AB上，連接AD，（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，點E，F分別在邊AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延長AD，BF相交于點G．若BE=4預測1（2025·浙江·二模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點DA．6 B．5 C．4 D．3預測2（2025·浙江·模擬預測）若4b-aA．14 B．4 C．34 D預測3（2025·甘肅·一模）小孔成像是光在均勻介質中沿直線傳播形成的一種物理現象．如圖1是小孔成像實驗圖，抽象為數學模型如圖2所示．在小孔成像的實驗中，帶小孔的紙板和光屏平行，蠟燭與有小孔的紙板之間的水平距離為30cm．當蠟燭火焰的高度是它的像高度的13時，有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為（A．10cm B．30cm C．90cm預測4（2025·河北唐山·一模）如圖，老師利用復印機將一張長為20cm，寬為8cm的矩形的數學檢測卷等比例縮小，其中縮小后的長為10cmA．100cm2 B．80cm2 C．預測5（2025·青海海東·一模）【探究與證明】【問題情境】寬與長的比是5-12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面我們用寬為2【操作發現】第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖【問題解決】(1)圖③中AB=______(2)如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；(3)如圖④，請證明矩形BCDE和矩形MNDE是黃金矩形．押題1如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為OC的中點，EF∥AB交BC于點F．若AB=4，則A．12 B．1 C．43 D押題1如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似中心為點O．若點A(-3,1)的對應點為A．(-4,8) B．(8,-4) C．(-8,4) D．(4,-8)押題2如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點H，若AB=6，CE=2，則DH的長為（A．2 B．3 C．52 D．押題3如圖，雙曲線y=12xx>0經過A、B兩點，連接OA、AB，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點E，且EA．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5押題4《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB=40cm，

押題5如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，過點C作⊙O的切線l，過點A作AD⊥l，垂足為(1)求證：△ABC(2)若AC=5，CD=4，求押題6在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經過A（4，0），B（1，(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；(3)如圖，OP交AB于點C，PD∥BO交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，押題7問題提出：如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當α=90°時，直接寫出∠(2)再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當α=120°時，若DGCG=0202銳角三家函數考點考情分析正弦﹑余弦和正切根據直角三角形的邊的關系來確定正弦、余弦、正切的值。特殊角的三角函數的有關計算整體難度不大，屬于中等及以下難度。對于單純考查特殊角三角函數值記憶的題目，只要學生牢記特殊角的三角函數值，就能輕松得分解直角三角形選擇題常考查解直角三角形的基本概念和簡單應用；填空題可能涉及根據已知條件直接計算直角三角形的邊或角的度數，也可能在實際問題情境中，讓學生利用解直角三角形的知識求出相關的長度或角度并填空；解答題:通常結合實際問題，如測量物體高度、距離、坡度等問題，要求學生通過構建直角三角形模型，運用解直角三角形的知識進行求解。考查分值：分值在5-10分之間，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：基礎的三角函數定義、特殊角的三角函數值以及簡單的解直角三角形應用，難度依然保持較低主要考查學生對基礎知識的掌握和簡單運用能力。在與其他知識綜合考查的題目中，難度會有所上升，屬于中等偏上難度。這類題目需要學生具備較強的分析問題、解決問題的能力，以及對知識的綜合運用能力。學生需要能夠從復雜的情境中抽象出直角三角形模型，并靈活運用三角函數知識，結合其他數學知識和方法進行求解。知識點：銳角三角函數1.銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tanA=tan3.銳角三角函數的關系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數的關系：tanA=sinAcos2)互余兩角的三角函數關系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°23323135.銳角三角函數的性質性質前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關系：a2+3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③真題1（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌．某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,（結果精確到1m．參考數據：sinA．41m B．42m C．48m真題2（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房CD的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．253米 B．25米 C．252米 D．真題3（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F，若AB=6，BC=8，則cos∠真題4（2024·西藏·中考真題）計算：-1真題5（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養學生創新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管AB=24cm,BE=(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁MN，延長BM交CN的延長線于點F，且MN⊥CF于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：DE=28真題6（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm；當擺球運動至點C時，∠COA=37°，CE⊥OA．（點O，實驗圖示解決問題：根據以上信息，求ED的長．（結果精確到0.1cm參考數據：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,真題7（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時測得點A到BC所在直線的距離AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意圖如圖3，此時測得∠CDB=37°（點C，A，D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點在同一平面內．定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變．（參考數據：sin37°≈0.60(1)求AB的長；(2)求物體上升的高度CE（結果精確到0.1m真題8（2024·廣東·中考真題）中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個停車位．經測量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6

根據以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m，參考數據3≈1.73(1)求PQ的長；(2)該充電站有20個停車位，求PN的長．預測1（2025·黑龍江佳木斯·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點D．若∠A=30°，ODA．23 B．43 C．26 D預測2（2025·陜西西安·模擬預測）計算：-2024預測3（2025·陜西咸陽·二模）如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，DE交BC的延長線于點E(1)求證：DE是⊙O(2)若tan∠DBC=12預測4（2025·福建廈門·模擬預測）如圖，小明從點A出發，沿著坡度i（即tanA）為1:2.4的坡道AB向上走了130m到達點B，再沿著水平平臺BC向前走了80m到達點C，最后沿著坡角為36.8°的坡道CD向上走了150(1)當小明到達點B時，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求點A，D間的水平距離AE的長．（參考數據：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，預測5（2025·重慶·一模）如圖，A是某動物園入口，B、C、D是入口附近的三個展區．小明和小華相約從入口A一起去參觀，但由于興趣不同，兩人決定先沿不同的路線參觀，再到達展區C匯合．如圖是路線平面示意圖，已知展區C在起點A的東北方向，小明從起點A出發沿正北方向走了900米到展區B，在展區B參觀10分鐘，再沿北偏東75°的方向走一段路即可到達展區C，小華從起點A出發向正東方向走到展區D，在展區D參觀14分鐘，再沿北偏東30°方向走一段路即可到達展區C．（參考數據：2≈1.41(1)求AC的長度；（結果精確到1米）(2)已知小明的平均速度為90米/分鐘，小華的平均速度為100米/分鐘，，若兩人同時出發，請通過計算說明誰會先到達展區C？（結果精確到0.1）預測6（2025·江蘇鎮江·一模）【閱讀理解】小明用了如下的方法計算出tan15°如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，作線段AB的垂直平分線交BC于點D，連接AD，則BD=AD，tan【拓展應用】如圖2，矩形ABCD為某建筑物的主視圖，小麗在該建筑物的右側點M處用地面測角儀（忽略其高度，下同）測得頂點C的仰角α為18.4°，由于某個原因，BM的長度無法測量，于是小麗又到它的左側點N處測得頂點D的仰角為73.6°，同時測得AN的長度為5米．(1)請模仿小明的方法，求出tan2(2)求出建筑物的高度．參考數據：sin18.4°≈825，cos預測7（2025·河北邯鄲·一模）如圖，監控攝像頭M固定在墻壁BC上的支架AB上，在墻上的固定點為點B，已知BC=2.8m，BM=0.6(1)求點M到地面l的距離；(2)該攝像頭的可監控視角∠PMQ=40°（點P，Q在地面l上），MN平分∠PMQ①求∠MPC②求監控攝像頭在地面上最遠可視點P到點C的距離．（結果均精確到0.1m，參考數據：tan40°取0.84，3取預測8（2025·河北邯鄲·一模）情境嘉嘉和淇淇利用水槽和射燈進行綜合實踐探究，如圖1，圖2所示，一水槽放置在水平面上，射燈支架OA垂直于水平面，射燈AB發出垂直于AB的光線，OA和AB的夾角α=130°，AB操作嘉嘉進行了兩步實驗操作：①如圖1，光線投射到空水槽底部CD處．②如圖2，向水槽注水，光線投射到水面MN處，然后發生折射，最后投射到底部EF處．探究(1)請求出CD長（結果保留一位小數）；(2)在圖2中，嘉嘉認為需要知道折射角的度數，才能求EF的長度，淇淇認為不需知道折射角度數就可以求出EF長．你認為誰的看法正確，并寫出理由．（注：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，押題1計算：-3押題2如圖，在△ABC中，∠A=45°(1)尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接BE，若AB=8，求BE押題3綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）．某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36?m,EC⊥AB，垂足為C．在D處測得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測得橋塔底部A的俯角（(1)求線段CD的長（結果取整數）；(2)求橋塔AB的高度（結果取整數）．參考數據：tan31°≈0.6,押題4中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點P到BQ的距離PQ(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長及sin∠押題5綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁AC的夾角為∠A第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水．（直線NN'為法線，AO為入射光線，【測量數據】如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面內，測得AC=20cm，∠【問題解決】根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：(1)求BC的長；(2)求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．（參考數據：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，押題6如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF

(1)求證：CF是⊙O(2)若AD=10，cosB=押題7圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，該車的高度AO=1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經過，有沒有碰頭的危險（結果精確到0．01m，參考數據：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891押題8中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子AB垂直于地面，AB長8尺．在夏至時，桿子AB在太陽光線AC照射下產生的日影為BC；在冬至時，桿子AB在太陽光線AD照射下產生的日影為BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分時日影長度．（結果精確到0.1尺；參考數據：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50

0303投影與視圖考點考情分析投影選擇題:這是最常見的考查形式；填空題可能會考查一些簡單的投影計算；解答題:較少單獨以解答題的形式考查投影，但可能會在一些綜合的實際問題中有所涉及。視圖選擇題常考查對簡單幾何體或組合體三視圖的判斷；填空題可能會涉及根據視圖的特征求幾何體的相關數據；解答題較少單獨以解答題形式考查視圖，但可能在一些綜合題中作為其中的一個步驟出現。考查分值：分值在3-6分之間，具體分值因地區和試卷結構而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：投影與視圖在中考中是比較重要的考點，命題會注重基礎與能力的結合，突出知識的應用性和實踐性。考生在復習時應扎實掌握基本概念和方法，多進行空間想象和實際問題的分析訓練，以提高應對各種題型的能力。知識點1：投影投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖1），在太陽光下，它們的影子一樣長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖2），它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.圖1圖2【高分技巧】1）圖1中，兩個物體及它們各自的影子及光線構成的兩個直角三角形相似，相似三角形對應邊成比例.2）已知物體影子可以確定光線，過已知物體頂端及影子頂端作直線，過其他物體頂端作此線的平行線，便可求出同一時刻其他物體的影子.（理由：同一時刻光線是平行的光線下行成的）3）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例，即：，利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如：旗桿/樹/樓房的高度等.4）在不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長度由長變短再變長.中心投影的概念：由一點發出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺燈等）中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖3），在燈光下離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖4），一般情況下離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.圖3圖4【高分技巧】1）點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.2）如果一個平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似.正投影的概念：當平行光線垂直投影面時叫正投影.正投影的分類：1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線.3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.投影的判斷方法：1）判斷投影是否為平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判斷投影是否為中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點的，那么所得到的投影就是中心投影．真題1（2024·山西·中考真題）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．真題2（2024·江蘇徐州·中考真題）由8個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖為（

）A． B． C． D．真題3（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為2，以AB所在直線為軸，將正方形ABCD旋轉一周，所得圓柱的主視圖的面積為（

）A．8 B．4 C．8π D．真題4（2024·安徽·中考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（

）A．B．C．D．真題5（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為60?cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1BA．90?cm2 B．135?cm2真題6（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，這個幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．真題7（2024·山東日照·中考真題）如圖是由5個完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放置到小正方體B的正上方，則它的三視圖變化情況是（

）A．主視圖會發生改變 B．左視圖會發生改變C．俯視圖會發生改變 D．三種視圖都會發生改變真題8（2024·四川雅安·中考真題）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（

）A． B． C． D．真題9（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法．

(1)如圖1，小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學測得旗桿AB的影長BC為11.3m，據此可得旗桿高度為________m(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到鏡面距離EC=2(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M，N兩點始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線PQ始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標記觀測視線DA與標高線交點C，測得標高CG=1.8m，DG=1.5m．將觀測點D后移24m到D'處，采用同樣方法，測得預測1（2025·陜西西安·模擬預測）如圖所示，一個圓柱體和長方體按如圖所示的方式擺放，它的主視圖是（

）A． B．C． D．預測2（2025·四川眉山·一模）五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，它的俯視圖是（

）A．B． C． D．預測3（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）如圖所示的鋼塊零件的主視圖為（

）A． B．C． D．預測4（2025·安徽·一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（

）A． B． C． D．預測5（2025·山東煙臺·一模）小明在參觀某工廠時發現了一個工件，并畫出如圖所示的三視圖，則該工件體積為（

）A．17π B．20π C．36π預測6（2025·安徽六安·二模）如圖是一個幾何體（正方體挖去一個圓錐）的示意圖，這個幾何體的俯視圖為（

）A． B． C． D．預測7（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，一塊面積為40cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A'B'C預測8（2025·河北滄州·模擬預測）光伏發電是將太陽光能轉化為電能的清潔、安全，可再生的發電方式，嘉嘉發現家鄉有光伏發電試點，如圖1，她據此作出如圖2所示的示意圖，其中MN為地面，AB，CD為相鄰的太陽能光伏板橫截面，測得AB=CD=1米，B到地面的距離BE=0.3米，A到地面的距離AF=0.8米，BD=1.2米，此時垂直立于地面的1米的桿(1)太陽能光伏板垂直于太陽光線時太陽能利用率最高，通過計算確定此時太陽能利用率是否最高；(2)通過計算確定此時太陽能光伏板AB是否遮擋了CD．押題1下圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（

）

A．① B．② C．③ D．④押題2信陽毛尖是中國十大名茶之一．如圖是信陽毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（

）A． B．C． D．押題3如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積是（

）．

A．12π B．15π C．18π押題4篆刻是中華傳統藝術之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（

）A． B．C． D．押題5如圖所示幾何體是由一個球體和一個圓柱組成的，它的俯視圖是（

）A．B． C． D．押題6某一時刻在陽光照射下，廣場上的護欄及其影子如圖1所示，將護欄拐角處在地面上的部分影子抽象成圖2，已知∠MAD=22°，∠FCN=23°，則A．44° B．45° C．46° D．47°押題7《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，其中記載著這樣一道題：今有竿不知長短，度其影得二丈．別立一表，長一尺，影得五寸，問竿長幾何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長20尺，同時立一根1尺的小標桿，它的影長是0.5尺（1丈=10尺，1尺=10寸），示意圖如圖所示，則這根竹竿的長度為（

）A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺押題8如圖，某時刻樹梢頂點A的影子剛好落在臺階點G處，若測得臺階CD=EF=HG=0.2m，DE=FG=0.3A．3.2m B．3.4m C．3.6m中考易錯題（60題）一．有理數大小比較（共1小題）1．如果m是一個不等于﹣1的負整數，那么m，1m，﹣m，-A．m＜1m＜-m＜-1mC．﹣m＜-1m＜m＜1m 二．科學記數法—表示較大的數（共1小題）2．北京中軸線上的先農壇被譽為“天下第一倉”，在神倉陳列館里展示著中國古代農民用作存儲谷物的“米斗”（如圖），若1斗米約為6250g，則1斗米用科學記數法表示為（）g．A．6.25×102 B．6.25×103 C．1.25×102 D．1.25×103三．用數字表示事件（共1小題）3．我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿六進一，用來記錄采集到的野果數量，由圖可知，她一共采集到的野果數量為個．四．代數式求值（共1小題）4．已知2x+1＝﹣2，則代數式2x2+x﹣1的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4五．提公因式法與公式法的綜合運用（共1小題）5．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝．六．二次根式有意義的條件（共1小題）6．若代數式x-5有意義，則實數x的取值范圍是七．二次根式的性質與化簡（共1小題）7．下列各式中，計算正確的是（）A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4 C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．(-4八．等式的性質（共1小題）8．等式的性質在生活中廣泛應用．如圖，a、b分別表示兩位同學的身高，c表示臺階的高度，左邊同學比右邊同學高5厘米，圖中兩人的對話體現的數學原理可表示為（）A．若a＝b+5，則a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，則a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，則ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，則a九．配方法的應用（共1小題）9．按要求解決下面問題．（1）比較a2+b2與2ab的大小．（填“＜”、“＞”、“＝”）①當a＝3，b＝3時，a2+b22ab．②當a＝2，b＝3時，a2+b22ab．（2）根據（1）中計算結果，猜想a2+b2與2ab的大小關系，并加以證明．（3）如圖，點C在線段AB上，以AC，BC為邊長，在線段AB的兩側分別作正方形ACDE與正方形BCFG，并連結AF．設兩個正方形的面積分別為S1，S2．若△ACF的面積為2，求S1+S2的最小值．十．不等式的解集（共1小題）10．若不等式組x＞ax≥-3的解集為x＞A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3十一．一元一次不等式組的應用（共1小題）11．運行程序如圖所示，從“輸入實數x”到“結果是否＞5”為一次程序操作．若輸入x后程序操作進行了兩次就停止，則x的取值范圍是（）A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5十二．函數的圖象（共2小題）12．將一圓柱形小水杯固定在大圓柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，現用一個注水管沿大容器內壁勻速注水，如圖所示，則小水杯水面的高度h（cm）與注水時間t（min）的函數圖象大致是（）A．B． C．D．13．沙漏在中國古代被稱為“沙鐘”，是一種利用沙子流動計時的古老工具．某學校開展了簡易沙漏的原理探秘與制作活動．在以下探究實驗中，沙漏容器取材于相同規格的瓶子，所用沙子材質與規格完全一樣，沙漏的孔洞均為圓形，孔徑即為孔洞的直徑．探究一：甲組同學選擇某確定孔徑的沙漏，探究漏下沙子的質量m（單位：g）與時間t（單位：s）之間的關系，部分數據如下：t/s306090120150m/g30.890.6150.0209.5269.2探究二：乙組同學選取除孔徑外無其他差別的沙漏，探究漏完150g沙子所用的時間t（單位：s）與孔徑d（單位：mm）之間的關系，部分數據如下：d/mm2.03.04.05.06.0t/s123.990.065.647.033.2根據以上探究的實驗數據，解決下列問題：（1）在探究一中，75s時漏下沙子的質量約為g（結果保留小數點后一位）；（2）推斷：探究一中所用沙漏的孔徑為mm；（3）通過探究二，發現可以用函數刻畫時間t與孔徑d之間的關系．①在給出的平面直角坐標系中，畫出這個函數的圖象；②根據函數圖象，若制作一個漏完150g沙子所用時間為50s的沙漏，其孔徑約為mm（結果保留小數點后一位）．十三．一次函數圖象上點的坐標特征（共1小題）14．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，1.5），點C在第一象限，對角線BD與x軸平行．直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于點E、F．將菱形ABCD沿x軸向左平移m個單位，當點D落在△EOF的內部時（不包括三角形的邊），m的取值范圍是（）A．6＜m＜7.25 B．6≤m＜6.25 C．6＜m＜6.25 D．6≤m≤7.25十四．兩條直線相交或平行問題（共1小題）15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝ax+2與直線y＝bx﹣2的圖象交于點C，點C的橫坐標為﹣2，則a﹣b＝．十五．一次函數的應用（共8小題）16．研究人員發現，在20℃～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數y（單位：次）是溫度t（單位：℃）的一次函數，部分數據如表所示，則y與t之間的關系式為（）溫度t（℃）212325每分鐘鳴叫次數y（次）112126140A．y＝7t﹣35 B．y＝7t+35 C．y＝14t D．y＝14t+11217．扎染古稱“絞纈”，是我國一種古老的紡織品染色技藝．扎染工藝的發展帶動了當地旅游相關產業的發展．某扎染坊第一次用3700元購進甲、乙兩種布料共80件，其中兩種布料的成本價和銷售價如表：單價類別成本價/（元/件）銷售價/（元/件）甲種布料60100乙種布料4070（1）該扎染坊第一次購進甲、乙兩種布料各多少件？（2）因熱銷，第一次購進的布料全部售完，該扎染坊第二次以相同的成本價再次購進甲、乙兩種布料共100件．若此次購進甲種布料的數量不超過乙種布料數量的1.5倍，且以相同的銷售價全部售完這批布料．設第二次購進甲種布料m件，第二次全部售完后獲得的利潤為W元．第二次應怎樣進貨，才能使第二次購進的布料全部售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？18．某學校要購買甲、乙兩種滅火器，用于預防校園消防安全．若購買9支甲種滅火器和6支乙種滅火器，則一共需要615元；若購買8支甲種滅火器和12支乙種滅火器，則一共需要780元．（1）每支甲種滅火器、每支乙種滅火器的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購買甲、乙兩種滅火器共30支，其中購買甲種滅火器a支，且甲種滅火器的數量至少比乙種滅火器的數量多5支，且不超過乙種滅火器數量的2倍．哪種購買方案可使總費用W最少？并求出最少總費用．19．如圖，小麗和小慶去某風景區游覽，其主要景點位于同一條公路邊，其中古剎到塔林的路程為10km，塔林到草甸的路程為25km，草甸到飛瀑的路程為10km．小麗騎電動自行車從“古剎”出發，沿景區公路勻速去“草甸”，車速為20km/h．同一時刻，小慶乘電動汽車從“飛瀑”出發，沿景區公路勻速前往“古剎”．設兩人相距的路程為skm，時間為th，s關于t的部分函數圖象如圖所示．（1）求小慶乘電動汽車的速度；（2）求圖中a的值；（3）何時兩人相距的路程等于5km？20．學科實踐：近年來，太原市加大了公共充電站的建設力度，綜合與實踐小組的同學對A，B兩個充電站的收費情況進行了調查，調查結果如下表所示．名稱充電樁領服務費充電費充電速度充電站A直流式免費1.5元/kW?h每小時充電5kW?h充電站B直流式前4小時免費，4小時后充電量的服務費為0.8元/kW?h1.2元/kW?h每小時充電5kW?h問題解決：（1）若汽車充電的總電量為xkW?h，①在充電站A所需支付的費用y1（元）與x的關系表達式為；②請分別寫出當0＜x≤20和x＞20時，在B充電站需要支付的費用y2（元）與x的關系表達式．出租車司機小李和小王分別在A，B兩個充電站充電，充電結束后兩人所支付的費用相同．求他們此次的充電量是多少．21．2025年初，國產動畫電影“哪吒2魔童鬧海”票房創歷史新高．某生產商推出了哪吒手辦（A類）和放丙手辦（B類）盲盒，已知生產商每天生產A類手辦比生產B類手辦多200個，若單獨生產12000個A類手辦所需時間和單獨生產8000個B類手辦所用時間相同．（1）求生產商每天單獨生產A，B兩類手辦的個數；（2）兩種手辦某商家的購進價和售價如下表：進價售價A類/個80100B類/個100150根據網上預約的情況，該商家計劃用不超過17000元的資金購進A，B兩種手辦共200個，若這200個手辦全部售完，請你設計購進方案，使商家獲利最大，并求最大利潤；（3）商家為尋求合適的銷售價格，對進價為100元的B類手辦，進行了4天的試銷，試銷情況如下表：第一天第二天第三天第四天日銷售單件利潤m（元）20304050日銷售量Q（個）300200150120根據試銷情況，請你猜測并求Q與m之間的函數關系式，若該手辦每天的銷售量不高于600個，求該手辦的最低銷售單價．22．共享電動車是一種新理念下的交通工具，掃碼開鎖，循環共享．某天早上王老師想騎共享電動車去學校，有A，B兩種品牌的共享電動車可選擇．已知：A品牌電動車騎行xmin，收費yA元，且yA=25x；B品牌電動車騎行xmin，收費yB元，且yB=6(0＜（1）說明圖中函數yA與yB圖象的交點P表示的實際意義．（2）已知王老師家與學校的距離為9km，且王老師騎電動車的平均速度為300m/min，那么王老師選擇哪種品牌的共享電動車會更省錢？請說明理由．（3）請直接寫出當x為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元．23．物理實驗證實：在彈性限度內，彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物體質量x（單位：kg）之間存在關系．某興趣小組為探究一彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物體質量x（單位：kg）之間的關系，進行了6次測量，下表是測量數據：所掛物體質量x/kg01020304050彈簧的長度y/cm6912151821（1）在平面直角坐標系中描出表中數據對應的點．若在彈性限度內，彈簧的長度y（單位：cm）與所掛物體質量x（單位：kg）之間符合初中學習過的某種函數關系，則可能是函數關系；（請選擇“一次”“二次”或“反比例”）（2）根據以上判斷，求y關于x的函數表達式；（3）當彈簧長度為16.5厘米時，所掛物體的質量是多少千克？十六．反比例函數圖象上點的坐標特征（共2小題）24．已知a是一個正數，點（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函數y=-1x的圖象上，則0，x1，x2，A．x3＜0＜x1＜x2 B．x2＜x3＜0＜x1 C．x1＜x2＜0＜x3 D．x1＜0＜x2＜x325．如圖，點A（6，1）和點B在反比例函數y=kx(x＞0)的圖象上，延長AB與y軸相交于點C．若AB＝2BC，則點C十七．反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）26．如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y=6x(x＞0)的圖象交于點A（a，b）和點B（a﹣4，3），P為線段AB上一點，過點P（1）求一次函數y＝kx+b的表達式；（2）當△OPQ的面積為34時，求P十八．反比例函數的應用（共1小題）27．【操作實驗】小珂在物理綜合實踐課上，用一固定電壓為24V的蓄電池，通過調節滑動變阻器來改變電流y/A的大小，從而控制小燈泡L的亮度，實驗電路圖如圖1所示，已知小燈泡的電阻為3Ω（不計溫度對燈泡電阻影響），滑動變阻器的電阻為x/Ω（0≤x≤9）（串聯電路中總電阻＝燈泡電阻+滑動變阻器的電阻），通過多次試驗，得到以下數據（如表）：電阻x/Ω…a23579電流y/A…64.843b2（1）根據實驗結果，填空：a＝，b＝，根據實驗數據直接寫出y與x的函數關系式：（0≤x≤9）；（2）【初步探究】請在以下平面直角坐標系中，畫出函數y的圖象，并寫出函數y的一條性質：；（3）【深入探究】已知一次函數y'=-43x+8(x≥0)，結合（2）中函數圖象分析，請直接寫出當y≤y'時十九．二次函數的圖象（共1小題）28．若一次函數y=-abx+c的圖象如圖所示，則二次函數y＝axA．B． C．D．二十．二次函數的性質（共2小題）29．如圖，二次函數y＝x2﹣3x﹣4交坐標軸于A，B，C，點Q在以C為圓心半徑為1的圓上運動，P為BQ中點，AP的最小值是．30．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+2的對稱軸為直線x＝1，點B的坐標為（5，1），點C是拋物線上一動點，連接CB，將線段CB繞點C順時針旋轉90°得到線段CD，當點D落在直線x＝1上時，點C的橫坐標為．二十一．二次函數圖象與系數的關系（共2小題）31．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①拋物線過原點；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＝0；④拋物線的頂點坐標為（2，b）；⑤當x＜4時，y隨x增大而增大．其中結論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤32．拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，有以下結論：①4ac﹣b2＞0；②若(-32，y1)，③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實數根，則m＞2；⑤3a+c＜0．其中結論正確的是．二十二．二次函數的三種形式（共1小題）33．將二次函數y＝x2﹣2x+4化為y＝（x﹣h）2+k的形式，結果為（）A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3二十三．拋物線與x軸的交點（共3小題）34．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點為A（3，0），對稱軸為直線x＝1，則當y＜0時，x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x＜335．在平面直角坐標系中，設二次函數y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a為常數，且a＜0）．（1）若a＝﹣1時，求該二次函數圖象與x軸的交點坐標；（2）若二次函數的圖象與直線y＝﹣2a+3有且僅有一個交點，求代數式a236．已知拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2．（1）求b的值；（2）當1≤x≤4時，函數值y的最大值與最小值的和為6，求c的值；（3）當1≤x≤4時，拋物線與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍．二十四．二次函數與不等式（組）（共1小題）37．拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y2＝mx+n的圖象如圖所示，下列判斷：①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0；④2a+b＜0；⑤當x＜12或x＞6時，y1＞y其中正確的個數有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二十五．二次函數的應用（共5小題）38．綜合與實踐如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.2米，建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝2米，豎直高度EF＝0.7米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離為OD．（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；（2）求下邊緣拋物線與x軸交點B的坐標；（3）若OD＝3.2米，灌溉車行駛時噴出的水能否澆灌到整個綠化帶？請你說明理由．39．某工廠計劃投資生產A、B兩種產品，根據市場調查與預測，產品A的利潤y1（萬元）與投資量x（萬元）成正比例關系，如圖①所示；產品B的利潤y2（萬元）與投資量x（萬元）成頂點在原點的二次函數關系，如圖②所示．（1）請直接寫出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式y1＝，y2＝；（2）如果工廠以9萬元資金投入生產A、B兩種產品，要求A產品的投資金額不超過B產品的2倍，且不少于3萬元，則如何投資該工廠能獲得最大利潤？最大利潤是多少？40．綜合與實踐：某數學小組為了解汽車的速度和制動非安全距離的關系，通過查閱資料獲得以下信息：材料一：由于司機的反應和慣性的作用，從發現情況到剎車停止前汽車還要繼續向前行駛一段距離，這段距離稱為制動非安全距離．從發現情況到剎車起作用的路程稱為反應距離，這段距離總共需要的反應時間為0.6秒．從剎車起作用到最后停止的距離稱為制動距離．材料二：某公司設計了一款新型汽車，現在對它的制動性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數據如下表：車速x（km/h）030456090105120150制動距離y（m）07.813.0519.234.243.0552.875探究任務：（1）已知該款新型汽車的制動距離y（m）和車速x（km/h）之間存在已學過的某種函數關系，請你根據上表提供的數據，在坐標系中描出點（x，y），順次連接各點，結合圖象求出這個函數的解析式并寫出自變量x的取值范圍（參考數據：122＝144，152＝225，452＝2025，1052＝11025）；（2）若在該款新型汽車的某次測試中，通過測量剎車痕跡得到它的制動距離約為28.8m，請通過計算估計該款汽車開始剎車時的速度；（3）若某司機駕駛這種新型汽車以60km/h的速度在單行道上行駛，發現前方25m處有一輛大貨車停在公路上擋住去路，司機緊急剎車，請問是否有碰撞危險？請說明理由，并根據計算結果給司機提出一條建議．41．綜合與實踐問題情境：如圖1，物理活動課上，同學們做了一個小球彈射實驗．小球從斜坡點O處以一定的方向彈出，小球的飛行路線近似地看作是拋物線的一部分，小球剛好落到斜坡上的點A處．建模分析：如圖2，以過點O的水平直線為x軸，過點O的鉛垂直線為y軸，建立平面直角坐標系．分析圖象得出，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的豎直高度y（米）的幾組對應值如表，且點A的坐標為（3，1.5）．x（米）00.511.522.53y（米）00.8751.51.87521.8751.5問題解決：（1）求小球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）的函數表達式；（2）如圖2，求小球在飛行過程中，距坡面的最大鉛垂高度MN；（3）如圖3，設小球在飛行過程中的動點為P（P）不與O，A重合），連接OP，AP，直接寫出△OAP面積的最大值．42．某校勞動基地蔬菜大棚由拋物線AEB和“矩形”ABCD構成，拋物線最高點E到地面CD的距離為7米，其橫截面如圖1所示，建立平面直角坐標系，已知CD＝12米，BC＝3米．（1）求拋物線的解析式；（2）冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，如圖1，準備在大棚拋物線上安裝矩形“腳手架”（即三根支架，其中P，N在拋物線上，QP，NM垂直地面，PN平行地面），求“腳手架”的最大長度；（3）如圖2，在蔬菜大棚上安裝照明燈，要求照明燈到地面的垂直距離為4米，每兩個相鄰照明燈之間的水平距離相等且不超過2米，左右外側的兩個照明燈安裝在拋物線上，如圖2所示，直接寫出至少需要安裝照明燈的個數．二十六．含30度角的直角三角形（共1小題）43．圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人識別身份成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，行人即可通過，圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機的“圓弧翼”成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半徑BA＝ED＝60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．（1）求閘機通道的寬度即BC與EF之間的距離；（2）經調查，一個智能閘機平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節約3分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數．二十七．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）44．如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，點E是AB上方一點，且AE＝BE，連接DE，若CD＝3，AE＝7，則DE的長為（）A．25 B．210 C．4 D．42二十八．平面展開-最短路徑問題（共1小題）45．如圖，長方體的長為20cm，寬為15cm，高為10cm，點B離點C為6cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）A．529cm B．25cm C．2194cm D．441cm二十九．多邊形內角與外角（共1小題）46．如圖，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度數為（）A．70° B．80° C．90° D．100°三十．垂徑定理的應用（共1小題）47．《九章算術》是中國傳統數學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，EB＝1寸，CD＝10寸，則半徑OC長為寸．三十一．圓周角定理（共3小題）48．如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，則∠ABD＝（）A．116° B．64° C．58° D．32°49．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P．若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數是．50．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分線交AB于點E，交⊙O于點F，連結AF，BF．（1）若⊙O的半徑為6，AD＝4，求弦CG的長；（2）求證：AF＝EF．三十二．扇形面積的計算（共1小題）51．如圖，在邊長為1的正方形網格中，“x狀”圖案（陰影部分）是由半徑分別為1和2，圓心在格點上的兩種弧圍成的，則陰影部分的面積是．三十三．中心對稱圖形（共2小題）52．2025年中國動漫電影《哪吒之魔童鬧海》火爆全球．以下四圖是某校美術社團繪制的哪吒風火輪的簡筆畫，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．53．環保全稱環境保護，是指人類為解決現實的或潛在的環境問題，協調人類與環境的關系，保障經濟、社會的持續發展而采取的各種行動的總稱．下列環保標志中，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A．B． C．D．三十四．相似三角形的應用（共1小題）54．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體H到焦點F1的距離與焦點F1到凸透鏡中心線DB的距離之比為3：2，則物體被縮小到原來的（）A．45 B．25 C．32 三十五．解直角三角形的應用（共2小題）55．我國魏晉時期的數學家劉徽首創“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”．即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，…，邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖1中圓內接正六邊形的周長l6＝6R，則π≈l62R=A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15° C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30°56．水車是我國古老的農業灌溉工具，是古人們在征服世界的過程中創造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產．水車是由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．小明受此啟發設計了一個“水車玩具”，設計圖如圖2，若水輪⊙O在動力的作用下將水運送到點A處，水沿水槽AC流到水池中，⊙O與水面交于點B，D，且點D，O，B，C在同一直線上，AC與⊙O相切于點A，連接AD，AB，AO．請僅就圖2解答下列問題．（1）求證：∠AOB＝2∠BAC．（2）若點B到點C的距離為32cm，sin∠ACB=三十六．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）57．【操作探究】在數學綜合與實踐活動課上，老師組織同學們開展以“測量小樹的高度”為主題的探究活動．【學生A】查閱學校資料得知樹前的教學樓ED高度為12米，如圖1，某一時刻測得小樹AB、教學樓ED在同一時刻陽光下的投影長分別是BC＝2.5米，DF＝7.5米．（1）請根據同學A的數據求小樹AB的高度；【學生B】借助皮尺和測角儀，如圖2，已知測角儀離地面的高度h＝1.6米，在D處測得小樹頂部的仰角α＝30°，測角儀到樹的水平距離m＝4.2米．（2）請根據同學B的數據求小樹AB的高度（結果保留整數，2≈1.41，3≈三十七．簡單組合體的三視圖（共2小題）58．如圖是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是（）A．B． C．D．59．如圖是由一個長方體和一個圓柱組合而成的立體圖形，從上面觀察這個圖形，得到的圖形是（）A． B．C． D．三十八．全面調查與抽樣調查（共1小題）60．下面調查中，適合采用普查的是（）A．調查全國中學生心理健康現狀 B．調查你所在的班級同學的身高情況 C．調查50枚導彈的殺傷半徑 D．調查揚州電視臺《今日生活》收視率中考模擬卷一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．2025的相反數是（

）A．2025 B．-2025 C．12025 D2．DeepSeek全稱杭州深度求索人工智能基礎技術研究有限公司，是一家創新型科技公司．數據顯示，隨著訪問量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成為史上最快突破3000萬日活躍用戶量的應用．數據3000萬用科學記數法表示為（

）A．3×106 B．0.3×106 C．3．下列運算正確的是（

）A．a25=a7 B．a-4．不等式2x+5≥3的解集是（A．x>-1 B．x≥-1 C．x≥45．已知Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3A．y1<y2<y3 B．6．中國四大白瓷系列之一的衢州瑩白瓷被譽為瓷中珍品，下圖是衢州瑩白瓷的直口杯，它的主