模型01側(cè)M型【模型分析】模型一“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD例1．（2020·遼寧大連市·七年級(jí)期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此可解答．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°，選B【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.

例2．（2020·湖北武漢市·七年級(jí)期末）如圖，，平分，，，則__________．【分析】過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB∴∠B=∠BEM∵AB∥CD∴EM∥CD，∴∠MED=∠D∴∠BED=∠B+∠D∵EF平分∠BED∴∠DEF=∠BED∵∠DEF+∠D=66°∴∠BED+∠D=66°∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°∵∠B-∠D=28°∴∠B=54°，∠D=26°∴∠BED=80°（）【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·洛陽(yáng)市第五中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖1，，．（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根據(jù)平行線的判定推出AB∥CD即可；延長(zhǎng)EF交CD于F1，根據(jù)平行線性質(zhì)和已知求出∠AEF=∠EF1L，根據(jù)平行線的判定推出即可；

（2）作QR∥AB，PL∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．（1）AB∥CD，EF∥HL，

證明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；

延長(zhǎng)EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，

證明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RM=∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN=∠QND，

∴∠MQN=∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，

∴∠MPN=∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，

∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，

∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，平行線公理的推論．能正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．

【鞏固提升】1．（2020·廣西柳州市·七年級(jí)期末）如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°【分析】過(guò)E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵∠β=∠AEF+∠FED，

又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，選C【小結(jié)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．

2．（2020·河南鄭州市·七年級(jí)期末）如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（）A．101° B．103° C．105° D．107°【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運(yùn)用對(duì)頂角的性質(zhì)求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問(wèn)題．如圖，∵直線a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，∠1=43°，∴∠ANM=43°，

∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，

∴∠2=∠AMO=103°，選B．【小結(jié)】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)．

3．（2020·浙江紹興市·七年級(jí)期末）如圖，已知AB//CD，，，，則____度．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角是解題的關(guān)鍵．

4．（2015·山西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在直線m上，則∠=_________.【分析】延長(zhǎng)CB交直線m于D，根據(jù)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答即可，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩（）個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠α．如圖，延長(zhǎng)CB交直線m于D，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵l∥m，∴∠1=40°．∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．

5．（2020·遼寧遼陽(yáng)市·七年級(jí)期末）請(qǐng)你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（注：以上各問(wèn)，只寫出探究結(jié)果，不用說(shuō)明理由）【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出結(jié)論；（3）同樣過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出結(jié)論；（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如圖（3），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，即∠B+∠A+∠C=360o；（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，∵與平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，∵與平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．6．（2020·云南昆明市·七年級(jí)期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)分別向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接問(wèn)題提出:（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，，及四邊形的面積﹔拓展延伸:（2）如圖①，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由.遷移應(yīng)用:（3）如圖②，點(diǎn)是線段上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)(不與重合）給出下列結(jié)論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論并求其值.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律易得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，可證四邊形ABDC是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式可求解；

（2）先計(jì)算出S△MAC=2，然后分M在x軸或y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式列方程求解，從而確定M的坐標(biāo)；

（3）作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．（1）由題意可知：C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），∴AB=4，OC=2S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8（2）存在，且，①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，令，或，點(diǎn)坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，令，或b=1，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3）結(jié)論①正確，過(guò)點(diǎn)作交與點(diǎn)∵AB∥CD，，，【小結(jié)】本題是四邊形綜合題，考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．專題02筆尖型【模型分析】模型二“鉛筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD【經(jīng)典例題】例1．（2020·廣西欽州市·七年級(jí)期末）如圖，已知，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】由題意過(guò)點(diǎn)C作CF//AB，可得CF//ED，進(jìn)而利用平行線性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算即可過(guò)點(diǎn)C作CF//AB，∵CF//AB，，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°∵∠2=∠FCD+∠ACF，∴=∠1+∠ACF+∠FCD+∠3=180°+180°=360°，選C【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，注意掌握兩直線平行時(shí)，巧妙構(gòu)造輔助線，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．

例2．（2020·山西臨汾市·七年級(jí)期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過(guò)四次拐彎后，又變成了東西方向的段，則的度數(shù)是______【分析】分別過(guò)點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH，進(jìn)而利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小如圖，根據(jù)題意可知：AB∥EF分別過(guò)點(diǎn)C，D作AB的平行線CG，DH所以AB∥CG∥DH∥EF則∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°【小結(jié)】考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的大?。?/p>

例3．（2020·河北邢臺(tái)市·八年級(jí)月考）如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍

（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍

（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍

（4）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度過(guò)E作EH∥AB（如圖②）

∵原四邊形是長(zhǎng)方形

∴AB∥CD

又∵EH∥AB

∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）

∵EH∥AB

∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵CD∥EH

∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°

又∵∠1+∠2=∠AEC

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，如圖③所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°

（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°

（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度

【小結(jié)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．

【鞏固提升】1．（2020·重慶南開(kāi)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，直線，在中，，點(diǎn)落在直線上，與直線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）.A．30° B．40° C．50° D．65°【分析】過(guò)點(diǎn)B作直線，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行分析即可得出答案．如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線，∵直線m//n，，∴，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵，∴∠1=∠4=40°，選B【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2016·浙江杭州市·七年級(jí)期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【小結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．

3．（2017·上海長(zhǎng)寧區(qū)·七年級(jí)期末）如圖，已知，那么_______度．【分析】分別過(guò)E、F作AB的平行線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)求解．作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥CD．

∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，

∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．

故答案為540°．【小結(jié)】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)探求角之間的關(guān)系．

4．（2020·遼寧大連市·七年級(jí)期末）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點(diǎn)分別在上，．求的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)，由可求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_(kāi)________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問(wèn)題：(3)如圖，，點(diǎn)分別在上，平分若請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．（）（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過(guò)點(diǎn)作，（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，（3）如圖，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，∵，即．【小結(jié)】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

5．（2020·山西呂梁市·七年級(jí)期末）綜合探究：已知，點(diǎn)、分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)作，根據(jù)平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等解題；（2）過(guò)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等性質(zhì)解得，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進(jìn)而計(jì)算的值即可．（1）如圖1，過(guò)作，，，圖1（2）如圖2，過(guò)作，過(guò)點(diǎn)作設(shè)，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，圖2【小結(jié)】本題考查平行線的定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

6．（2020·湖南岳陽(yáng)市·七年級(jí)期末）（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．小辰的思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)，請(qǐng)寫出具體求解過(guò)程．（2）問(wèn)題遷移：①如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問(wèn)：∠、、∠之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②在①的條件下，如果點(diǎn)P不在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠、、∠間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質(zhì)可以求得和的度數(shù)，進(jìn)一步可以得到的度數(shù)；（2）分別過(guò)P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算可以得解．（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，則由平行線的性質(zhì)可得PE//CD，所以：，所以，所以，；（2）①，理由如下：如圖，過(guò)P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：，∵，∴；②分兩種情況討論：第一種情況，P在射線AM上，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：；第二種情況，點(diǎn)P在OB之間，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：【小結(jié)】本題考查平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在添加輔助線的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算是解題關(guān)鍵．

7．（2020·江蘇淮安市·七年級(jí)期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；（）小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【分析】小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC＝110°．（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．小明的思路：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．模型03和角平分線有關(guān)的圖形【模型分析】模型三“臭腳”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD

【經(jīng)典例題】例1．（·石家莊潤(rùn)德學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，O是的，的平分線交點(diǎn)，交BC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若，則周長(zhǎng)是（）A．16 B．10 C．8 D．以上都不對(duì)【分析】根據(jù)題意判斷出和是等腰三角形，再轉(zhuǎn)化的邊長(zhǎng)即可平分，，是等腰三角形，同理可得：是等腰三角形，，選A【小結(jié)】考查等腰三角形判定與性質(zhì)，能夠從平行線與角平分線中辨別出等腰三角形是關(guān)鍵例2．（2020·余干縣第六中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，中，，與分別是與的平分線，，．則的周長(zhǎng)是__________．【分析】由OB，OC分別是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，顯然△ODE的周長(zhǎng)即為BC的長(zhǎng)度∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠ABO＝∠BOD，∴BD＝OD則同理可得CE＝OE，∴△ODE的周長(zhǎng)＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6【小結(jié)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例3．（·河南商丘市·八年級(jí)期中）（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EFBC交AB、AC于E、F．圖中有________個(gè)等腰三角形．猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中有_____個(gè)等腰三角形．它們是_____________．EF與BE、CF間的關(guān)系是___________________．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線與三角形外角平分線交于O，過(guò)O點(diǎn)作OEBC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中有_______個(gè)等腰三角形．EF與BE、CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．【分析】（1）根據(jù)題意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分線可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，進(jìn)而可根據(jù)等腰三角形的判定可進(jìn)行求解（2）由題意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，進(jìn)而可得∠EOB=∠EBO，則EO=EB，同理可得FO=FC，然后問(wèn)題可求解（3）由題意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，進(jìn)而可得∠EOB=∠EBO，則EO=EB，同理可得FO=FC，然后問(wèn)題可求解（1）∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形∵EF∥BC∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO∴AE=AF，EB=EO，F(xiàn)O=FC∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案為5（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB∵EF∥BC∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO∴EO=EB，同理可得FO=FC∴△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案為2，，（3），理由如下,如圖∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB同理可得FO=FC∴△EBO、△FOC都是等腰三角形∴故答案為2【小結(jié)】本題主要考查角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，這題屬于“雙平等腰”的經(jīng)典模型【鞏固提升】1．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在鈍角△ABC中，延長(zhǎng)BA到D，AE是∠DAC的平分線，AE//BC，則與∠B相等的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可知∠B=∠DAE=∠CAE=∠C選C【小結(jié)】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)2．（2020·河南開(kāi)封市·九年級(jí)二模）如圖，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠ABC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得到∠A的度數(shù)∵BM平分∠ABC∴∠MBA＝∠ABC＝35°∵BM∥AD∴∠A＝∠MBA＝35°選B【小結(jié)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵3．（2020·江蘇鹽城市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則FG的長(zhǎng)為_(kāi)________．【分析】由題意易得BE=EG，DF=DC，然后由線段的數(shù)量關(guān)系可求解∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC，∴∠ABG=∠EGB∴BE=EG，同理可得DF=DC∵BE=3，ED=5∴GD=ED-EG=5-3=2，∴FG=FD-DG=4-2=2【小結(jié)】本題主要考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，數(shù)量掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，這屬于典型的“雙平等腰”模型4．（2014·陜西九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，∠1=50°，則∠2等于_________【分析】根據(jù)平行線和角平分線得到等腰三角形進(jìn)行解題.∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠2又∵AB∥CD，∴∠1+2∠2=180°∵∠1=50°，∴∠2=65°5．（2020·沈陽(yáng)第一二七中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于C，D（1）①∠ABN的度數(shù)是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律；（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，∠ABC的度數(shù)是．【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可直接寫出；（2）由角平分線的定義可以證明∠CBD＝∠ABN，即可求出結(jié)果；（3）不變，∠APB：∠ADB＝2：1，證∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出結(jié)論；（4）可先證明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，則可求出∠ABC的度數(shù)．（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不變，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，則有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°，【小結(jié)】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用角平分線的定義等．

6．（·四川資陽(yáng)市·七年級(jí)期末）閱讀理解：我們知道“三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°”，在學(xué)行線的性質(zhì)之后，可以對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行推理論證．請(qǐng)閱讀下面的推理過(guò)程：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作DEBC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°．閱讀反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．方法運(yùn)用：如圖②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)．（提示：過(guò)點(diǎn)C作CFAB）深化拓展：如圖③，已知ABCD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC=70°，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直線交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在AB與CD兩條平行線之間，求∠BED的度數(shù)．【分析】方法運(yùn)用：過(guò)C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；深化拓展：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，再利用角平分線的定義和等量代換即可求∠BED的度數(shù)．

方法運(yùn)用：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【小結(jié)】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，能夠作出平行線是解題的關(guān)鍵．模型04數(shù)字變化類【模型分析】1．需要熟記的數(shù)字規(guī)律：（1）正整數(shù)：1,2,3，···，n（n≥1，且n為整數(shù)），前個(gè)數(shù)的和為；（2）奇數(shù)：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為；（3）偶數(shù)：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為n（n＋1）．2．解決數(shù)字規(guī)律題的策略：具體策略：①分別觀察分子、分母的特征；②注意相鄰項(xiàng)的變化特征，如遞增時(shí)可考慮以an＋b（a，b為常數(shù)）的形式遞增或以，等形式遞增；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值的特征；⑤對(duì)于分式可考慮化異分母為同分母，還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；⑥對(duì)于正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用或（n為正整數(shù)）來(lái)處理．3．等式變化規(guī)律題：（1）先找到等式左邊變化特點(diǎn)；（2）再找打等式右邊變化特點(diǎn)；（3）最后看看等式左右兩邊的內(nèi)在聯(lián)系；

【經(jīng)典例題】例1．（2020·寧波·七年級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)六條射線，從射線開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…則數(shù)字“2020”在（）A．射線上 B．射線上 C．射線上 D．射線上【分析】通過(guò)觀察已知圖形，發(fā)現(xiàn)共有六條射線，數(shù)字依次落在每條射線上，因此六個(gè)數(shù)字依次循環(huán)，算出2020有多少個(gè)循環(huán)即可．通過(guò)觀察已知圖形，發(fā)現(xiàn)共有六條射線，∴數(shù)字1-2020每六個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)．∵2020÷6=336…4，∴2020在射線OD上．選C．【小結(jié)】本題考查了數(shù)字的變化類，通過(guò)考察數(shù)字的所在線段，考查學(xué)生觀察和總結(jié)能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算出6個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)．題目整體較為簡(jiǎn)單，適合隨堂訓(xùn)練．

例2．（2020·武漢一初慧泉中學(xué)七年級(jí)月考）觀察下面三行數(shù)：2、－4，8、－16、32、－64、……①1、－5、7、－17、31、－65、……②－3、9、－15、33、－63、129、……③?、?、②、③行的第9個(gè)數(shù)分別記為，，，則的值為_(kāi)_____．【分析】先觀察三行數(shù)，總結(jié)出第①行數(shù)的規(guī)律，再把第①行與第②行，第③行聯(lián)系在一起，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而分別表示三行數(shù)中的第9個(gè)數(shù)，求解，再代入求值即可得到答案．由規(guī)律可知：第①行第n個(gè)數(shù)為：，第②行第n個(gè)數(shù)為：，第③行第n個(gè)數(shù)為：，①、②、③行的第9個(gè)數(shù)分別記為，，，，，，【小結(jié)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律探究，同時(shí)考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，乘方運(yùn)算，去括號(hào)，整式的加減運(yùn)算，掌握利用由具體到一般的探究方法找出題目中數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

例3．（2020·福州華南實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）觀察下面三行有規(guī)律的數(shù)：-2，4，-8，16，-32，64，……①-4，2，-10，14，-34，62，……②4，-8，16，-32，64，-128，……③（1）第一行數(shù)的第10個(gè)數(shù)是__________；（2）請(qǐng)聯(lián)系第一行數(shù)的規(guī)律，直接寫出第二行數(shù)的第10個(gè)數(shù)是____________；直接寫出第三行數(shù)的第n個(gè)數(shù)是_____________；（3）取每行的第100個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)和．【分析】（1）通過(guò)觀察可知第一行數(shù)據(jù)的規(guī)律是，進(jìn)而可以得出答案；（2）通過(guò)觀察可知第二行的數(shù)字的規(guī)律是：第一行的數(shù)字減去2，第三行的數(shù)字的規(guī)律是：第一行的數(shù)字乘以－2，便可得出答案；（3）根據(jù)得出的規(guī)律將每一行第100個(gè)數(shù)字相加即可．（1）∵-2，4，-8，16，-32，64，……，∴該組數(shù)據(jù)的規(guī)律是：，，，，，，……，∴第一行數(shù)的第10個(gè)數(shù)是；（2）通過(guò)觀察可知第二行的數(shù)字的規(guī)律是：第一行的數(shù)字減去2，第三行的數(shù)字的規(guī)律是：第一行的數(shù)字乘以－2，則第二行的第10個(gè)數(shù)是，第三行的第n個(gè)數(shù)是，（3）∵第一行數(shù)的第100個(gè)數(shù)是，第二行的第100個(gè)數(shù)是，第三行的第100個(gè)數(shù)是∴，即這三個(gè)數(shù)的和為－2．【小結(jié)】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，找出數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【鞏固提升】1．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)期末）觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，…將這組數(shù)排成如圖的形式，按圖中規(guī)律排下去，則第6行中從左邊數(shù)第3個(gè)數(shù)是（）第1行第2行24第3行68第4行10121416……A． B．28 C． D．34【分析】觀察這組數(shù)的排列規(guī)律，第n行有n個(gè)數(shù)，且第n行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，且奇數(shù)行為負(fù)，偶數(shù)行為正，據(jù)此先推出第5行的最后一個(gè)數(shù)，即可解題．由圖可知，第n行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，且奇數(shù)行為負(fù)，偶數(shù)行為正，因此第5行的最后一個(gè)數(shù)是-25，故第6行的第一個(gè)數(shù)為26，第二個(gè)數(shù)為-27，第三個(gè)數(shù)為28，選B【小結(jié)】本題考查數(shù)字類的規(guī)律題，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

2．（2020·武漢一初慧泉中學(xué)七年級(jí)月考）已知整數(shù)，，，，…滿足下列條件：，，，，…以此類推，則的值為（）A．－1007 B．－1008 C．－1009 D．－2018【分析】根據(jù)前幾個(gè)數(shù)字比較后發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)數(shù)字開(kāi)始，如果順序數(shù)為偶數(shù)，結(jié)果的數(shù)值從而得到的答案…以此類推，發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)數(shù)字開(kāi)始，如果順序數(shù)為偶數(shù)，結(jié)果的數(shù)值是其順序數(shù)的一半的相反數(shù)，即則選C【小結(jié)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律型，同時(shí)考查的是絕對(duì)值的含義，有理數(shù)的加法運(yùn)算，乘法運(yùn)算，掌握根據(jù)前幾個(gè)數(shù)字找出結(jié)果數(shù)值與順序數(shù)之間的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．

3．（2020·四川成都市·棠湖中學(xué)七年級(jí)月考）將正偶數(shù)按下表排列成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826……根據(jù)上面的規(guī)律，則2020應(yīng)在第________行，第_______列．【分析】根據(jù)圖表中的信息可得出：表中每一行4個(gè)連續(xù)偶數(shù)，奇數(shù)行第一列空，從左到右增大；偶數(shù)行第五列空，從左到右減小，利用算式與，即可得出2020在第253行第3列．觀察圖表知：正偶數(shù)的排列規(guī)律是：每一行排列4個(gè)連續(xù)偶數(shù)，奇數(shù)行第一列空，從左到右增大；偶數(shù)行第五列空，從左到右減小，∵，，∴2020是第1010個(gè)正偶數(shù)，排在第253行，而253是奇數(shù)，∴2020應(yīng)在第253行，第3列．【小結(jié)】本題主要考查了數(shù)字變化類的一些規(guī)律問(wèn)題，能夠找出其內(nèi)在規(guī)律，從而熟練求解．

4．（2020·成都市錦江區(qū)四川師大附屬第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，設(shè)表示的末位數(shù)字．例如：（的末位數(shù)字），（的末位數(shù)字），（的末位數(shù)字），……則__________，的值是__________．【分析】首先根據(jù)已知得出規(guī)律，f（1）=2（1×2的末位數(shù)字），f（2）=6（2×3的末位數(shù)字），f（3）=2（3×4的末位數(shù)字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，進(jìn)而求出即可．∵（的末位數(shù)字），（的末位數(shù)字），（的末位數(shù)字），，，，，，，…，∴每5個(gè)數(shù)一循環(huán)，分別為2，6，2，0，0…．∵，則，∵，∴．【小結(jié)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．5．（2021·遼寧大連市·八年級(jí)期末）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖1是2021年1月份的日歷，任意選擇圖中所示的方框，每個(gè)框四個(gè)角上的數(shù)交叉相乘后求和，再與中間的數(shù)的平方的2倍作差，例如：3×l9+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是﹣100．（1）如圖2，設(shè)日歷中所示圖形中間的數(shù)字為x，請(qǐng)用含x的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．【分析】（1）根據(jù)中間數(shù)字為x，分別表示出題中所述的四個(gè)數(shù)字，再按照題意列式即可；（2）利用乘法公式計(jì)算所列式子，驗(yàn)證即可．（1）設(shè)圖形中間的數(shù)字為x，則周圍四個(gè)數(shù)字可依次表示為：，則規(guī)律表示為：，故；（2）對(duì)于上式，左邊==右邊，故規(guī)律成立．【小結(jié)】本題考查整式乘法相關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，仔細(xì)審題，準(zhǔn)確用代數(shù)式表示出各位置上的數(shù)是解題關(guān)鍵．

6．（2020·河南省直轄縣級(jí)行政單位·八年級(jí)月考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．它給出了（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律例如（如圖），在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開(kāi)式；（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：．【分析】（1）由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于（a+b）n-1的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得（a+b）3的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、3、3、1，因此（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；

（2）將25-5×24+10×23-10×22+5×2-1寫成“楊輝三角”的展開(kāi)式形式，逆推可得結(jié)果．（1）根據(jù)楊輝三角，（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1．

故；（2）各項(xiàng)系數(shù)依次為：1、5、10、10、5、1．故原式．【小結(jié)】本題考查了完全平方公式，學(xué)生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵．模型05算式變化類【模型分析】1．需要熟記的數(shù)字規(guī)律：（1）正整數(shù)：1,2,3，···，n（n≥1，且n為整數(shù)），前個(gè)數(shù)的和為；（2）奇數(shù)：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為；（3）偶數(shù)：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為n（n＋1）．2．解決數(shù)字規(guī)律題的策略：具體策略：①分別觀察分子、分母的特征；②注意相鄰項(xiàng)的變化特征，如遞增時(shí)可考慮以an＋b（a，b為常數(shù)）的形式遞增或以，等形式遞增；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值的特征；⑤對(duì)于分式可考慮化異分母為同分母，還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用或（n為正整數(shù)）來(lái)處理．3．等式變化規(guī)律題：（1）先找到等式左邊變化特點(diǎn)；（2）再找打等式右邊變化特點(diǎn)；（3）最后看看等式左右兩邊的內(nèi)在聯(lián)系；

【經(jīng)典例題】例1．（2020·河南洛陽(yáng)市·九年級(jí)月考）請(qǐng)先在草稿紙上計(jì)算下列四個(gè)式子的值：①；②；③；④．觀察計(jì)算的結(jié)果，由發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為（）A．351 B．350 C．325 D．300【分析】通過(guò)計(jì)算前面4個(gè)式子的值，得到規(guī)律為從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的立方和的算術(shù)平方根等于這幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，然后利用此規(guī)律求解①＝1②＝3＝1+2③＝6＝1+2+3④＝10＝1+2+3+4；∴＝1+2+3+…+25＝325選C【小結(jié)】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，解題關(guān)鍵是先計(jì)算題干中的4個(gè)簡(jiǎn)單算式，得出規(guī)律后再進(jìn)行復(fù)雜算式的求解例2．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)期末）觀察下列算式：第1個(gè)算式：；第2個(gè)算式：；第3個(gè)算式：……按照上面的規(guī)律則第4個(gè)算式為：_________．第1個(gè)算式到第個(gè)算式結(jié)果的乘積是________．（用含的代數(shù)式表示）

【分析】（1）根據(jù)已知算式得出第4個(gè)算術(shù)即可（2）將結(jié)果乘積列式計(jì)算即可（1）第4個(gè)算式為：（2）由題意得：=【小結(jié)】此題考查代數(shù)式的計(jì)算規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)式子的運(yùn)算規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵例3．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期末）觀察下列各式：；；請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：（1）（2）【分析】（1）觀察題中所給的三個(gè)等式，可知等式右邊第一項(xiàng)的次數(shù)等于左邊第二個(gè)括號(hào)內(nèi)最高次項(xiàng)的次數(shù)加1，等式右邊第二項(xiàng)均為1，據(jù)此可解

（2）根據(jù)（1）中所得的規(guī)律，可將原式左邊乘以（2-1），再按照（1）中規(guī)律計(jì)算即可（1）（2）【小結(jié)】本題考查了平方差公式和多項(xiàng)式乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵【鞏固提升】1．（2020·太原市育英中學(xué)校七年級(jí)期中）觀察下列等式：，，，…．按照此規(guī)律，式子可變形為（）A． B．C． D．【分析】根據(jù)已知等式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得歸納類推得：，其中n為正整數(shù)則選B【小結(jié)】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律型問(wèn)題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵

2．（2020·趙集中學(xué)七年級(jí)期中）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要數(shù)學(xué)思維，觀察下面的圖形和算式；解答下列問(wèn)題：請(qǐng)用上面得到的規(guī)律計(jì)算：（）A．901 B．900 C．961 D．625【分析】觀察圖形和算式的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)得到的規(guī)律計(jì)算即可觀察以下算式：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∵2n-1=59解得n=30∴，選B【小結(jié)】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，有理數(shù)的乘方．解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和算式的變化尋找規(guī)律3．（2021·全國(guó)八年級(jí)）閱讀下文，尋找規(guī)律，并填空：已知x≠1，計(jì)算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5觀察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___【分析】根據(jù)平方差公式和已知條件特點(diǎn)，便可歸納出來(lái)即可（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1故1﹣xn+1【小結(jié)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、規(guī)律型：數(shù)字的變化類、平方差公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目找出規(guī)律是關(guān)鍵4．（2020·張掖·大成中學(xué)七年級(jí)期末）觀察下列各式：1-=，1-=，1-=，根據(jù)上面的等式所反映的規(guī)律（1-）（1-）（1-）=________【分析】根據(jù)已知等式探索出變形規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律進(jìn)行變形，計(jì)算有理數(shù)乘法運(yùn)算即可．由已知等式可知：歸納類推得：，其中n為正整數(shù)則因此【小結(jié)】此題考查是有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律題，根據(jù)已知等式探索出運(yùn)算規(guī)律并應(yīng)用是解題關(guān)鍵

5．（2020·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級(jí)月考）閱讀下列簡(jiǎn)化過(guò)程：；；；……解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)用n（n為正整數(shù)）表示化簡(jiǎn)過(guò)程規(guī)律________；（2）計(jì)算；（3）設(shè)，，，比較a，b，c的大小關(guān)系．【分析】(1)根據(jù)已知可得：兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的和的倒數(shù)，等于分子分母都乘以這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的差，化簡(jiǎn)得這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的差；(2)利用分母有理化分別化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式得解；(3)將a、b、c分別化簡(jiǎn)，比較結(jié)果即可．（1）（2）（3），，，，又，，【小結(jié)】此題考查代數(shù)式計(jì)算規(guī)律探究，分母有理化計(jì)算，根據(jù)例題掌握計(jì)算的規(guī)律并解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2021·廣東潮州市·八年級(jí)期末）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：第一個(gè)數(shù)是；第二個(gè)數(shù)是；第三個(gè)數(shù)是；對(duì)任何正整數(shù)，第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和等于（1）經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：，，設(shè)這列數(shù)的第個(gè)數(shù)為，那么①；②，③，則正確（填序號(hào)）．（2）請(qǐng)你觀察第個(gè)數(shù)、第個(gè)數(shù)、第個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第個(gè)數(shù)可表示（用含的式子表示），并且證明：第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和等于；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：的值．【分析】（1）根據(jù)題干知道即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題干中的規(guī)律總結(jié)出第個(gè)數(shù)表示為，再分別表示出第n個(gè)和第n+1個(gè)數(shù)求和即可；

（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)兩分母之差為2，即通分后分子為2，故每一項(xiàng)乘以即可，再提取公因數(shù)合并各項(xiàng)計(jì)算即可．

（1）∵，∴；

故填：（2）第個(gè)數(shù)表示為：，證明：第個(gè)數(shù)表示為：，第個(gè)數(shù)表示為：（3）原式【小結(jié)】此題考查了有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律觀察能力，從已知題干中提取規(guī)律解題運(yùn)算是關(guān)鍵．

模型06坐標(biāo)變化類【模型分析】在解答坐標(biāo)變化規(guī)律題時(shí)，應(yīng)先列出變化前后一系列的坐標(biāo)值，然后分別形成橫、縱坐標(biāo)的兩個(gè)數(shù)列，以前后數(shù)之間的符號(hào)循環(huán)變化、數(shù)量關(guān)系變化、數(shù)量循環(huán)變化為觀察對(duì)象，從而得出結(jié)論；【經(jīng)典例題】例1．（2021·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2021次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知分析得出橫坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)次數(shù)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪這一規(guī)律，進(jìn)而計(jì)算即可．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（?1，1），第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（?2，0），第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（?3，2），第4次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（?4，0），第5次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（?5，1），…，∴橫坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)次數(shù)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪，∴經(jīng)過(guò)第2021次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2021÷4＝505……1，故縱坐標(biāo)為四個(gè)數(shù)中第1個(gè)，即為1，∴經(jīng)過(guò)第2021次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（?2021，1），選C【小結(jié)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進(jìn)行解題是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2020·成都雙流中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，已知直線上，過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；按此作法繼續(xù)下去，則的坐標(biāo)為_(kāi)________，的坐標(biāo)_________．【分析】先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，1），得到OA=1，AB=，求出∠AOB=60°，再求出∠得到，求出(0，4)；同理得到，，（0，）；由此得到規(guī)律求出答案．將y=1代入中得x=，∴B（，1），∴OA=1，AB=，∴tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∵∠A1BO=90°，∴∠，∴，∴，∴(0，4)；同理：，，∴16，∴（0，），，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，【小結(jié)】此題考查圖形類規(guī)律的探究，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，根據(jù)圖形的規(guī)律求出點(diǎn)的坐標(biāo)得到點(diǎn)坐標(biāo)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

例3．（2020·吉林吉林市·）在平面直角坐標(biāo)系中，一只蝸牛從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其行走路線如圖所示：（1）填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A5(?，?)，A9(?，?)，A13(?，?)；（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）；（3）指出蝸牛從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變化即可填寫各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可寫出點(diǎn)A4n+1的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）；（3）根據(jù)（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，每四個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，進(jìn)而可得螞蟻從點(diǎn)A2020到點(diǎn)A2021的移動(dòng)方向．（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變化可知：各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；故2，1；4，1；6，1；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A4n+1的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）為（2n，1）；（3）因?yàn)槊克膫€(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，所以2021÷4=505…1．所以螞蟻從點(diǎn)A2020到點(diǎn)A2021的移動(dòng)方向是向上．【小結(jié)】本題考查了規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．

【鞏固提升】1．（2020·河南鄭州市·八年級(jí)期中）育紅中學(xué)八五班的數(shù)學(xué)社團(tuán)在做如下的探究活動(dòng)：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令：從原點(diǎn)出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其移動(dòng)路線如圖所示，第1次移動(dòng)到點(diǎn)，第2次移動(dòng)到點(diǎn)……第次移動(dòng)到點(diǎn)，則的面積是（）A．1009 B． C．505 D．【分析】先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)歸納類推出一般規(guī)律，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得的值，然后利用三角形的面積公式即可得．由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，歸納類推得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中n為正整數(shù)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，又，，且的邊上的高為1，則的面積為，選D【小結(jié)】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．

2．（2020·陜西西安市·西安高新第一學(xué)校八年級(jí)月考）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，已知點(diǎn)B1（1，1），B2（3，2），則Bn的坐標(biāo)是（）A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）【分析】由的規(guī)律寫出的坐標(biāo)．∵點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（7，4），∴Bn的橫坐標(biāo)是：2n﹣1，縱坐標(biāo)是：2n﹣1．則Bn的坐標(biāo)是（2n﹣1，2n﹣1），選D．【小結(jié)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，觀察圖形前面某些點(diǎn)的坐標(biāo)，找出規(guī)律后再寫出圖形一般點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第1次將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次將正方形OA1B1C1繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此規(guī)律，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到正方形OA2020B2020C2020，則點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OABC，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．∵四邊形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）連接OB，由勾股定理得：OB=，由旋轉(zhuǎn)得：OB=OB=OB=OB=…=；∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB=∠BOB=∠BOB=…=45°，∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2020÷8=252…余4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）．【小結(jié)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型，點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．4．（2020·黑龍江伊春市·九年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲線AA1A2A3…叫做“正方形的漸開(kāi)線”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圓心依次是B、C、D、A循環(huán)，則點(diǎn)A18的坐標(biāo)是______________．【分析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究規(guī)律每四次變化回到相同的象限；一象限橫坐標(biāo)都為1，二象限縱坐標(biāo)都為1，三象限橫坐標(biāo)都為-1，四象限縱坐標(biāo)都為-1；相應(yīng)變化的坐標(biāo)一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，橫坐標(biāo)為：-5-4×8計(jì)算即可寫出A18的坐標(biāo)．正方形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1與B平行y軸，A1的橫坐標(biāo)為-1，縱坐標(biāo)為：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2與C平行x軸，A2的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3與D平行y軸，A3的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4與A平行x軸，A4的縱坐標(biāo)為-1，橫坐標(biāo)為：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次變化回到相同的象限，第一象限橫坐標(biāo)都為1，第二象限縱坐標(biāo)都為1，第三象限橫坐標(biāo)都為-1，第四象限縱坐標(biāo)都為-1，相應(yīng)變化的坐標(biāo)一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的橫坐標(biāo)為：-5-4×8=-37，A18（-37，1），【小結(jié)】本題考查正方形的漸開(kāi)線點(diǎn)的規(guī)律探究問(wèn)題，掌握漸開(kāi)線呈周期性變化，每4次漸開(kāi)線終點(diǎn)在相同象限，各象限都有一坐標(biāo)不變，找到變化的坐標(biāo)規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（·廣東陽(yáng)江市·七年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將三角形變換成三角形，第二次將三角形變換成三角形，第三次將三角形變換成三角形，已知，，，，，，，．（1）觀察每次變換前后的三角形，找出規(guī)律，按這些變換規(guī)律將三角形變換成三角形，求和的坐標(biāo)；（2）若按第（1）題的規(guī)律將三角形進(jìn)行了次變換，得到三角形，請(qǐng)推測(cè)和的坐標(biāo)．【分析】(1)據(jù)圖，A4橫坐標(biāo)是A3的橫坐標(biāo)的2倍，縱坐標(biāo)相同，B4橫坐標(biāo)是B3的2倍，縱坐標(biāo)是0；(2)由（1）知An的縱坐標(biāo)總為3，橫坐標(biāo)為2n，Bn的縱坐標(biāo)總為0，橫坐標(biāo)為2n+1，即可寫出An、Bn的坐標(biāo)．（1），它們的縱坐標(biāo)都是3，而橫坐標(biāo)依次為．因此，，即，它們的縱坐標(biāo)都是0，而橫坐標(biāo)依次是，因此，，即；（2）由上題規(guī)律可知An的縱坐標(biāo)總為3，橫坐標(biāo)為2n，Bn的縱坐標(biāo)總為0，橫坐標(biāo)為2n+1．所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）．故答案分別為，．【小結(jié)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，仔細(xì)觀察圖形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化并熟悉2的指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵.6．（·安徽九年級(jí)零模）在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為的小正方形的格點(diǎn)上，關(guān)于軸的對(duì)稱圖形為，以與組成一個(gè)基本圖形，不斷復(fù)制與平移這個(gè)基本圖形，得到圖形所示的圖形（1）觀察以上圖形并填寫下列各點(diǎn)坐標(biāo)：，，，（為正整數(shù)）（2）若是這組圖形中的一個(gè)三角形，當(dāng)時(shí)，則，【分析】（1）結(jié)合圖形，先寫出、的坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，，，的橫坐標(biāo)依次多4，縱坐標(biāo)沒(méi)變從而可得的坐標(biāo)；

找出圖中A、B、C的角碼變化規(guī)律，然后根據(jù)可得m、k得到值．（1）由圖可得，，，

由圖可得，，的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)多一個(gè)就多4，

的坐標(biāo)為，即，

故答案為2，2；6，2；，2；

（2）因?yàn)?，所以?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

由圖可得，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，

對(duì)應(yīng)，故當(dāng)時(shí)，；

對(duì)應(yīng)C，B3對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，，

對(duì)應(yīng)，故當(dāng)時(shí)，，

故答案為1010，1009．【小結(jié)】本題主要考查了軸對(duì)稱與坐標(biāo)的變化關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是弄清向右翻折只變橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)不變．

模型07圖形變化類【模型分析】解決圖形規(guī)律題的步驟：（1）標(biāo)序數(shù)——按圖號(hào)標(biāo)序；（2）找規(guī)律——觀察圖形，隨著序號(hào)增加，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，找出圖形變化規(guī)律，注意變量與不變量，將每個(gè)圖中所求量的個(gè)數(shù)表示成與序數(shù)有關(guān)的式子；（3）驗(yàn)證——代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確；【經(jīng)典例題】例1．（2021·重慶渝北區(qū)·八年級(jí)期末）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個(gè)圖案中有4個(gè)三角形，第②個(gè)圖案中有7個(gè)三角形，第③個(gè)圖案中有10個(gè)三角形……，依此規(guī)律，第⑧個(gè)圖案中有（）個(gè)三角形．A．19 B．21 C．22 D．25【分析】由題意可知：第①個(gè)圖案有3＋1＝4個(gè)三角形，第②個(gè)圖案有3×2＋1＝7個(gè)三角形，第③個(gè)圖案有3×3＋1＝10個(gè)三角形，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案有（3n＋1）個(gè)三角形，代入n＝8即可求得答案．∵第①個(gè)圖案有3＋1＝4個(gè)三角形，第②個(gè)圖案有3×2＋1＝7個(gè)三角形，第③個(gè)圖案有3×3＋1＝10個(gè)三角形，…∴第n個(gè)圖案有（3n＋1）個(gè)三角形．當(dāng)n＝8時(shí)，3×8＋1＝25，選D．【小結(jié)】考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出圖形之間的變化規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．

例2．（2021·北京東城區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)，…在射線上，點(diǎn)，…在射線上，且，…均為等邊三角形，以此類推，若，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)______．【分析】根據(jù)，，是等邊三角形，得，進(jìn)而得，，可得，以此類推即可求解．∵，，是等邊三角形，∴∴∴∴同理：，，…均為等邊三角形，，…則的邊長(zhǎng)為．【小結(jié)】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．

例3．（2021·安徽蕪湖市·七年級(jí)期末）如圖，同一行的兩個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)相等，但它們的排列方式不一樣，根據(jù)不同的排列方式可以得到一列等式．（1）第個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系是______．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求的值．【分析】（1）根據(jù)前三幅圖可知右邊的式子等于左邊括號(hào)內(nèi)最大的數(shù)與比它大1數(shù)的積；（2）先逆用乘法分配律變形，然后根據(jù)（1）中結(jié)論計(jì)算即可；（1）∵，，，…，∴（2）【小結(jié)】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．也考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．

【鞏固提升】1．（2020·浙江臺(tái)州市·七年級(jí)期末）如圖，用大小相等的黑色三角形按一定規(guī)律拼成如圖的圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…，依照此規(guī)律，第⑩個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（）A．50 B．55 C．58 D．61【分析】根據(jù)前3個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)找出規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形，，……第⑩個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為，選B【小結(jié)】本題注意考查圖形類規(guī)律探索，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2021·北京房山區(qū)·八年級(jí)期末）如圖甲，直角三角形的三邊a，b，c，滿足的關(guān)系．利用這個(gè)關(guān)系，探究下面的問(wèn)題：如圖乙，是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，，延長(zhǎng)至，使，以為底，在外側(cè)作等腰直角三角形，再延長(zhǎng)至，使，以為底，在外側(cè)作等腰直角三角形，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形（，n為正整數(shù)），則的長(zhǎng)及的面積分別是（）A．2， B．4， C．， D．2，【分析】根據(jù)題意結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可判斷出的長(zhǎng)，再進(jìn)一步推出一般規(guī)律，利用規(guī)律求解的面積即可．由題意可得：，，∵為等腰直角三角形，且“直角三角形三邊a，b，c，滿足關(guān)系”，∴根據(jù)題意可得：，∴，∴，，∴總結(jié)出，∵，，，∴歸納得出一般規(guī)律：，∴，選A【小結(jié)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形變化類的規(guī)律探究問(wèn)題，立即題意并靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)歸納一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2021·山東青島市·七年級(jí)期末）下列圖形均是用長(zhǎng)度相同的火柴棒按一定的規(guī)律搭成，搭第1個(gè)圖形需要4根火柴棒，搭第2個(gè)圖形需要10根火柴棒，…，依此規(guī)律，搭第10個(gè)圖形需要________根火柴棒．【分析】由題意，分別求出前面幾個(gè)的火柴棒數(shù)量，然后得到數(shù)量的規(guī)律，再求出第10個(gè)圖形的數(shù)量即可．根據(jù)題意可知：第1個(gè)圖案需4根火柴，，第2個(gè)圖案需10根火柴，，第3個(gè)圖案需21根火柴，，……，第n個(gè)圖案需根火柴，則第10個(gè)圖案需：（根）．【小結(jié)】此題考查了平面圖形，圖形變化規(guī)律，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．4．（2021·全國(guó)七年級(jí)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的周長(zhǎng)記作C1；取BE中點(diǎn)E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長(zhǎng)記作C2．照此規(guī)律作下去，則C2020＝__．【分析】先計(jì)算出C1、C2的長(zhǎng)，進(jìn)而得到規(guī)律，最后求出C2020的長(zhǎng)即可．∵E是BC的中點(diǎn)，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四邊形EDAF是菱形，∴C1＝4×，同理C2＝4××=4×，…Cn＝4×，∴．【小結(jié)】本題考查了中位線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．

5．（2021·山東青島市·七年級(jí)期末）（問(wèn)題提出）以長(zhǎng)方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)，共個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原長(zhǎng)方形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（問(wèn)題探究）為了解決上面的問(wèn)題，我們將采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從簡(jiǎn)單的情形入手：（探究一）以長(zhǎng)方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)P（如圖①），共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)顯然，此時(shí)可把長(zhǎng)方形ABCD分割成________個(gè)互不重疊的小三角形．（探究二）以長(zhǎng)方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把長(zhǎng)方形ABCD分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：一種情況是，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上不妨設(shè)點(diǎn)Q在PB上（如圖②）；另一種情況是，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部．不妨設(shè)點(diǎn)Q在的內(nèi)部（如圖③）．顯然，不管哪種情況，都可把長(zhǎng)方形ABCD分割成________個(gè)互不重疊的小三角形．（探究三）長(zhǎng)方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共7個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把長(zhǎng)方形ABCD分割成________個(gè)互不重疊的小三角形請(qǐng)?jiān)趫D④中畫出一種分割示意圖.（問(wèn)題解決）以長(zhǎng)方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)，共個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原長(zhǎng)方形分割成_